- Ví dụ
- Các câu hỏi quan trọng về yếu tố chung theo nhóm
- Bài tập
- - Bài tập 1
- Giải pháp
- Một cách khác để nhóm
- - Bài tập 2
- Giải pháp
- Người giới thiệu
Nhân tử chung bằng cách nhóm các số hạng là một thủ tục đại số cho phép bạn viết một số biểu thức đại số dưới dạng nhân tử. Để đạt được mục tiêu này, trước tiên bạn phải nhóm biểu thức đúng cách và quan sát rằng mỗi nhóm được hình thành, trên thực tế, có một yếu tố chung.
Áp dụng kỹ thuật một cách chính xác đòi hỏi một số thực hành, nhưng bạn sẽ không thành thạo nó. Đầu tiên chúng ta hãy xem xét một ví dụ minh họa được mô tả từng bước. Sau đó người đọc có thể áp dụng những gì đã học vào từng bài tập sẽ xuất hiện sau đó.
Hình 1. Lấy một nhân tử chung bằng cách nhóm các số hạng giúp làm việc với các biểu thức đại số dễ dàng hơn. Nguồn: Pixabay.
Ví dụ, giả sử bạn cần tính toán cho biểu thức sau:
2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy
Biểu thức đại số này bao gồm 4 đơn thức hoặc số hạng, được phân tách bằng dấu + và -, cụ thể là:
2x 2 , 2xy, -3zx, -3zy
Nhìn kỹ hơn, x là chung cho ba đầu tiên, nhưng không phải là cuối cùng, trong khi y là chung cho thứ hai và thứ tư, và z là chung cho thứ ba và thứ tư.
Vì vậy, về nguyên tắc không có thừa số chung cho bốn số hạng cùng một lúc, nhưng nếu chúng được nhóm lại như sẽ được trình bày trong phần tiếp theo, có thể một số hạng sẽ xuất hiện giúp viết biểu thức dưới dạng tích của hai hoặc nhiều hơn các nhân tố.
Ví dụ
Nhân tử biểu thức: 2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy
Bước 1 : Nhóm
2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy = (2x 2 + 2xy) + (-3zx - 3zy)
Bước 2: Tìm nhân tử chung của mỗi nhóm
2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy =
= (2x 2 + 2xy) - (3zx + 3zy) =
= 2x (x + y) - 3z (x + y)
Tôi nghĩ : dấu hiệu tiêu cực cũng là một yếu tố phổ biến phải được tính đến.
Bây giờ lưu ý rằng dấu ngoặc đơn (x + y) được lặp lại trong hai số hạng thu được bằng cách nhóm. Đó là yếu tố chung đã được tìm kiếm.
Bước 3: Tính toàn bộ biểu thức
2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)
Với kết quả trước đó, mục tiêu của tính thừa số đã đạt được, không gì khác ngoài việc biến một biểu thức đại số dựa trên phép cộng và phép trừ các số hạng, thành tích của hai hoặc nhiều thừa số, trong ví dụ của chúng ta, là: (x + y) và (2x - 3z).
Các câu hỏi quan trọng về yếu tố chung theo nhóm
Câu hỏi 1 : Làm thế nào để biết rằng kết quả là đúng?
Trả lời : Tính chất phân phối được áp dụng cho kết quả thu được và sau khi rút gọn và đơn giản hóa, biểu thức đạt được phải trùng với biểu thức ban đầu, nếu thiếu thì có sai số.
Trong ví dụ trước, chúng tôi làm việc ngược lại với kết quả, để kiểm tra xem nó có đúng không:
(x + y) (2x - 3z) = 2x 2 -3zx + 2xy - 3zy
Vì thứ tự của các phụ tố không thay đổi tổng, sau khi áp dụng thuộc tính phân phối, tất cả các điều khoản ban đầu được trả lại, bao gồm các dấu hiệu, do đó, phân tích nhân tử là chính xác.
Câu hỏi 2: Nó có thể đã được nhóm theo một cách khác?
Trả lời: Có những biểu thức đại số cho phép nhiều hơn một dạng nhóm và những biểu thức khác thì không. Trong ví dụ đã chọn, người đọc có thể tự mình thử các khả năng khác, ví dụ nhóm như thế này:
2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy = (2x 2 - 3zx) + (2xy - 3zy)
Và bạn có thể kiểm tra xem kết quả có giống như kết quả thu được ở đây không. Tìm cách phân nhóm tối ưu là một vấn đề thực tế.
