CÁC SỰ KIỆN ĐỘC LẬP: TRÌNH DIỄN, VÍ DỤ, BÀI TẬP - DUDAS - 2026

Hai sự kiện là độc lập , khi xác suất mà một trong số chúng xảy ra không bị ảnh hưởng bởi thực tế là sự kiện kia xảy ra - hoặc không xảy ra-, coi như các sự kiện này xảy ra ngẫu nhiên.

Trường hợp này xảy ra bất cứ khi nào quá trình tạo ra kết quả của sự kiện 1, không làm thay đổi theo bất kỳ cách nào xác suất của các kết quả có thể có của sự kiện 2. Nhưng nếu điều này không xảy ra, các sự kiện được cho là phụ thuộc.

Hình 1. Các viên bi màu thường được sử dụng để giải thích xác suất của các sự kiện độc lập. Nguồn: Pixabay.

Một tình huống sự kiện độc lập như sau: Giả sử tung hai con xúc xắc sáu mặt, một mặt màu xanh và mặt kia màu hồng. Xác suất con 1 lăn trên con xúc xắc màu xanh độc lập với xác suất con 1 lăn - hoặc không lăn - trên con xúc xắc màu hồng.

Một trường hợp khác của hai sự kiện độc lập là tung đồng xu hai lần liên tiếp. Kết quả của lần ném đầu tiên sẽ không phụ thuộc vào kết quả của lần thứ hai và ngược lại.

Bằng chứng về hai sự kiện độc lập

Để xác minh rằng hai sự kiện là độc lập, chúng ta sẽ định nghĩa khái niệm xác suất có điều kiện của một sự kiện đối với sự kiện khác. Vì vậy, cần phải phân biệt giữa các sự kiện độc quyền và các sự kiện bao gồm:

Hai sự kiện là loại trừ nếu các giá trị hoặc phần tử có thể có của sự kiện A không có điểm chung nào với các giá trị hoặc phần tử của sự kiện B.

Do đó trong hai biến cố riêng, tập hợp các giao điểm của A với B là chân không:

Loại trừ các sự kiện: A∩B = Ø

Ngược lại, nếu các sự kiện là bao hàm, có thể xảy ra trường hợp kết quả của sự kiện A cũng trùng với kết quả của sự kiện B khác, với A và B là các sự kiện khác nhau. Trong trường hợp này:

Các sự kiện bao gồm: A∩B ≠ Ø

Điều này dẫn chúng ta đến việc xác định xác suất có điều kiện của hai sự kiện bao hàm, nói cách khác, xác suất xuất hiện của sự kiện A, bất cứ khi nào sự kiện B xảy ra:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Do đó, xác suất có điều kiện là xác suất xảy ra A và B chia cho xác suất xảy ra B. Xác suất B xảy ra có điều kiện đối với A cũng có thể được định nghĩa:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Tiêu chí để biết liệu hai sự kiện có độc lập hay không

Tiếp theo chúng tôi sẽ đưa ra ba tiêu chí để biết hai sự kiện có độc lập hay không. Chỉ cần một trong ba điều kiện được thực hiện là đủ, để chứng minh tính độc lập của các sự kiện.

1.- Nếu xác suất mà A xảy ra bất cứ khi nào B xảy ra bằng xác suất của A, thì chúng là các sự kiện độc lập:

P (A¦B) = P (A) => A độc lập với B

2.- Nếu xác suất xảy ra B cho A bằng xác suất B, thì có các biến cố độc lập:

P (B¦A) = P (B) => B độc lập với A

3.- Nếu xác suất A và B xảy ra bằng tích của xác suất A xảy ra và xác suất B xảy ra, thì chúng là các biến cố độc lập. Các ngược lại cũng đúng.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A và B là các sự kiện độc lập.

Ví dụ về các sự kiện độc lập

Đế cao su được sản xuất bởi hai nhà cung cấp khác nhau được so sánh. Các mẫu từ mỗi nhà sản xuất phải trải qua một số thử nghiệm để từ đó kết luận chúng có nằm trong thông số kỹ thuật hay không.

Hình 2. Các loại đế cao su. Nguồn: Pixabay.

Tóm tắt kết quả của 252 mẫu như sau:

Nhà sản xuất 1; 160 đáp ứng thông số kỹ thuật; 8 không đáp ứng thông số kỹ thuật.

