- Phương pháp bao thanh toán
- Bao thanh toán theo yếu tố chung
- ví dụ 1
- Giải pháp
- Ví dụ 2
- Giải pháp
- Nhóm bao thanh toán
- ví dụ 1
- Giải pháp
- Bao thanh toán kiểm tra
- ví dụ 1
- Giải pháp
- Ví dụ 2
- Giải pháp
- Bao thanh toán với các sản phẩm đáng chú ý
- ví dụ 1
- Giải pháp
- Ví dụ 2
- Giải pháp
- Ví dụ 3
- Giải pháp
- Bao thanh toán với quy tắc Ruffini
- ví dụ 1
- Giải pháp
- Người giới thiệu
Các thừa số là một phương pháp mà theo đó một đa thức được thể hiện như nhân tố, có thể là số hoặc chữ hoặc cả hai. Đối với thừa số, các thừa số chung của các số hạng được nhóm lại với nhau, và theo cách này, đa thức được phân tách thành một số đa thức.
Do đó, khi nhân các thừa số với nhau, kết quả là đa thức ban đầu. Tính toán là một phương pháp rất hữu ích khi bạn có biểu thức đại số, vì nó có thể được chuyển đổi thành phép nhân của một số số hạng đơn giản; ví dụ: 2a 2 + 2ab = 2a * (a + b).
Có những trường hợp không thể tính một đa thức vì không có nhân tử chung giữa các hạng tử của nó; do đó, các biểu thức đại số này chỉ chia hết cho chính chúng và cho 1. Ví dụ: x + y + z.
Trong một biểu thức đại số, nhân tử chung là ước chung lớn nhất của các số hạng tạo nên nó.
Phương pháp bao thanh toán
Có một số phương pháp bao thanh toán, được áp dụng tùy trường hợp. Một số trong số này như sau:
Bao thanh toán theo yếu tố chung
Trong phương pháp này, những yếu tố phổ biến được xác định; nghĩa là, những điều đó được lặp lại trong các điều khoản của biểu thức. Sau đó, thuộc tính phân phối được áp dụng, ước số chung lớn nhất được lấy và tính toán hoàn tất.
Nói cách khác, nhân tử chung của biểu thức được xác định và mỗi số hạng được chia cho nó; Các số hạng kết quả sẽ được nhân với ước số chung lớn nhất để biểu thị thừa số.
ví dụ 1
Thừa số (b 2 x) + (b 2 y).
Giải pháp
Đầu tiên, bạn tìm nhân tử chung của mỗi số hạng, trong trường hợp này là b 2 , rồi chia các số hạng cho nhân tử chung như sau:
(b 2 x) / b 2 = x
(b 2 y) / b 2 = y.
Phân tích thừa số được biểu thị, nhân thừa số chung với các số hạng kết quả:
(b 2 x) + (b 2 y) = b 2 (x + y).
Ví dụ 2
Thừa số (2a 2 b 3 ) + (3ab 2 ).
Giải pháp
Trong trường hợp này, chúng ta có hai yếu tố được lặp lại trong mỗi thuật ngữ là "a" và "b", và chúng được nâng lên thành lũy thừa. Để tính chúng, hai thuật ngữ đầu tiên được phân tách ở dạng dài của chúng:
2 * a * a * b * b * b + 3a * b * b
Có thể thấy rằng thừa số "a" chỉ được lặp lại một lần trong số hạng thứ hai, và nhân tố "b" được lặp lại hai lần trong điều này; vì vậy trong số hạng đầu tiên chỉ còn lại 2 thừa số là một thừa số "a" và một thừa số "b"; trong khi ở nhiệm kỳ thứ hai chỉ còn lại 3 chiếc.
Do đó, thời gian mà "a" và "b" được lặp lại được viết và nhân với các thừa số còn lại từ mỗi số hạng, như thể hiện trong hình:
Nhóm bao thanh toán
Vì không phải trong mọi trường hợp ước chung lớn nhất của đa thức đều được biểu thị rõ ràng, nên cần phải làm các bước khác để có thể viết lại đa thức và nhân tử.
Một trong những bước đó là nhóm các số hạng của đa thức thành nhiều nhóm, rồi sử dụng phương pháp nhân tử chung.
ví dụ 1
Hệ số ac + bc + ad + bd.
Giải pháp
Có 4 yếu tố trong đó hai yếu tố phổ biến: trong thuật ngữ đầu tiên nó là «c» và trong thuật ngữ thứ hai nó là «d». Theo cách này, hai thuật ngữ được nhóm lại và tách biệt:
(ac + bc) + (ad + bd).
Bây giờ, có thể áp dụng phương pháp nhân tử chung, chia mỗi số hạng cho nhân tử chung của nó và sau đó nhân thừa số chung đó với các số hạng kết quả, như sau:
(ac + bc) / c = a + b
(ad + bd) / d = a + b
c (a + b) + d (a + b).
