PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC: ĐẶC ĐIỂM, BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2024

Các phân bố xác suất rời rạc là một chức năng mà chuyển nhượng cho mỗi phần tử của X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, trong đó X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhất định và S là không gian mẫu, xác suất mà cho biết sự kiện xảy ra. Hàm f của X (S) được định nghĩa là f (xi) = P (X = xi) đôi khi được gọi là hàm khối lượng xác suất.

Khối lượng xác suất này thường được biểu diễn dưới dạng bảng. Vì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nên X (S) có số lượng sự kiện hữu hạn hoặc đếm được vô hạn. Trong số các phân phối xác suất rời rạc phổ biến nhất, chúng ta có phân phối đồng đều, phân phối nhị thức và phân phối Poisson.

nét đặc trưng

Hàm phân phối xác suất phải đáp ứng các điều kiện sau:

Hơn nữa, nếu X chỉ nhận một số hữu hạn giá trị (ví dụ: x1, x2,…, xn), thì p (xi) = 0 nếu i> ny, do đó, chuỗi vô hạn điều kiện b trở thành a chuỗi hữu hạn.

Hàm này cũng đáp ứng các thuộc tính sau:

Gọi B là một sự kiện liên quan đến biến ngẫu nhiên X. Điều này có nghĩa là B được chứa trong X (S). Cụ thể, giả sử rằng B = {xi1, xi2, …}. Như vậy:

Nói cách khác, xác suất của một sự kiện B bằng tổng xác suất của các kết quả riêng lẻ liên quan đến B.

Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng nếu a <b, các sự kiện (X ≤ a) và (a <X ≤ b) là loại trừ lẫn nhau và hơn nữa, kết hợp của chúng là sự kiện (X ≤ b), vì vậy chúng ta có:

Các loại

Phân phối đồng đều trên n điểm

Người ta nói rằng một biến ngẫu nhiên X tuân theo một phân phối có đặc điểm là đồng nhất tại n điểm nếu mỗi giá trị được gán cùng một xác suất. Hàm khối lượng xác suất của nó là:

Giả sử chúng ta có một thử nghiệm có hai kết quả có thể xảy ra, nó có thể là tung đồng xu mà kết quả có thể là đầu hoặc đuôi, hoặc lựa chọn một số nguyên mà kết quả có thể là số chẵn hoặc số lẻ; loại thử nghiệm này được gọi là thử nghiệm Bernoulli.

Nói chung, hai kết quả có thể xảy ra được gọi là thành công và thất bại, trong đó p là xác suất thành công và 1-p là xác suất thất bại. Chúng ta có thể xác định xác suất thành công của x trong n phép thử Bernoulli độc lập với nhau bằng phân phối sau.

Phân phối nhị thức

Đây là hàm đại diện cho xác suất đạt được x thành công trong n phép thử Bernoulli độc lập, có xác suất thành công là p. Hàm khối lượng xác suất của nó là:

Đồ thị sau biểu diễn hàm khối lượng xác suất cho các giá trị khác nhau của các tham số của phân phối nhị thức.

Phân phối sau đây là tên của nhà toán học người Pháp Simeon Poisson (1781-1840), người đã lấy nó làm giới hạn của phân phối nhị thức.

Phân phối Poisson

Một biến ngẫu nhiên X được cho là có phân phối Poisson của tham số λ khi nó có thể nhận các giá trị nguyên dương 0,1,2,3, … với xác suất sau:

Trong biểu thức này, λ là số trung bình tương ứng với các lần xuất hiện của sự kiện trong mỗi đơn vị thời gian và x là số lần sự kiện xảy ra.

Hàm khối lượng xác suất của nó là:

Đây là một đồ thị biểu diễn hàm khối lượng xác suất cho các giá trị khác nhau của các tham số của phân phối Poisson.

Lưu ý rằng, miễn là số lần thành công thấp và số n phép thử được thực hiện trên phân phối nhị thức nhiều, chúng ta luôn có thể tính gần đúng các phân phối này, vì phân phối Poisson là giới hạn của phân phối nhị thức.

Sự khác biệt chính giữa hai phân phối này là, trong khi nhị thức phụ thuộc vào hai tham số, cụ thể là n và p, Poisson chỉ phụ thuộc vào λ, đôi khi được gọi là cường độ của phân phối.

Cho đến nay chúng ta mới chỉ nói về phân bố xác suất cho các trường hợp trong đó các thí nghiệm khác nhau độc lập với nhau; nghĩa là, khi kết quả của một không bị ảnh hưởng bởi một số kết quả khác.

Khi nó xảy ra trường hợp có các thí nghiệm không độc lập, phân phối siêu bội rất hữu ích.

Phân phối siêu đo

Gọi N là tổng số đối tượng của một tập hữu hạn, bằng một cách nào đó ta có thể xác định k trong số này, do đó tạo thành một tập con K, có phần bù được tạo thành bởi Nk phần tử còn lại.

Nếu chúng ta chọn ngẫu nhiên n đối tượng, thì biến ngẫu nhiên X đại diện cho số đối tượng thuộc K trong sự lựa chọn nói trên có phân phối siêu bội của các tham số N, n và k. Hàm khối lượng xác suất của nó là:

Đồ thị sau đây biểu diễn hàm khối lượng xác suất cho các giá trị khác nhau của các tham số của phân phối siêu đại.

Bài tập đã giải

Bài tập đầu tiên

Giả sử rằng xác suất để một ống vô tuyến (được đặt trong một loại thiết bị nhất định) sẽ hoạt động trong hơn 500 giờ là 0,2. Nếu 20 ống được kiểm tra, xác suất để k trong số này chạy trong hơn 500 giờ, k = 0, 1,2,…, 20 là bao nhiêu?

Giải pháp

Nếu X là số ống làm việc trên 500 giờ, chúng ta sẽ giả sử rằng X có phân phối nhị thức. Vì thế

Và vì thế:

Đối với k≥11, các xác suất nhỏ hơn 0,001

Do đó, chúng ta có thể thấy xác suất để k trong số này làm việc trong hơn 500 giờ tăng lên như thế nào, cho đến khi nó đạt giá trị lớn nhất (với k = 4) và sau đó bắt đầu giảm.

Bài tập thứ hai

Một đồng xu được tung 6 lần. Khi kết quả là đắt, chúng tôi sẽ nói rằng đó là một thành công. Xác suất để hai đầu xuất hiện chính xác là bao nhiêu?

Giải pháp

Đối với trường hợp này, chúng ta có n = 6 và cả xác suất thành công và thất bại là p = q = 1/2

Do đó, xác suất để cho hai đầu (nghĩa là, k = 2) là

Bài tập thứ ba

Xác suất tìm thấy ít nhất bốn đầu là bao nhiêu?

Giải pháp

Đối với trường hợp này, chúng ta có k = 4, 5 hoặc 6

Bài tập thứ ba

Giả sử rằng 2% các mặt hàng được sản xuất trong một nhà máy bị lỗi. Tìm xác suất P để trong mẫu 100 món có ba phế phẩm.

Giải pháp

Đối với trường hợp này, chúng ta có thể áp dụng phân phối nhị thức cho n = 100 và p = 0,02, thu được kết quả là:

Tuy nhiên, vì p nhỏ nên chúng ta sử dụng xấp xỉ Poisson với λ = np = 2. Vì thế,

Người giới thiệu

1. Kai Lai Chung. Lý thuyết về tính ổn định cơ bản với quy trình ngẫu nhiên. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, Toán học rời rạc và các ứng dụng của nó. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Ứng dụng xác suất và thống kê. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Tiến sĩ Seymour Lipschutz 2000 Các vấn đề đã được giải quyết của Toán học rời rạc. McGRAW-HILL.
5. Tiến sĩ Seymour Lipschutz Lý thuyết và các vấn đề xác suất. McGRAW-HILL.