- Định nghĩa
- Các trường hợp
- Trường hợp 1
- Thí dụ
- Trường hợp 2
- Thí dụ
- Trường hợp 3
- Thí dụ
- Trường hợp 4
- Thí dụ
- Các ứng dụng
- Tích phân tích
- ví dụ 1
- Ví dụ 2
- Ví dụ 3
- Luật hành động tập thể
- Thí dụ
- Phương trình vi phân: phương trình logistic
- Thí dụ
- Người giới thiệu
Phân số từng phần là phân số được tạo thành bởi đa thức, trong đó mẫu số có thể là một đa thức tuyến tính hoặc bậc hai và cũng có thể được nâng lên thành lũy thừa. Đôi khi, khi chúng ta có các hàm hữu tỉ, sẽ rất hữu ích khi viết lại hàm này dưới dạng tổng của các phân số từng phần hoặc các phân số đơn giản.
Sở dĩ như vậy vì bằng cách này chúng ta có thể thao tác các chức năng này một cách tốt hơn, đặc biệt là trong những trường hợp cần tích hợp ứng dụng đã nói. Một hàm hữu tỉ đơn giản là thương số giữa hai đa thức và chúng có thể đúng hoặc không đúng.
Nếu bậc của đa thức của tử số nhỏ hơn mẫu số thì được gọi là hàm số hữu tỉ; nếu không, nó được gọi là một hàm hợp lý không phù hợp.
Định nghĩa
Khi chúng ta có một hàm hữu tỉ không đúng, chúng ta có thể chia đa thức của tử số cho đa thức của mẫu số và do đó viết lại phân số p (x) / q (x), theo thuật toán chia là t (x) + s (x) / q (x), trong đó t (x) là một đa thức và s (x) / q (x) là một hàm hữu tỉ thích hợp.
Một phân số riêng là một hàm riêng bất kỳ của đa thức mà mẫu số của chúng có dạng (ax + b) n hoặc (ax 2 + bx + c) n , nếu đa thức ax 2 + bx + c không có nghiệm nguyên và n là một hợp số tự nhiên.
Để viết lại một hàm hữu tỉ dưới dạng phân số từng phần, điều đầu tiên cần làm là lấy mẫu số q (x) như một tích của các thừa số tuyến tính và / hoặc bậc hai. Khi điều này được thực hiện, các phân số từng phần được xác định, phụ thuộc vào bản chất của các yếu tố này.
Các trường hợp
Chúng tôi xem xét một số trường hợp riêng biệt.
Trường hợp 1
Các yếu tố của q (x) đều tuyến tính và không có yếu tố nào được lặp lại. Điều đó có nghĩa là:
q (x) = (a 1 x + b 1 ) (a 2 x + b 2 )… (a s x + b s )
Không có yếu tố tuyến tính nào giống hệt với yếu tố khác. Khi trường hợp này xảy ra, chúng tôi sẽ viết:
p (x) / q (x) = A 1 / (a 1 x + b 1 ) + A 2 / (a 2 x + b 2 )… + A s / (a s x + b s ).
Trong đó A 1 , A 2 , …, A s là hằng số được tìm thấy.
Thí dụ
Chúng tôi muốn phân tích hàm hữu tỉ thành các phân số đơn giản:
(x - 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x)
Chúng tôi tiến hành quy về mẫu số, nghĩa là:
x 3 + 3x 2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)
Sau đó:
(x - 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)
(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)
Áp dụng bội số chung nhỏ nhất, có thể thu được rằng:
x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.
Chúng ta muốn nhận các giá trị của các hằng số A, B và C, có thể tìm được giá trị này bằng cách thay thế các gốc hủy bỏ mỗi số hạng. Thay 0 cho x ta có:
0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.
- 1 = 2A
A = - 1/2.
Thay thế - 1 cho x ta có:
- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).
- 2 = - B
B = 2.
Thay - 2 cho x ta có:
- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).
–3 = 2C
C = –3/2.
Bằng cách này, các giá trị A = –1/2, B = 2 và C = –3/2 thu được.
Có một phương pháp khác để lấy các giá trị của A, B và C. Nếu ở vế phải của phương trình x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x chúng ta kết hợp các điều khoản, chúng ta có:
x - 1 = (A + B + C) x 2 + (3A + 2B + C) x + 2A.
Vì đây là một đẳng thức của đa thức, chúng ta có hệ số ở bên trái phải bằng hệ số ở bên phải. Điều này dẫn đến hệ phương trình sau:
A + B + C = 0
3A + 2B + C = 1
2A = - 1
Giải hệ phương trình này, ta thu được kết quả A = –1/2, B = 2 và C = -3/2.
Cuối cùng, thay thế các giá trị thu được chúng ta có:
(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).