Bây giờ chúng ta nhận được một nhị thức chung cho cả hai thuật ngữ. Nhân với nó, nó được nhân với các yếu tố còn lại; theo cách đó bạn phải:
ac + bc + ad + bd = (c + d) * (a + b).
Bao thanh toán kiểm tra
Phương pháp này được sử dụng để nhân tử của đa thức bậc hai, còn được gọi là tam thức; nghĩa là những cái có cấu trúc là ax 2 ± bx + c, trong đó giá trị của “a” khác 1. Phương pháp này cũng được sử dụng khi tam thức có dạng x 2 ± bx + c và giá trị của “a” = 1.
ví dụ 1
Thừa số x 2 + 5x + 6.
Giải pháp
Ta có một tam thức bậc hai có dạng x 2 ± bx + c. Để nhân nó, trước tiên bạn phải tìm hai số mà khi nhân lên, kết quả là giá trị của «c» (nghĩa là, 6) và tổng của chúng bằng hệ số «b», là 5. Các số đó là 2 và 3 :
2 * 3 = 6
2 + 3 = 5.
Bằng cách này, biểu thức được đơn giản hóa như sau:
(x 2 + 2x) + (3x + 6)
Mỗi thuật ngữ được tính theo yếu tố:
- Với (x 2 + 2x), số hạng chung được nhận là: x (x + 2)
- Cho (3x + 6) = 3 (x + 2)
Do đó, biểu thức là:
x (x +2) + 3 (x +2).
Vì chúng ta có một nhị thức chung, để rút gọn biểu thức, chúng ta nhân nó với các số hạng còn lại và chúng ta phải:
x 2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3).
Ví dụ 2
Thừa số 4a 2 + 12a + 9 = 0.
Giải pháp
Ta có một tam thức bậc hai có dạng ax 2 ± bx + cy cần nhân tử nó, nhân toàn bộ biểu thức với hệ số của x 2 ; trong trường hợp này, 4.
4a 2 + 12a +9 = 0
4a 2 (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)
16 a 2 + 12a (4) + 36 = 0
4 2 a 2 + 12a (4) + 36 = 0
Bây giờ chúng ta phải tìm hai số mà khi nhân với nhau, cho kết quả là giá trị của "c" (là 36) và khi cộng với nhau cho kết quả là hệ số của số hạng "a", là 6.
6 * 6 = 36
6 + 6 = 12.
Bằng cách này, biểu thức được viết lại, có tính đến rằng 4 2 a 2 = 4a * 4a. Do đó, tài sản phân phối áp dụng cho từng thuật ngữ:
(4a + 6) * (4a + 6).
Cuối cùng, biểu thức chia hết cho hệ số a 2 ; nghĩa là, 4:
(4 + 6) * (4 + 6) / 4 = ((4 + 6) / 2) * ((4 + 6) / 2).
Biểu thức như sau:
4a 2 + 12a +9 = (2a +3) * (2a + 3).
Bao thanh toán với các sản phẩm đáng chú ý
Có những trường hợp, để nhân tử đầy đủ các đa thức bằng các phương pháp trên, nó trở thành một quá trình rất dài.
Đó là lý do tại sao một biểu thức có thể được phát triển với các công thức của các sản phẩm đáng chú ý và do đó quá trình trở nên đơn giản hơn. Trong số các sản phẩm đáng chú ý được sử dụng rộng rãi nhất là:
- Hiệu của hai bình phương: (a 2 - b 2 ) = (a - b) * (a + b)
- Bình phương hoàn hảo của một tổng: a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
- Bình phương hoàn hảo của một hiệu: a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2
- Hiệu của hai hình lập phương: a 3 - b 3 = (ab) * (a 2 + ab + b 2 )
- Tổng của hai lập phương: a 3 - b 3 = (a + b) * (a 2 - ab + b 2 )
ví dụ 1
Hệ số (5 2 - x 2 )
Giải pháp
Trong trường hợp này có một sự khác biệt của hai hình vuông; do đó công thức sản phẩm đáng chú ý được áp dụng:
(a 2 - b 2 ) = (a - b) * (a + b)
(5 2 - x 2 ) = (5 - x) * (5 + x)
Ví dụ 2
Hệ số 16x 2 + 40x + 25 2
Giải pháp
Trong trường hợp này, bạn có một tổng bình phương hoàn hảo, bởi vì bạn có thể xác định hai số hạng bình phương và số hạng còn lại là kết quả của phép nhân hai với căn bậc hai của số hạng đầu tiên với căn bậc hai của số hạng thứ hai.
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
Để chỉ tính căn bậc hai của số hạng thứ nhất và thứ ba:
√ (16x 2 ) = 4x
√ (25 2 ) = 5.
Sau đó, hai số hạng kết quả được biểu thị bằng dấu của phép toán và toàn bộ đa thức được bình phương:
16x 2 + 40x + 25 2 = (4x + 5) 2 .
Ví dụ 3
Yếu tố 27a 3 - b 3
Giải pháp
Biểu thức biểu thị một phép trừ trong đó hai thừa số được lập phương. Để tính chúng, công thức cho tích đáng chú ý của sự khác biệt của các hình khối được áp dụng, đó là:
a 3 - b 3 = (ab) * (a 2 + ab + b 2 )
Do đó, sang nhân tử, căn bậc hai của mỗi số hạng của nhị thức được lấy và nhân với bình phương của số hạng đầu tiên, cộng với tích của số hạng thứ nhất với số hạng thứ hai, cộng với bình phương số hạng thứ hai.
27a 3 - b 3
³√ (27a 3 ) = 3a
³√ (-b 3 ) = -b
27a 3 - b 3 = (3a - b) *
27a 3 - b 3 = (3a - b) * (9a 2 + 3ab + b 2 )
Bao thanh toán với quy tắc Ruffini
Phương pháp này được sử dụng khi bạn có đa thức bậc lớn hơn hai, để đơn giản hóa biểu thức thành một số đa thức bậc nhỏ hơn.
ví dụ 1
Hệ số Q (x) = x 4 - 9x 2 + 4x + 12
Giải pháp
Đầu tiên chúng ta tìm các số là ước của 12, là số hạng độc lập; Đây là ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 và ± 12.
Sau đó, x được thay thế bằng các giá trị này, từ thấp nhất đến cao nhất, và do đó nó được xác định với giá trị nào mà phép chia sẽ chính xác; nghĩa là, phần còn lại phải là 0:
x = -1
Q (-1) = (-1) 4 - 9 (-1) 2 + 4 (-1) + 12 = 0.
x = 1
Q (1) = 1 4 - 9 (1) 2 + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.
x = 2
Q (2) = 2 4 - 9 (2) 2 + 4 (2) + 12 = 0.
Và tiếp tục như vậy cho mỗi số chia. Trong trường hợp này, các thừa số tìm được là cho x = -1 và x = 2.
Bây giờ phương pháp Ruffini được áp dụng, theo đó các hệ số của biểu thức sẽ được chia cho các thừa số tìm được sao cho phép chia chính xác. Các số hạng đa thức được sắp xếp từ số mũ cao nhất đến thấp nhất; trong trường hợp số hạng có bậc tiếp theo bị thiếu trong dãy, số 0 được đặt vào vị trí của nó.
Các hệ số được đặt trong một lược đồ như thể hiện trong hình ảnh sau đây.
Hệ số đầu tiên được hạ xuống và nhân với số chia. Trong trường hợp này, ước số đầu tiên là -1 và kết quả được đặt trong cột tiếp theo. Sau đó, giá trị của hệ số với kết quả thu được đó được cộng theo chiều dọc và kết quả được đặt bên dưới. Bằng cách này, quá trình được lặp lại cho đến cột cuối cùng.
Sau đó, quy trình tương tự được lặp lại một lần nữa, nhưng với ước số thứ hai (là 2) vì biểu thức vẫn có thể được đơn giản hóa.
Vì vậy, với mỗi căn thu được, đa thức sẽ có một số hạng (x - a), trong đó "a" là giá trị của căn:
(x - (-1)) * (x - 2) = (x + 1) * (x - 2)
Mặt khác, các số hạng này phải được nhân với phần còn lại của quy tắc 1: 1 và -6 của Ruffini, là các hệ số thể hiện mức độ. Theo cách này, biểu thức được tạo thành là: (x 2 + x - 6).
Nhận kết quả của việc phân tích nhân tử của đa thức bằng phương pháp Ruffini là:
x 4 - 9x 2 + 4x + 12 = (x + 1) * (x - 2) * (x 2 + x - 6)
Cuối cùng, đa thức bậc 2 xuất hiện trong biểu thức trước đó có thể được viết lại thành (x + 3) (x-2). Do đó, thừa số cuối cùng là:
x 4 - 9x 2 + 4x + 12 = (x + 1) * (x - 2) * (x + 3) * (x-2).
Người giới thiệu
- Arthur Goodman, LH (1996). Đại số và lượng giác với hình học giải tích. Giáo dục Pearson.
- J, V. (2014). Làm thế nào để dạy trẻ em về tính toán một đa thức.
- Manuel Morillo, AS (sf). Toán học cơ bản với các ứng dụng.
- Roelse, PL (1997). Các phương pháp tuyến tính để nhân tử hóa đa thức trên các trường hữu hạn: lý thuyết và triển khai. Đại học Essen.
- Sharpe, D. (1987). Nhẫn và thừa số.