Nhà sản xuất 2; 80 đáp ứng thông số kỹ thuật; 4 không đáp ứng thông số kỹ thuật.

Sự kiện A: "mẫu đó là của nhà sản xuất 1".

Sự kiện B: "rằng mẫu đáp ứng các thông số kỹ thuật."

Chúng tôi muốn biết liệu các sự kiện A và B này có độc lập hay không, chúng tôi áp dụng một trong ba tiêu chí đã đề cập trong phần trước.

Tiêu chí: P (B¦A) = P (B) => B độc lập với A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Kết luận: Các sự kiện A và B là độc lập.

Giả sử sự kiện C: "mẫu đến từ nhà sản xuất 2"

Sự kiện B có độc lập với sự kiện C không?

Chúng tôi áp dụng một trong các tiêu chí.

Tiêu chí: P (B¦C) = P (B) => B độc lập với C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Do đó, dựa trên dữ liệu có sẵn, xác suất để một đế cao su được chọn ngẫu nhiên đáp ứng các thông số kỹ thuật là độc lập với nhà sản xuất.

Chuyển đổi một sự kiện độc lập thành một sự kiện phụ thuộc

Hãy xem ví dụ sau để phân biệt giữa các sự kiện phụ thuộc và độc lập.

Chúng tôi có một cái túi với hai viên sô cô la trắng và hai viên bi đen. Xác suất lấy được bi trắng hoặc bi đen trong lần thử đầu tiên là bằng nhau.

Giả sử kết quả là một bi cái. Nếu quả bóng đã rút ra được thay vào túi, tình huống ban đầu được lặp lại: hai quả bóng trắng và hai quả bóng đen.

Vì vậy, trong một sự kiện hoặc lần hòa thứ hai, khả năng rút được bi cái hoặc bi đen giống với lần đầu tiên. Do đó, chúng là những sự kiện độc lập.

Nhưng nếu bi cái được rút ra trong trường hợp đầu tiên không được thay thế vì chúng ta đã ăn nó, thì trong lần rút thứ hai sẽ có nhiều khả năng rút ra một bi đen. Xác suất để lần chiết xuất thứ hai sẽ thu được lại màu trắng khác với xác suất của lần chiết xuất đầu tiên và được điều chỉnh bởi kết quả trước đó.

Bài tập

- Bài tập 1

Trong một chiếc hộp, ta đặt 10 viên bi hình 1, trong đó 2 viên màu xanh lục, 4 viên màu xanh lam và 4 viên màu trắng. Hai viên bi sẽ được chọn ngẫu nhiên, một viên trước và một viên sau. Yêu cầu tìm
xác suất để không có vật nào trong số chúng có màu xanh lam, trong các điều kiện sau:

a) Với sự thay thế, tức là trả lại viên bi đầu tiên trước lần chọn thứ hai vào hộp. Cho biết chúng là sự kiện độc lập hay phụ thuộc.

b) Không thay thế, sao cho viên bi đầu tiên được lấy ra bị rời khỏi hộp tại thời điểm thực hiện lần chọn thứ hai. Tương tự, cho biết chúng là sự kiện phụ thuộc hay độc lập.

Giải pháp cho

Chúng tôi tính xác suất để viên bi đầu tiên được lấy ra không phải là màu xanh lam, bằng 1 trừ đi xác suất nó có màu xanh lam P (A), hoặc trực tiếp rằng nó không phải là màu xanh lam vì nó có màu xanh lục hoặc trắng:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (đừng có màu xanh lam) = 1 - (2/5) = 3/5

O tốt:

P (xanh lục hoặc trắng) = 6/10 = 3/5.

Nếu viên bi chiết xuất được trả lại, mọi thứ vẫn như trước. Trong lần rút thứ hai này cũng có 3/5 xác suất để viên bi được rút ra không có màu xanh lam.

P (không xanh lam, không xanh lam) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Các sự kiện là độc lập, vì viên bi chiết xuất được trả lại hộp và sự kiện đầu tiên không ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện của sự kiện thứ hai.

Giải pháp b

Đối với lần trích xuất đầu tiên, hãy tiến hành như trong phần trước. Xác suất để nó không có màu xanh lam là 3/5.

Lần chiết thứ hai ta có 9 viên bi trong túi, vì viên thứ nhất không quay lại nhưng không có màu xanh, do đó trong túi có 9 viên bi và 5 viên không có màu xanh:

P (xanh lục hoặc trắng) = 5/9.