Trường hợp 2
Các thừa số của q (x) đều tuyến tính và một số được lặp lại. Giả sử rằng (ax + b) là hệ số lặp lại "s" lần; sau đó, với thừa số này tương ứng với tổng của phân số riêng «s».
A s / (ax + b) s + A s-1 / (ax + b) s-1 +… + A 1 / (ax + b).
Trong đó A s , A s-1 ,…, A 1 là các hằng số được xác định. Với ví dụ sau, chúng tôi sẽ chỉ ra cách xác định các hằng số này.
Thí dụ
Chia thành các phân số từng phần:
(x - 1) / (x 2 (x - 2) 3 )
Chúng ta viết hàm hữu tỉ dưới dạng tổng của các phân số riêng như sau:
(x - 1) / (x 2 (x - 2) 3 ) = A / x 2 + B / x + C / (x - 2) 3 + D / (x - 2) 2 + E / (x - 2 ).
Sau đó:
x - 1 = A (x - 2) 3 + B (x - 2) 3 x + Cx 2 + D (x - 2) x 2 + E (x - 2) 2 x 2
Thay 2 cho x, ta có:
7 = 4C, tức là C = 7/4.
Thay 0 cho x ta có:
- 1 = –8A hoặc A = 1/8.
Thay thế các giá trị này trong phương trình trước đó và khai triển, chúng ta có:
x - 1 = 1/8 (x 3 - 6x 2 + 12x - 8) + Bx (x 3 - 6x 2 + 12x - 8) + 7 / 4x 2 + Dx 3 - 2Dx 2 + Ex 2 (x 2 - 4x + 4)
x - 1 = (B + E) x 4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x 3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x 2 + (3/2 - 8B) x - 1.
Hệ số bằng nhau, ta thu được hệ phương trình sau:
B + E = 0;
1 / 8-6B + D-4E = 1;
- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0
3/2 - 8B = 0.
Giải quyết hệ thống, chúng ta có:
B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.
Đối với điều này, chúng ta phải:
(x - 1) / (x 2 (x - 2) 3 ) = (1/8) / x 2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) 3 + (5 / 4) / (x - 2) 2 - (3/16) / (x - 2).
Trường hợp 3
Các yếu tố của q (x) là bậc hai tuyến tính, không có bất kỳ yếu tố bậc hai nào lặp lại. Trong trường hợp này, thừa số bậc hai (ax 2 + bx + c) sẽ tương ứng với phân số riêng (Ax + B) / (ax 2 + bx + c), trong đó các hằng số A và B là các hằng số cần xác định.
Ví dụ sau đây cho thấy cách tiến hành trong trường hợp này
Thí dụ
Quy thành phân số đơn giản a (x + 1) / (x 3 - 1).
Đầu tiên, chúng tôi tiến hành quy về mẫu số, kết quả là:
(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).
Ta có thể quan sát rằng (x 2 + x + 1) là một đa thức bậc hai bất khả quy; nghĩa là nó không có gốc rễ thực sự. Sự phân hủy của nó thành các phân số từng phần sẽ như sau:
(x + 1) / (x - 1) (x 2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x 2 + x +1)
Từ đó chúng ta thu được phương trình sau:
x + 1 = (A + B) x 2 + (A - B + C) x + (A - C)
Sử dụng đẳng thức của đa thức, chúng ta thu được hệ thống sau:
A + B = 0;
A-B + C = 1;
A-C = 1;
Từ hệ thức này ta có A = 2/3, B = - 2/3 và C = 1/3. Thay thế, chúng tôi có rằng:
(x + 1) / (x - 1) (x 2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x 2 + x +1).
Trường hợp 4
Cuối cùng, trường hợp 4 là trường hợp trong đó các thừa số của q (x) là tuyến tính và bậc hai, trong đó một số nhân tố bậc hai tuyến tính được lặp lại.
Trong trường hợp này, nếu (ax 2 + bx + c) là một thừa số bậc hai lặp lại "s" lần, thì phần tương ứng với thừa số (ax 2 + bx + c) sẽ là:
(A 1 x + B) / (ax 2 + bx + c) +… + (A s-1 x + B s-1 ) / (ax 2 + bx + c) s-1 + (A s x + B s ) / (ax 2 + bx + c) s
Trong đó A s , A s-1 ,…, A và B s , B s-1 ,…, B là các hằng số cần được xác định.
Thí dụ
Chúng ta muốn phân tích hàm hữu tỉ sau thành các phân số từng phần:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2 )
Vì x 2 - 4x + 5 là một thừa số bậc hai bất khả quy, chúng ta có thể phân tích nó thành các phân số từng phần được cho bởi:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2 ) = A / x + (Bx + C) / (x 2 - 4x +5) + (Dx + E) / (x 2 - 4x + 5) 2
Đơn giản hóa và phát triển, chúng tôi có:
x - 2 = A (x 2 - 4x + 5) 2 + (Bx + C) (x 2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x
x - 2 = (A + B) x 4 + (- 8A - 4B + C) x 3 + (26A + 5B - 4C + D) x 2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.
