Phép phân tích cộng của một số nguyên dương bao gồm việc biểu thị nó dưới dạng tổng của hai hoặc nhiều số nguyên dương. Như vậy, chúng ta có số 5 có thể được biểu diễn thành 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 hoặc 5 = 1 + 2 + 2. Mỗi cách viết số 5 này là những gì chúng ta sẽ gọi là sự phân hủy cộng tính.

Nếu chú ý, chúng ta có thể thấy rằng các biểu thức 5 = 2 + 3 và 5 = 3 + 2 biểu diễn cùng một thành phần; cả hai đều có cùng số. Tuy nhiên, để thuận tiện, mỗi phụ đề thường được viết theo tiêu chí từ thấp nhất đến cao nhất.

Phân hủy phụ gia

Như một ví dụ khác, chúng ta có thể lấy số 27, chúng ta có thể diễn đạt như sau:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Phân rã cộng là một công cụ rất hữu ích cho phép chúng ta củng cố kiến ​​thức về hệ thống đánh số.

Phân hủy phụ gia chuẩn

Khi chúng ta có các số có nhiều hơn hai chữ số, một cách cụ thể để phân tách chúng theo bội số của 10, 100, 1000, 10 000, v.v. tạo nên nó. Cách viết bất kỳ số nào này được gọi là phân rã phụ gia chính tắc. Ví dụ, số 1456 có thể được phân tách như sau:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Nếu chúng ta có số 20 846 295, sự phân hủy phụ gia chuẩn của nó sẽ là:

20 846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Nhờ sự phân rã này, chúng ta có thể thấy rằng giá trị của một chữ số nhất định được cho bởi vị trí mà nó chiếm. Hãy lấy số 24 và 42 làm ví dụ:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Ở đây chúng ta có thể thấy rằng trong 24, 2 có giá trị là 20 đơn vị và 4 a là 4 đơn vị; mặt khác, trong 42 số 4 có giá trị là 40 đơn vị và số 2 là hai đơn vị. Vì vậy, mặc dù cả hai số đều sử dụng các chữ số giống nhau nhưng giá trị của chúng hoàn toàn khác nhau do vị trí mà chúng chiếm giữ.

Các ứng dụng

Một trong những ứng dụng mà chúng ta có thể cung cấp để phân rã cộng là trong một số loại chứng minh, trong đó rất hữu ích khi xem một số nguyên dương là tổng của những số khác.

Định lý ví dụ

Chúng ta hãy lấy làm ví dụ cho định lý sau đây với các cách chứng minh tương ứng.

- Gọi Z là số nguyên có 4 chữ số thì Z chia hết cho 5 nếu số tương ứng của nó với hàng đơn vị là 0 hoặc 5.

Trình diễn

Chúng ta hãy nhớ chia hết là gì. Nếu chúng ta có số nguyên "a" và "b", chúng ta nói rằng "a" chia "b" nếu tồn tại số nguyên "c" sao cho b = a * c.

Một trong những tính chất của phép chia hết cho chúng ta biết rằng nếu "a" và "b" cùng chia hết cho "c" thì phép trừ "ab" cũng chia hết.

Cho Z là số nguyên có 4 chữ số; do đó, chúng ta có thể viết Z là Z = ABCD.

Sử dụng phân hủy phụ gia chuẩn, chúng ta có:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Rõ ràng là A * 1000 + B * 100 + C * 10 chia hết cho 5. Vì lý do này ta có Z chia hết cho 5 nếu Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) chia hết cho 5.

Nhưng Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D và D là số có một chữ số, vì vậy cách duy nhất để nó chia hết cho 5 là 0 hoặc 5.

Do đó, Z chia hết cho 5 nếu D = 0 hoặc D = 5.

Lưu ý rằng nếu Z có n chữ số thì bằng chứng là hoàn toàn giống nhau, nó chỉ thay đổi vì bây giờ chúng ta sẽ viết Z = A ₁ A ₂ … A _n và mục tiêu là chứng minh rằng A _n là 0 hoặc 5.

Phân vùng

Chúng ta nói rằng một phân hoạch của một số nguyên dương là một cách mà chúng ta có thể viết một số dưới dạng tổng các số nguyên dương.

Sự khác biệt giữa phân rã phụ gia và phân vùng là, trong khi phân vùng đầu tiên tìm kiếm rằng ít nhất nó có thể được phân tách thành hai phần phụ trở lên, phân vùng không có hạn chế này.

Do đó, chúng tôi có những điều sau:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Trên đây là các phân vùng của 5.

Đó là, chúng ta có rằng mọi phân rã phụ gia là một phân vùng, nhưng không phải mọi phân vùng nhất thiết phải là phân hủy phụ gia.

Trong lý thuyết số, định lý cơ bản của số học đảm bảo rằng mọi số nguyên có thể được viết duy nhất dưới dạng tích các số nguyên tố.

Khi nghiên cứu phân vùng, mục tiêu là xác định xem một số nguyên dương có thể được viết dưới dạng tổng của các số nguyên khác bằng bao nhiêu cách. Do đó, chúng tôi xác định chức năng phân vùng như được trình bày dưới đây.

Định nghĩa

Hàm phân hoạch p (n) được định nghĩa là số cách viết một số nguyên dương n thành tổng các số nguyên dương.

Quay trở lại ví dụ về 5, chúng ta có:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Như vậy, p (5) = 7.

Đồ họa

Cả hai phân vùng và phân tách cộng của một số n đều có thể được biểu diễn bằng hình học. Giả sử chúng ta có một phân rã cộng của n. Trong sự phân tách này, các phụ tố có thể được sắp xếp sao cho các phần tử của tổng được sắp xếp từ nhỏ nhất đến lớn nhất. Được thôi:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r với

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r .

Chúng ta có thể vẽ biểu đồ phân rã này theo cách sau: ở hàng đầu tiên, chúng ta đánh dấu ₁ điểm, sau đó, tiếp theo chúng ta đánh dấu ₂ điểm, và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi chúng ta đạt đến _r .

Lấy ví dụ số 23 và sự phân hủy sau đây của nó:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Chúng tôi đặt hàng phân hủy này và chúng tôi có:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Đồ thị tương ứng của nó sẽ là: