MIỀN VÀ MIỀN TƯƠNG PHẢN CỦA MỘT HÀM (VỚI CÁC VÍ DỤ) - TOÁN HỌC - 2026

Các khái niệm miền và miền đối của một hàm thường được giảng dạy trong các môn giải tích được giảng dạy ở đầu các trình độ đại học.

Trước khi xác định miền và miền đối lập, bạn phải biết hàm là gì. Một hàm f là một luật (quy tắc) tương ứng được thực hiện giữa các phần tử của hai tập hợp.

Tập mà các phần tử được chọn được gọi là miền của hàm, và tập mà các phần tử này được gửi qua f được gọi là miền đối.

Trong toán học, một hàm số có miền A và miền đối kháng B được biểu thị bằng biểu thức f: A → B.

Biểu thức trước nói rằng các phần tử của tập A được gửi đến tập B tuân theo luật tương ứng f.

Một hàm gán cho mỗi phần tử của tập A một phần tử duy nhất của tập B.

Miền và miền đối chiếu

Cho một hàm thực của một biến thực f (x), chúng ta có miền của hàm sẽ là tất cả các số thực sao cho khi đánh giá trong f, kết quả là một số thực.

Nói chung, miền đối của một hàm là tập các số thực R. Miền đối còn được gọi là tập đến hoặc miền đồng của hàm f.

Miền tương phản của một hàm luôn là R?

Không. Miễn là hàm không được nghiên cứu chi tiết, tập các số thực R thường được coi là miền đối.

Nhưng một khi hàm đã được nghiên cứu, một tập phù hợp hơn có thể được lấy làm miền đối, sẽ là một tập con của R.

Tập hợp thích hợp đã được đề cập trong đoạn trước phù hợp với hình ảnh của hàm.

Định nghĩa ảnh hoặc phạm vi của hàm f đề cập đến tất cả các giá trị đến từ việc đánh giá một phần tử của miền trong f.

Ví dụ

Các ví dụ sau minh họa cách tính miền của một hàm và ảnh của nó.

ví dụ 1

Gọi f là hàm thực xác định bởi f (x) = 2.

Miền của f là tất cả các số thực sao cho khi đánh giá tại f, kết quả là một số thực. Giá trị tương phản tại thời điểm này bằng R.

Vì hàm đã cho là hằng số (luôn bằng 2) nên việc chọn số thực nào không quan trọng, vì khi đánh giá nó trong f, kết quả sẽ luôn bằng 2, là số thực.

Do đó, miền của hàm số đã cho là tất cả các số thực; nghĩa là A = R.

Bây giờ biết rằng kết quả của hàm luôn bằng 2, ta có ảnh của hàm chỉ là số 2, do đó miền đối của hàm có thể được xác định lại là B = Img (f) = {hai}.

Do đó, f: R → {2}.

Ví dụ 2

Gọi g là một hàm thực xác định bởi g (x) = √x.

Chừng nào chưa biết ảnh của g thì cận của g là B = R.

Với chức năng này, cần phải lưu ý rằng các căn bậc hai chỉ được xác định cho các số không âm; nghĩa là, đối với các số lớn hơn hoặc bằng không. Ví dụ, √-1 không phải là một số thực.

Do đó, miền của hàm g phải là tất cả các số lớn hơn hoặc bằng 0; nghĩa là, x ≥ 0.

Do đó, A = [0, + ∞).

Để tính toán phạm vi, cần lưu ý rằng bất kỳ kết quả nào của g (x), vì nó là căn bậc hai, sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng không. Tức là, B = [0, + ∞).

Suy ra, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Ví dụ 3

Nếu chúng ta có hàm h (x) = 1 / (x-1), chúng ta có hàm này không được xác định cho x = 1, vì mẫu số sẽ nhận được 0 và phép chia cho 0 không được xác định.

Mặt khác, với bất kỳ giá trị thực nào khác, kết quả sẽ là một số thực. Do đó, miền là tất cả các thực ngoại trừ một; nghĩa là, A = R \ {1}.

Theo cách tương tự, có thể nhận thấy rằng giá trị duy nhất không thể nhận được do kết quả là 0, vì đối với một phân số bằng 0 thì tử số phải bằng không.

Do đó, hình ảnh của hàm là tập hợp tất cả các số thực ngoại trừ số 0, do đó B = R \ {0} được lấy làm miền tương phản.

Kết luận, h: R \ {1} → R \ {0}.

Quan sát

Miền và hình ảnh không nhất thiết phải cùng một tập hợp, như được minh họa trong Ví dụ 1 và 3.

Khi một hàm được vẽ đồ thị trên mặt phẳng Descartes, miền được biểu thị bằng trục X và miền đối kháng hoặc phạm vi được biểu diễn bằng trục Y.

Người giới thiệu

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Toán học Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Toán học Precalculus: một cách tiếp cận giải quyết vấn đề (2, Ấn bản có minh họa). Michigan: Hội trường Prentice.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Đại số và lượng giác với hình học giải tích. Giáo dục Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ấn bản). Học tập Cengage.
5. Leal, JM & Viloria, NG (2005). Hình học Giải tích Mặt phẳng. Mérida - Venezuela: Biên tập Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Tính toán trước. Giáo dục Pearson.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Giải tích (Xuất bản lần thứ chín). Sảnh Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Phép tính vi phân với các hàm siêu việt ban đầu dành cho Khoa học và Kỹ thuật (Phiên bản thứ hai xuất bản). Cạnh huyền.
9. Scott, CA (2009). Hình học Mặt phẳng Descartes, Phần: Giải tích Conics (1907) (tái bản ed.). Nguồn sét.
10. Sullivan, M. (1997). Tính toán trước. Giáo dục Pearson.