- Định nghĩa
- ví dụ 1
- Ví dụ 2
- Tốc độ và gia tốc
- ví dụ 1
- Ví dụ 2
- Các ứng dụng
- Dẫn xuất rõ ràng
- Thí dụ
- Thái cực tương đối
- Thí dụ
- Chuỗi Taylor
- Thí dụ
- Người giới thiệu
Các đạo hàm liên tiếp là những đạo hàm xuất phát từ một hàm sau đạo hàm cấp hai. Quy trình để tính các đạo hàm liên tiếp như sau: chúng ta có một hàm f, mà chúng ta có thể suy ra và do đó thu được hàm dẫn xuất f '. Chúng ta có thể lấy lại đạo hàm này của f, thu được (f ')'.
Hàm mới này được gọi là đạo hàm cấp hai; tất cả các đạo hàm được tính từ thứ hai là kế tiếp nhau; Chúng, còn được gọi là bậc cao hơn, có các ứng dụng tuyệt vời, chẳng hạn như cung cấp thông tin về đồ thị của một hàm số, kiểm tra đạo hàm cấp hai đối với các cực trị tương đối và xác định chuỗi vô hạn.
Định nghĩa
Sử dụng ký hiệu Leibniz, chúng ta có đạo hàm của một hàm "y" đối với "x" là dy / dx. Để biểu thị đạo hàm thứ hai của "y" bằng cách sử dụng ký hiệu Leibniz, chúng tôi viết như sau:
Nói chung, chúng ta có thể biểu diễn các đạo hàm liên tiếp như sau với ký hiệu Leibniz, trong đó n biểu diễn bậc của đạo hàm.
Các ký hiệu khác được sử dụng như sau:
Một số ví dụ mà chúng ta có thể thấy các ký hiệu khác nhau là:
ví dụ 1
Nhận tất cả các đạo hàm của hàm f được xác định bởi:
Sử dụng các kỹ thuật lấy đạo hàm thông thường, chúng ta có đạo hàm của f là:
Bằng cách lặp lại quá trình, chúng ta có thể thu được đạo hàm thứ hai, đạo hàm thứ ba, v.v.
Lưu ý rằng đạo hàm bậc 4 bằng 0 và đạo hàm bằng 0, do đó ta có:
Ví dụ 2
Tính đạo hàm bậc 4 của hàm số sau:
Từ hàm đã cho, chúng ta có kết quả:
Tốc độ và gia tốc
Một trong những động lực dẫn đến việc khám phá ra đạo hàm là việc tìm kiếm định nghĩa của vận tốc tức thời. Định nghĩa chính thức như sau:
Gọi y = f (t) là hàm số có đồ thị mô tả quỹ đạo của hạt tại thời điểm t, thì vận tốc của nó tại thời điểm t được cho bởi:
Khi đã thu được vận tốc của hạt, chúng ta có thể tính được gia tốc tức thời, được định nghĩa như sau:
Gia tốc tức thời của hạt có đường đi của y = f (t) là:
ví dụ 1
Một hạt chuyển động dọc theo một đường thẳng theo chức năng vị trí:
Trong đó "y" được đo bằng mét và "t" bằng giây.
- Tốc độ của nó bằng 0 tức thời nào?
- Gia tốc 0 của nó tại thời điểm nào?
Khi suy ra hàm vị trí «và» ta có vận tốc và gia tốc của nó lần lượt là:
Để trả lời câu hỏi đầu tiên, chỉ cần xác định khi nào thì hàm v trở thành 0; đây là:
Chúng tôi tiến hành câu hỏi sau theo cách tương tự:
Ví dụ 2
Một hạt chuyển động dọc theo một đường thẳng theo phương trình chuyển động sau:
Xác định "t, y" và "v" khi a = 0.
Biết rằng tốc độ và gia tốc cho bởi
Chúng tôi tiến hành lấy và lấy:
Đặt a = 0, ta có:
Từ đó ta có thể suy ra giá trị của t để a bằng 0 là t = 1.
Khi đó, đánh giá hàm vị trí và hàm vận tốc tại t = 1, ta có:
Các ứng dụng
Dẫn xuất rõ ràng
Các dẫn xuất kế tiếp cũng có thể nhận được bằng cách dẫn xuất ngầm định.
Thí dụ
Cho hình elip sau, tìm "y":
Suy ra ngầm định đối với x, ta có:
Sau đó, suy ra lại ngầm định đối với x cho chúng ta:
Cuối cùng, chúng tôi có:
Thái cực tương đối
Một cách sử dụng khác mà chúng ta có thể cung cấp cho đạo hàm cấp hai là trong việc tính toán các cực trị tương đối của một hàm.