Câu 3: Tại sao cần lấy nhân tử chung từ một biểu thức đại số?
Trả lời : Bởi vì có những ứng dụng trong đó biểu thức thừa số giúp tính toán dễ dàng hơn. Ví dụ, giả sử bạn muốn đặt 2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy bằng 0. Khả năng xảy ra là gì?
Để trả lời câu hỏi này, phiên bản có tính toán hữu ích hơn nhiều so với phiên bản gốc. Nó được phát biểu như thế này:
(x + y) (2x - 3z) = 0
Một khả năng rằng biểu thức có giá trị 0 là x = -y, bất kể giá trị của z. Và điều còn lại là x = (3/2) z, không phụ thuộc vào giá trị của y.
Bài tập
- Bài tập 1
Trích yếu tố chung của biểu thức sau bằng cách nhóm các số hạng:
ax + ay + bx + bởi
Giải pháp
Hai phần tử đầu tiên được nhóm lại, với nhân tử chung "a" và hai phần tử cuối cùng với nhân tử chung "b":
ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)
Khi điều này được thực hiện, một hệ số chung mới được tiết lộ, đó là (x + y), do đó:
ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)
Một cách khác để nhóm
Biểu thức này hỗ trợ một cách phân nhóm khác. Hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu các cụm từ được sắp xếp lại và một nhóm được tạo với những cụm từ chứa x và nhóm khác với những cụm từ chứa y:
ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)
Theo cách này, thừa số chung mới là (a + b):
ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)
Dẫn đến cùng một kết quả từ nhóm đầu tiên đã được thử nghiệm.
- Bài tập 2
Biểu thức đại số sau được yêu cầu viết dưới dạng tích của hai thừa số:
3a 3 - 3a 2 b + 9ab 2 -a 2 + ab-3b 2
Giải pháp
Biểu thức này chứa 6 số hạng. Hãy thử nhóm đầu tiên và thứ tư, thứ hai và thứ ba và cuối cùng là thứ năm và thứ sáu:
3a 3 - 3a 2 b + 9ab 2 -a 2 + ab-3b 2 = (3a 3 -a 2 ) + (- 3a 2 b + 9ab 2 ) + (ab-3b 2 )
Bây giờ mỗi dấu ngoặc đơn được tính theo thừa số:
= (3a 3 -a 2 ) + (- 3a 2 b + 9ab 2 ) + (ab -3b 2 ) = a 2 (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)
Thoạt nhìn có vẻ như tình hình đã phức tạp, nhưng người đọc đừng nản lòng, vì chúng tôi sẽ viết lại kỳ cuối:
a 2 (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a 2 (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)
Hai số hạng cuối cùng có một thừa số chung, là (3b-a), vì vậy chúng có thể được tính vào nhân tử. Điều rất quan trọng là không để mất chữ số đầu tiên a 2 (3a - 1), thuật ngữ này phải tiếp tục đi kèm với mọi thứ như một phép cộng, ngay cả khi bạn không làm việc với nó:
a 2 (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a 2 (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)
Biểu thức đã được rút gọn thành hai số hạng và một thừa số chung mới được phát hiện trong số hạng cuối cùng, đó là "b". Bây giờ nó vẫn còn:
a 2 (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a 2 (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)
Yếu tố chung tiếp theo xuất hiện là 3a - 1:
a 2 (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)
Hoặc nếu bạn thích không có dấu ngoặc:
(3a - 1) = (3a - 1) (a 2 –ab + 3b 2 )
Người đọc có thể tìm ra một cách phân nhóm khác dẫn đến kết quả tương tự không?
Hình 2. Đề xuất các bài tập tính thừa. Nguồn: F. Zapata.
Người giới thiệu
- Baldor, A. 1974. Đại số sơ cấp. Văn hóa Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Đại số. Sảnh Prentice.
- Các trường hợp chính của bao thanh toán. Phục hồi từ: julioprofe.net.
- UNAM. Toán học cơ bản: Sự thừa số hóa bằng cách nhóm các số hạng. Khoa Kế toán và Quản trị.
- Zill, D. 1984. Đại số và Lượng giác. Đồi MacGraw.