P (không có màu xanh lam) = P (đầu tiên không phải màu xanh lam). P (thứ hai không xanh lam / thứ nhất không xanh lam) = (3/5). (5/9) = 1/3

Trong trường hợp này, chúng không phải là các sự kiện độc lập, vì sự kiện đầu tiên tạo điều kiện cho sự kiện thứ hai.

- Bài tập 2

Một cửa hàng có 15 cái áo sơ mi với ba kích cỡ: 3 cái nhỏ, 6 cái vừa và 6 cái lớn. 2 áo được chọn ngẫu nhiên.

a) Xác suất để cả hai chiếc áo được chọn đều nhỏ, nếu lấy một chiếc trước và không thay chiếc khác trong lô?

b) Xác suất để cả hai chiếc áo được chọn đều nhỏ, nếu một chiếc áo được rút ra trước, được thay trong lô, và chiếc thứ hai bị loại bỏ?

Giải pháp cho

Đây là hai sự kiện:

Sự kiện A: chiếc áo sơ mi đầu tiên được chọn có kích thước nhỏ

Sự kiện B: chiếc áo sơ mi được chọn thứ hai nhỏ

Xác suất để biến cố A xảy ra là: P (A) = 3/15

Xác suất để sự kiện B xảy ra là: P (B) = 2/14, vì một chiếc áo đã được cởi bỏ (còn 14 chiếc), nhưng sự kiện A muốn hoàn thành thì chiếc áo đầu tiên được lấy ra phải nhỏ và do đó cả 2 đều nhỏ.

Tức là, xác suất để A và B là tích của các xác suất là:

P (A và B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Do đó, xác suất sự kiện A và B xảy ra bằng tích của sự kiện A xảy ra, nhân với xác suất sự kiện B xảy ra nếu sự kiện A.

Cần lưu ý rằng:

P (B¦A) = 2/14

Xác suất để sự kiện B xảy ra bất kể sự kiện A có xảy ra hay không sẽ là:

P (B) = (2/14) nếu cái đầu tiên nhỏ, hoặc P (B) = 3/14 nếu cái đầu tiên không nhỏ.

Nói chung, có thể kết luận như sau:

P (B¦A) không bằng P (B) => B không độc lập với A

Giải pháp b

Một lần nữa có hai sự kiện:

Sự kiện A: chiếc áo sơ mi đầu tiên được chọn có kích thước nhỏ

Sự kiện B: chiếc áo sơ mi được chọn thứ hai nhỏ

P (A) = 3/15

Hãy nhớ rằng bất kể kết quả ra sao, chiếc áo được rút ra từ lô sẽ được thay thế và một chiếc áo được rút ngẫu nhiên một lần nữa. Xác suất để sự kiện B xảy ra, nếu sự kiện A xảy ra là:

P (B¦A) = 3/15

Xác suất để các sự kiện A và B xảy ra sẽ là:

P (A và B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Lưu ý rằng:

P (B¦A) bằng P (B) => B độc lập với A.

- Bài tập 3

Xét hai sự kiện độc lập A và B. Biết rằng xác suất sự kiện A xảy ra là 0,2 và xác suất để sự kiện B xảy ra là 0,3. Xác suất để cả hai sự kiện xảy ra là bao nhiêu?

Giải pháp 2

Biết rằng các sự kiện là độc lập, biết rằng xác suất để cả hai sự kiện xảy ra là tích của các xác suất riêng lẻ. Điều đó có nghĩa là,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Lưu ý rằng nó là một xác suất nhỏ hơn nhiều so với xác suất mà mỗi sự kiện sẽ xảy ra bất kể kết quả của sự kiện kia. Hay nói một cách khác, thấp hơn nhiều so với tỷ lệ cá cược.

Người giới thiệu

1. Berenson, M. 1985. Thống kê cho quản lý và kinh tế. Interamericana SA 126-127.
2. Viện Monterrey. Xác suất của các sự kiện độc lập. Phục hồi từ: monterreyinstitution.org
3. Giáo viên toán. Các sự kiện độc lập. Khôi phục từ: youtube.com
4. Siêu lợi nhuận. Các loại sự kiện, sự kiện phụ thuộc. Được phục hồi từ: superprof.es
5. Gia sư ảo. Xác suất. Phục hồi từ: vitutor.net
6. Wikipedia. Tính độc lập (xác suất). Khôi phục từ: wikipedia.com