- Công thức
- Khoảng cách Euclide theo hai chiều
- Các bề mặt phi Euclide
- Khoảng cách Euclide trong n chiều
- Cách tính khoảng cách Euclide
- Thí dụ
- Người giới thiệu
Các khoảng cách Euclide là một số dương cho biết sự tách biệt giữa hai điểm trong một không gian nơi các tiên đề và định lý của hình học Euclid được đáp ứng.
Khoảng cách giữa hai điểm A và B trong không gian Ơclit là độ dài của vectơ AB thuộc đường thẳng duy nhất đi qua các điểm này.
Hình 1 . Không gian Euclide một chiều tạo bởi đường thẳng (OX). Một số điểm được hiển thị trên không gian nói trên, tọa độ và khoảng cách của chúng. (Chuẩn bị bởi Ricardo Pérez).
Không gian mà con người nhận thức và nơi chúng ta di chuyển là không gian ba chiều (3-D), nơi các tiên đề và định lý của hình học Euclid được ứng nghiệm. Không gian con hai chiều (mặt phẳng) và không gian con một chiều (đường) được chứa trong không gian này.
Không gian Euclide có thể là một chiều (1-D), hai chiều (2-D), ba chiều (3-D) hoặc n-chiều (nD).
Các điểm trong không gian một chiều X là những điểm thuộc đường định hướng (OX), chiều từ O đến X là chiều dương. Để xác định vị trí các điểm trên đường thẳng này, hệ thống Descartes được sử dụng, bao gồm việc gán một số cho mỗi điểm của đường thẳng.
Công thức
Khoảng cách Euclid d (A, B) giữa các điểm A và B, nằm trên một đường thẳng, được xác định là căn bậc hai của bình phương của sự khác biệt trong tọa độ X của chúng:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Định nghĩa này đảm bảo rằng: khoảng cách giữa hai điểm luôn là một đại lượng dương. Và khoảng cách giữa A và B bằng khoảng cách giữa B và A.
Hình 1 cho thấy không gian Euclid một chiều được tạo thành bởi đường thẳng (OX) và một số điểm trên đường thẳng này. Mỗi điểm có một tọa độ:
Điểm A có tọa độ XA = 2,5, điểm B tọa độ XB = 4 và điểm C tọa độ XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Khoảng cách Euclide theo hai chiều
Không gian Euclide hai chiều là một mặt phẳng. Các điểm của mặt phẳng Euclid đáp ứng các tiên đề của hình học Euclid, ví dụ:
- Một đường thẳng đi qua hai điểm.
- Ba điểm trên mặt phẳng tạo thành một tam giác có các góc trong luôn bằng 180º.
- Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương các chân của nó.
Trong hai chiều, một điểm có tọa độ X và Y.
Ví dụ một điểm P có tọa độ (XP, YP) và một điểm Q có tọa độ (XQ, YQ).
Khoảng cách Euclide giữa điểm P và Q được xác định theo công thức sau:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Cần lưu ý rằng công thức này tương đương với định lý Pitago, như trong Hình 2.
Hình 2. Khoảng cách giữa hai điểm P và Q trong mặt phẳng đáp ứng định lý Pitago. (Chuẩn bị bởi Ricardo Pérez).
Các bề mặt phi Euclide
Không phải tất cả các không gian hai chiều đều tuân theo hình học Euclide. Bề mặt của một hình cầu là một không gian hai chiều.
Các góc của một tam giác trên mặt cầu không cộng lại đến 180º và với điều này, định lý Pitago không được đáp ứng, do đó một mặt cầu không đáp ứng tiên đề Euclid.
Khoảng cách Euclide trong n chiều
Khái niệm tọa độ có thể được mở rộng sang các kích thước lớn hơn:
- Trong 2-D điểm P có tọa độ (XP, YP)
- Trong 3-D một điểm Q có tọa độ (XQ, YQ, ZQ)
- Trong 4-D, điểm R sẽ có tọa độ (XR, YR, ZR, WR)
- Trong nD một điểm P sẽ có tọa độ (P1, P2, P3,… .., Pn)
Khoảng cách giữa hai điểm P và Q của không gian Euclid n chiều được tính theo công thức sau:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Quỹ tích của tất cả các điểm Q trong không gian Euclid n chiều cách đều một điểm cố định P khác (trung tâm) tạo thành siêu cầu n chiều.
Cách tính khoảng cách Euclide
Sau đây là cách tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều Euclide.
Giả sử điểm A thuộc tọa độ Descartes x, y, z cho bởi A :( 2, 3, 1) và điểm B thuộc tọa độ B :( -3, 2, 2).
Chúng tôi muốn xác định khoảng cách giữa các điểm này, việc sử dụng nào được thực hiện theo mối quan hệ chung:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196
Thí dụ
Có hai điểm P và Q. Điểm P thuộc tọa độ Descartes x, y, z cho bởi P :( 2, 3, 1) và điểm Q có tọa độ Q :( -3, 2, 1).
Yêu cầu tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng nối hai điểm.
Điểm M chưa biết được giả thiết có tọa độ (X, Y, Z).
Vì M là trung điểm của nên d (P, M) = d (Q, M) nên d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 cũng phải đúng:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Như trong trường hợp này, số hạng thứ ba bằng nhau ở cả hai thành viên, biểu thức trước đó đơn giản hóa thành:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Khi đó ta có một phương trình với hai ẩn số X và Y. Cần một phương trình khác để giải bài toán.
Điểm M thuộc đường thẳng đi qua điểm P, Q ta tính được như sau:
Đầu tiên ta tìm vectơ giám đốc PQ của đường thẳng: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Khi đó PM = OP + a PQ , trong đó OP là vectơ vị trí của điểm P và là một tham số thuộc tập số thực.
Phương trình trên được gọi là phương trình vectơ của đường thẳng, trong hệ tọa độ Descartes có dạng sau:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Cân bằng các thành phần tương ứng ta có:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Tức là, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, cuối cùng là Z = 1.
Nó được thay thế trong biểu thức bậc hai liên hệ X với Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Nó được đơn giản hóa:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Bây giờ mở ra:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Nó được đơn giản hóa, hủy bỏ các điều khoản giống như ở cả hai thành viên:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Tham số a bị xóa:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 dẫn đến a = 1.
Tức là, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, cuối cùng là Z = 1.
Cuối cùng chúng ta thu được tọa độ Descartes của trung điểm M của đoạn:
M: (-1, 5, 1).
Người giới thiệu
- Lehmann C. (1972) Hình học phân tích. UTEHA.
- Siêu lợi nhuận. Khoảng cách giữa hai điểm. Được phục hồi từ: superprof.es
- UNAM. Khoảng cách giữa các đa tạp phụ tuyến tính affine. Được khôi phục từ: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Khoảng cách Euclide. Phục hồi từ: es.wikipedia.com
- wikipedia. Không gian Ơclit. Phục hồi từ: es.wikipedia.com