- Trình diễn
- Ví dụ
- ví dụ 1
- Ví dụ 2
- Ví dụ 3
- Ví dụ 4
- Ví dụ 5
- Ví dụ 6
- Bài tập đã giải
- Bài tập 1
- Bài tập 2
- Bài tập 3
- Bài tập 4
- Người giới thiệu
Nó được gọi là tính chất tam giác không bằng nhau mà thỏa hai số thực gồm giá trị tuyệt đối của tổng của chúng luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối của chúng. Tính chất này còn được gọi là bất đẳng thức Minkowski hay bất đẳng thức tam giác.
Tính chất này của các con số được gọi là bất đẳng thức tam giác vì trong tam giác, độ dài của một cạnh luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng của hai cạnh kia, mặc dù bất đẳng thức này không phải lúc nào cũng áp dụng cho diện tích tam giác.
Hình 1. Giá trị tuyệt đối của tổng hai số luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng giá trị tuyệt đối của chúng. (Biên soạn bởi R. Pérez)
Có một số cách chứng minh bất đẳng thức tam thức trong số thực, nhưng trong trường hợp này chúng ta sẽ chọn một cách dựa trên các tính chất của giá trị tuyệt đối và bình phương của nhị thức.
Định lý: Với mọi cặp số a và b thuộc các số thực, ta có:
- a + b - ≤ - a - + - b -
Trình diễn
Chúng ta bắt đầu bằng cách xem xét thành phần đầu tiên của bất đẳng thức, sẽ được bình phương:
- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Phương trình 1)
Trong bước trước, chúng ta đã sử dụng thuộc tính mà bất kỳ số nào bình phương đều bằng giá trị tuyệt đối của số bình phương đã nói, đó là: -x- ^ 2 = x ^ 2. Khai triển nhị thức bình phương cũng đã được sử dụng.
Mọi số x nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. Nếu số dương thì nó bằng nhau, nhưng nếu số âm thì nó sẽ luôn nhỏ hơn một số dương. Trong trường hợp này giá trị tuyệt đối của riêng nó, nghĩa là, có thể phát biểu rằng x ≤ - x -.
Tích (ab) là một số, do đó nó áp dụng rằng (ab) ≤ - ab -. Khi thuộc tính này được áp dụng cho (Phương trình 1), chúng ta có:
- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Phương trình 2)
Có tính đến rằng - ab - = - a - b - la (Phương trình 2) có thể được viết như sau:
- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Phương trình 3)
Nhưng vì chúng ta đã nói trước rằng bình phương của một số bằng giá trị tuyệt đối của bình phương số, nên phương trình 3 có thể được viết lại như sau:
- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Phương trình 4)
Trong thành phần thứ hai của bất đẳng thức, một sản phẩm đáng chú ý được công nhận, mà khi áp dụng dẫn đến:
- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Phương trình 5)
Trong biểu thức trước, cần lưu ý rằng các giá trị bình phương trong cả hai phần tử của bất đẳng thức đều dương, do đó nó cũng phải được thỏa mãn rằng:
- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Phương trình 6)
Biểu thức trước đó là chính xác những gì bạn muốn chứng minh.
Ví dụ
Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra bất đẳng thức tam giác với một số ví dụ.
ví dụ 1
Ta lấy giá trị a = 2 và giá trị b = 5, tức là cả hai số dương và ta kiểm tra xem bất đẳng thức có thỏa mãn hay không.
- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-
- 7 - ≤ -2- + -5-
7 ≤ 2+ 5
Bình đẳng được xác minh, do đó định lý bất đẳng thức tam giác đã được thực hiện.
Ví dụ 2
Các giá trị a = 2 và b = -5 sau đây được chọn, nghĩa là một số dương và một số âm, chúng ta kiểm tra xem bất đẳng thức có thỏa mãn hay không.
- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-
- -3 - ≤ -2- + --5-
3 ≤ 2 + 5
Bất đẳng thức thỏa mãn, do đó định lý bất đẳng thức tam giác đã được kiểm chứng.
Ví dụ 3
Ta lấy giá trị a = -2 và giá trị b = 5, tức là một số âm và một số dương, ta kiểm tra xem bất đẳng thức có thỏa mãn hay không.
- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-
- 3 - ≤ --2- + -5-
3 ≤ 2 + 5
Bất đẳng thức được xác minh, do đó định lý đã được thực hiện.
Ví dụ 4
Các giá trị sau a = -2 và b = -5 được chọn, nghĩa là cả hai số âm và chúng ta kiểm tra xem bất đẳng thức có thỏa mãn hay không.
- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-
- -7 - ≤ --2- + --5-
7 ≤ 2+ 5
Sự bình đẳng được xác minh, do đó định lý bất đẳng thức Minkowski đã được thực hiện.
Ví dụ 5
Ta lấy giá trị a = 0 và giá trị b = 5, tức là một số 0 và một số dương, sau đó ta kiểm tra xem bất đẳng thức có thỏa mãn hay không.
- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-
- 5 - ≤ -0- + -5-
5 ≤ 0+ 5
Đẳng thức được hoàn thành, do đó định lý bất đẳng thức tam giác đã được kiểm chứng.
Ví dụ 6
Chúng ta lấy giá trị a = 0 và giá trị b = -7, nghĩa là một số 0 và một số dương, sau đó chúng ta kiểm tra xem bất đẳng thức có thỏa mãn hay không.
- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-
- -7 - ≤ -0- + --7-
7 ≤ 0+ 7
Bình đẳng được xác minh, do đó định lý bất đẳng thức tam giác đã được thực hiện.
Bài tập đã giải
Trong các bài tập sau, biểu diễn bất đẳng thức tam giác hoặc bất đẳng thức Minkowski bằng hình học cho các số a và b.
Số a sẽ được biểu diễn dưới dạng một đoạn trên trục X, gốc O của nó trùng với điểm 0 của trục X và đầu kia của đoạn (tại điểm P) sẽ theo chiều dương (bên phải) của trục X nếu a > 0, nhưng nếu a <0, nó sẽ theo hướng âm của trục X, bằng bao nhiêu đơn vị như giá trị tuyệt đối của nó cho biết.
Tương tự, số b sẽ được biểu diễn dưới dạng một đoạn có gốc tọa độ trên điểm P. Một điểm cực trị khác, nghĩa là điểm Q sẽ ở bên phải P nếu b dương (b> 0) và điểm Q sẽ là -b. - đơn vị bên trái của P nếu b <0.
Bài tập 1
Vẽ đồ thị bất đẳng thức của tam giác cho a = 5 và b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, trong đó c = a + b.
Bài tập 2
Vẽ đồ thị của bất đẳng thức tam giác cho a = 5 và b = -3.
- a + b - ≤ - a - + - b -, trong đó c = a + b.
Bài tập 3
Biểu diễn bằng đồ thị bất đẳng thức của tam giác đối với a = -5 và b = 3.
- a + b - ≤ - a - + - b -, trong đó c = a + b.
Bài tập 4
Dựng bất phương trình tam giác bằng đồ thị a = -5 và b = -3.
- a + b - ≤ - a - + - b -, trong đó c = a + b.
Người giới thiệu
- E. Whitesitt. (1980). Đại số Boolean và các ứng dụng của nó. Công ty biên tập Continental CA
- Mícheál O 'Searcoid. (2003) Các yếu tố của Phân tích Tóm tắt. . Khoa toán học. Cao đẳng đại học Dublin, Beldfield, Dublind.
- J. Van Wyk. (2006) Toán học và Kỹ thuật trong Khoa học Máy tính. Viện Khoa học Máy tính và Công nghệ. Cục tiêu chuẩn quốc gia. Washington, DC 20234
- Eric Lehman. Toán cho Khoa học Máy tính. Google Inc.
- F Thomson Leighton (1980). Giải tích. Khoa Toán học và Phòng thí nghiệm Khoa học Máy tính và Trí tuệ nhân tạo, Học viện Công nghệ Massachussetts.
- Học viện Khan. Định lý Bất đẳng thức Tam giác. Phục hồi từ: khanacademy.org
- Wikipedia. Bất đẳng thức tam giác. Được phục hồi từ: es. wikipedia.com