Tiêu chuẩn của đạo hàm cấp một cho các cực trị cục bộ cho chúng ta biết rằng, nếu chúng ta có một hàm f liên tục trên một khoảng (a, b) và có một c thuộc khoảng nói trên sao cho f 'biến mất trong c (nghĩa là c là một điểm tới hạn), một trong ba trường hợp có thể xảy ra:
- Nếu f´ (x)> 0 với x bất kỳ thuộc (a, c) và f´ (x) <0 với x thuộc (c, b) thì f (c) là cực đại địa phương.
- Nếu f´ (x) <0 với bất kỳ x thuộc (a, c) và f´ (x)> 0 với x thuộc (c, b) thì f (c) là cực tiểu địa phương.
- Nếu f´ (x) có cùng dấu trong (a, c) và trong (c, b), điều đó ngụ ý rằng f (c) không phải là một cực trị địa phương.
Sử dụng tiêu chuẩn của đạo hàm cấp hai, chúng ta có thể biết liệu một số tới hạn của một hàm là cực đại hay cực tiểu cục bộ mà không cần phải xem dấu của hàm đó là gì trong các khoảng nói trên.
Tiêu chí của sự trôi dạt thứ hai cho chúng ta biết rằng nếu f´ (c) = 0 và f´´ (x) liên tục trong (a, b), thì điều đó xảy ra rằng nếu f´´ (c)> 0 thì f (c) là cực tiểu cục bộ và nếu f´´ (c) <0 thì f (c) là cực đại cục bộ.
Nếu f´´ (c) = 0, ta không kết luận được gì.
Thí dụ
Cho hàm số f (x) = x 4 + (4/3) x 3 - 4x 2 , tìm cực đại và cực tiểu tương đối của f theo tiêu chuẩn của đạo hàm cấp hai.
Đầu tiên chúng ta tính f´ (x) và f´´ (x) và chúng ta có:
f´ (x) = 4x 3 + 4x 2 - 8x
f´´ (x) = 12x 2 + 8x - 8
Bây giờ f´ (x) = 0 nếu và chỉ khi 4x (x + 2) (x - 1) = 0, và điều này xảy ra khi x = 0, x = 1 hoặc x = - 2.
Để xác định xem các số tới hạn thu được có phải là cực trị tương đối hay không, chỉ cần đánh giá tại f´´ và do đó quan sát dấu hiệu của nó.
f´´ (0) = - 8, do đó f (0) là cực đại cục bộ.
f´´ (1) = 12 nên f (1) là cực tiểu cục bộ.
f´´ (- 2) = 24 nên f (- 2) là cực tiểu cục bộ.
Chuỗi Taylor
Gọi f là một hàm được định nghĩa như sau:
Hàm này có bán kính hội tụ R> 0 và có đạo hàm của tất cả các bậc trong (-R, R). Các đạo hàm liên tiếp của f cho ta:
Lấy x = 0, chúng ta có thể nhận được các giá trị của c n dưới dạng một hàm của đạo hàm của chúng như sau:
Nếu chúng ta lấy an = 0 là hàm f (nghĩa là f ^ 0 = f), thì chúng ta có thể viết lại hàm như sau:
Bây giờ chúng ta hãy coi hàm như một chuỗi các lũy thừa tại x = a:
Nếu chúng ta thực hiện một phân tích tương tự như trước đó, chúng ta sẽ phải viết hàm f dưới dạng:
Các chuỗi này được gọi là chuỗi Taylor từ f đến a. Khi a = 0, chúng ta có trường hợp cụ thể gọi là chuỗi Maclaurin. Loại chuỗi này có tầm quan trọng lớn về mặt toán học, đặc biệt là trong phân tích số, vì nhờ chúng mà chúng ta có thể xác định các hàm trong máy tính như e x , sin (x) và cos (x).
Thí dụ
Lấy chuỗi Maclaurin cho e x .
Lưu ý rằng nếu f (x) = e x , thì f (n) (x) = e x và f (n) (0) = 1, do đó chuỗi Maclaurin của nó là:
Người giới thiệu
- Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (nd). Tính toán 5ed. Đồi Mc Graw.
- Leithold, L. (1992). Tính toán với hình học giải tích. HARLA, SA
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Phép tính. Mexico: Pearson Education.
- Saenz, J. (2005). Phép tính vi phân. Cạnh huyền.
- Saenz, J. (nd). Tích phân tích. Cạnh huyền.