PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC (CÓ GIẢI BÀI TẬP) - TOÁN HỌC - 2025

Các phương trình đa thức là một tuyên bố rằng tăng sự bình đẳng giữa hai biểu thức hoặc thành viên, trong đó một ít nhất các điều khoản mà làm lên mỗi bên của bình đẳng là đa thức P (x). Các phương trình này được đặt tên theo mức độ của các biến của chúng.

Nói chung, một phương trình là một phát biểu thiết lập sự bằng nhau của hai biểu thức, trong đó ít nhất một trong số này có các đại lượng chưa biết, được gọi là biến số hoặc ẩn số. Mặc dù có nhiều dạng phương trình nhưng nhìn chung chúng được phân thành hai dạng: phương trình đại số và phương trình siêu nghiệm.

Phương trình đa thức chỉ chứa các biểu thức đại số, có thể có một hoặc nhiều ẩn số tham gia vào phương trình. Theo số mũ (độ) mà chúng có, chúng có thể được phân loại thành: bậc một (tuyến tính), bậc hai (bậc hai), bậc ba (bậc ba), bậc bốn (tứ phương), bậc lớn hơn hoặc bằng năm và độ vô tỷ.

nét đặc trưng

Đa thức đẳng thức là biểu thức được tạo thành bởi một đẳng thức giữa hai đa thức; nghĩa là, bằng các tổng hữu hạn của phép nhân giữa các giá trị chưa biết (biến) và số cố định (hệ số), trong đó các biến có thể có số mũ và giá trị của chúng có thể là một số nguyên dương, bao gồm cả số không.

Số mũ xác định mức độ hoặc loại phương trình. Số hạng trong biểu thức có số mũ cao nhất sẽ biểu diễn bậc tuyệt đối của đa thức.

Phương trình đa thức còn được gọi là phương trình đại số, hệ số của chúng có thể là số thực hoặc số phức và các biến là số chưa biết được biểu diễn bằng một chữ cái, chẳng hạn như: "x".

Nếu thay một giá trị cho biến "x" trong P (x) thì kết quả bằng không (0), thì giá trị đó được coi là thỏa mãn phương trình (nó là một nghiệm), và nó thường được gọi là căn của đa thức.

Khi phát triển một phương trình đa thức, bạn muốn tìm tất cả các nghiệm nguyên hoặc nghiệm.

Các loại

Có một số loại phương trình đa thức, được phân biệt theo số lượng biến và cũng theo mức độ của số mũ của chúng.

Do đó, các phương trình đa thức - trong đó số hạng đầu tiên của nó là một đa thức có một ẩn số duy nhất, coi rằng bậc của nó có thể là một số tự nhiên bất kỳ (n) và số hạng thứ hai là 0-, có thể được biểu diễn như sau:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Ở đâu:

- a _n, a _n-1 và ₀ là các hệ số thực (số).

- a _n khác 0.

- Số mũ n là số nguyên dương biểu diễn bậc của phương trình.

- x là biến hoặc ẩn số cần tìm.

Bậc tuyệt đối hoặc bậc lớn hơn của một phương trình đa thức là số mũ có giá trị cao nhất trong số tất cả các giá trị tạo thành đa thức; do đó, các phương trình được phân loại là:

Lớp một

Phương trình đa thức bậc nhất hay còn gọi là phương trình tuyến tính là những phương trình mà bậc (số mũ lớn nhất) bằng 1, đa thức có dạng P (x) = 0; y bao gồm một số hạng tuyến tính và một số hạng độc lập. Nó được viết như sau:

ax + b = 0.

Ở đâu:

- a và b là các số thực và a ≠ 0.

- ax là số hạng tuyến tính.

- b là số hạng độc lập.

Ví dụ, phương trình 13x - 18 = 4x.

Để giải phương trình tuyến tính, tất cả các số hạng có chứa x chưa biết phải được chuyển sang một phía của đẳng thức và những số hạng không có chúng chuyển sang phía khác, để giải nó và nhận được một nghiệm:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Như vậy, phương trình đã cho chỉ có một nghiệm hoặc một nghiệm là x = 2.

Lớp hai

Phương trình đa thức bậc hai, còn được gọi là phương trình bậc hai, là những phương trình trong đó bậc (số mũ lớn nhất) bằng 2, đa thức có dạng P (x) = 0, và là một số hạng bậc hai. , một tuyến tính và một độc lập. Nó được thể hiện như sau:

ax ² + bx + c = 0.

Ở đâu:

- a, b và c là các số thực và a ≠ 0.

- ax ² là số hạng bậc hai, và "a" là hệ số của số hạng bậc hai.

- bx là số hạng tuyến tính và "b" là hệ số của số hạng tuyến tính.

- c là thuật ngữ độc lập.

Dung môi

Nói chung, lời giải cho loại phương trình này được đưa ra bằng cách xóa x khỏi phương trình, và nó như sau, được gọi là giải pháp:

Ở đó, (b ² - 4ac) được gọi là phân biệt của phương trình và biểu thức này xác định số nghiệm mà phương trình có thể có:

- Nếu (b ² - 4ac) = 0 thì phương trình có nghiệm đơn là nghiệm kép; nghĩa là nó sẽ có hai nghiệm bằng nhau.

- Nếu (b ² - 4ac)> 0 thì phương trình có hai nghiệm thực khác nhau.

- Nếu (b ² - 4ac) <0 thì phương trình vô nghiệm (nó sẽ có hai nghiệm phức khác nhau).

Ví dụ, chúng ta có phương trình 4x ² + 10x - 6 = 0, để giải nó trước tiên hãy xác định các số hạng a, b và c, sau đó thay nó vào công thức:

a = 4

b = 10

c = -6.

Có những trường hợp phương trình đa thức bậc hai không có cả ba số hạng, và đó là lý do tại sao chúng được giải theo cách khác:

- Trong trường hợp phương trình bậc hai không có số hạng tuyến tính (tức là b = 0), phương trình sẽ được biểu diễn dưới dạng ax ² + c = 0. Để giải nó, hãy giải cho x ² và áp dụng các căn bậc hai trong mỗi phần tử. , hãy nhớ rằng hai dấu hiệu có thể có mà điều chưa biết có thể có phải được xem xét:

ax ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Ví dụ: 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Khi phương trình bậc hai không có số hạng độc lập (tức là c = 0) thì phương trình sẽ được biểu diễn dưới dạng ax ² + bx = 0. Để giải được ta phải lấy nhân tử chung của ẩn số x trong tích thứ nhất; Vì phương trình bằng 0 nên đúng là có ít nhất một trong các hệ số bằng 0:

ax ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Vì vậy, bạn phải:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Ví dụ: ta có phương trình 5x ² + 30x = 0. Đầu tiên ta tính:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Hai yếu tố được tạo ra là xy (5x + 30). Nó được coi là một trong số này sẽ bằng 0 và còn lại được giải quyết:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Điểm cao nhất

Phương trình đa thức bậc cao là những phương trình từ bậc ba trở đi, có thể được biểu diễn hoặc giải bằng phương trình đa thức tổng quát ở bất kỳ bậc nào:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Điều này được sử dụng bởi vì một phương trình có bậc lớn hơn hai là kết quả của việc tính nhân tử của một đa thức; nghĩa là, nó được biểu thị dưới dạng phép nhân các đa thức bậc một hoặc lớn hơn, nhưng không có căn thực.

Nghiệm của các loại phương trình này là trực tiếp, vì phép nhân hai thừa số sẽ bằng không nếu bất kỳ thừa số nào là rỗng (0); do đó, mỗi phương trình đa thức tìm được phải được giải, đặt mỗi thừa số của chúng bằng không.

Ví dụ, chúng ta có phương trình bậc ba (bậc ba) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Để giải nó, phải làm theo các bước sau:

- Các thuật ngữ được nhóm lại:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- Các phần tử được phân tách để lấy nhân tử chung của ẩn số:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- Theo cách này, hai hệ số thu được phải bằng 0:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Có thể thấy thừa số (x ² + 4) = 0 sẽ không có nghiệm thực, còn thừa số (x + 1) = 0 thì có nghiệm. Vì vậy, giải pháp là:

(x + 1) = 0

x = -1.

Bài tập đã giải

Giải các phương trình sau:

Bài tập đầu tiên

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Giải pháp

Trong trường hợp này, phương trình được biểu diễn dưới dạng phép nhân các đa thức; nghĩa là, nó được tính trong yếu tố. Để giải quyết nó, mỗi hệ số phải được đặt bằng 0:

- 2x ² + 5 = 0, nó không có nghiệm.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Như vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 3 và x = -1.

Bài tập thứ hai

x ⁴ - 36 = 0.

Giải pháp

Một đa thức đã được đưa ra, có thể được viết lại dưới dạng hiệu của các ô vuông để đi đến một giải pháp nhanh hơn. Do đó, phương trình là:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Để tìm nghiệm của phương trình, cả hai hệ số được đặt bằng 0:

(x ² + 6) = 0, nó không có nghiệm.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Như vậy, phương trình ban đầu có hai nghiệm:

x = √6.

x = - √6.

Người giới thiệu

1. Andres, T. (2010). Kiểm tra Olympic Toán học. Springer. Newyork.
2. Angel, AR (2007). Đại số sơ cấp. Pearson Education ,.
3. Baer, ​​R. (2012). Đại số tuyến tính và Hình học xạ ảnh. Tổng công ty chuyển phát nhanh.
4. Baldor, A. (1941). Đại số học. Havana: Văn hóa.
5. Castaño, HF (2005). Toán học trước khi tính toán. Đại học Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Sách hướng dẫn luyện thi Olympic Toán. Đại học Jaume I.
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Đại số I cao hơn.
8. Massara, NC-L. (1995). Toán học 3.