Từ trên ta có hệ phương trình sau:
A + B = 0;
- 8A - 4B + C = 0;
26A + 5B - 4C + D = 0;
- 40A + 5C + E = 1;
25A = 2.
Khi giải quyết hệ thống, chúng ta còn lại:
A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 và E = - 3/5.
Bằng cách thay thế các giá trị thu được, chúng ta có:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2 ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x 2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x 2 - 4x + 5) 2
Các ứng dụng
Tích phân tích
Phân số từng phần được sử dụng chủ yếu để nghiên cứu phép tính tích phân. Dưới đây là một số ví dụ về cách thực hiện tích phân bằng cách sử dụng phân số từng phần.
ví dụ 1
Chúng tôi muốn tính tích phân của:
Chúng ta có thể thấy rằng mẫu số q (x) = (t + 2) 2 (t + 1) được tạo thành từ các yếu tố tuyến tính trong đó một trong số này được lặp lại; Đây là lý do tại sao chúng ta ở trong trường hợp 2.
Chúng ta phải:
1 / (t + 2) 2 (t + 1) = A / (t + 2) 2 + B / (t + 2) + C / (t + 1)
Chúng tôi viết lại phương trình và chúng tôi có:
1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) 2
Nếu t = - 1, ta có:
1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)
1 = C
Nếu t = - 2, nó cho chúng ta:
1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)
A = - 1
Sau đó, nếu t = 0:
1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)
Thay thế các giá trị của A và C:
1 = - 1 + 2B + 4
1 = 3 + 2B
2B = - 2
Từ trên ta có B = - 1.
Chúng tôi viết lại tích phân thành:
Chúng ta tiến hành giải nó bằng phương pháp thay thế:
Đây là kết quả:
Ví dụ 2
Giải tích phân sau:
Trong trường hợp này ta có thể thừa số aq (x) = x 2 - 4 là q (x) = (x - 2) (x + 2). Chúng tôi rõ ràng là trong trường hợp 1. Do đó:
(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)
Nó cũng có thể được diễn đạt như sau:
5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)
Nếu x = - 2, ta có:
- 12 = A (0) + B (- 4)
B = 3
Và nếu x = 2:
8 = A (4) + B (0)
A = 2
Do đó, chúng ta còn lại việc giải tích phân đã cho tương đương với việc giải:
Kết quả là:
Ví dụ 3
Giải tích phân:
Ta có q (x) = 9x 4 + x 2 , ta có thể nhân tử thành q (x) = x 2 (9x 2 + 1).
Lần này chúng ta có một nhân tố tuyến tính lặp lại và một nhân tố bậc hai; nghĩa là, chúng ta đang ở trong trường hợp 3.
Chúng ta phải:
1 / x 2 (9x 2 + 1) = A / x 2 + B / x + (Cx + D) / (9x 2 + 1)
1 = A (9x 2 + 1) + Bx (9x 2 + 1) + Cx 2 + Dx 2
Nhóm và sử dụng các đa thức bằng nhau, chúng ta có:
1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A
A = 1;
B = 0;
9A + D = 0;
9B + C = 0
Từ hệ phương trình này ta có:
D = - 9 và C = 0
Theo cách này, chúng ta có:
Bằng cách giải quyết những điều trên, chúng ta có:
Luật hành động tập thể
Một ứng dụng thú vị của phân số từng phần được áp dụng cho phép tính tích phân được tìm thấy trong hóa học, chính xác hơn là trong định luật hành động khối lượng.
Giả sử chúng ta có hai chất A và B liên kết với nhau tạo thành chất C, sao cho đạo hàm của lượng C theo thời gian tỉ lệ với tích của lượng A và B tại một thời điểm bất kỳ.
Chúng ta có thể phát biểu quy luật hành động hàng loạt như sau:
Trong biểu thức này, α là số gam ban đầu tương ứng với A và β là số gam ban đầu tương ứng với B.
Hơn nữa, r và s đại diện cho số gam A và B tương ứng kết hợp với nhau để tạo thành r + s gam C. Về phần mình, x đại diện cho số gam chất C tại thời điểm t, và K là hằng số tỷ lệ thuận. Phương trình trên có thể được viết lại thành:
Thực hiện thay đổi sau:
Chúng ta có rằng phương trình trở thành:
Từ biểu thức này, chúng ta có thể thu được:
Trong đó nếu a ≠ b, các phân số từng phần có thể được sử dụng để tích phân.
Thí dụ
Hãy lấy ví dụ một chất C sinh ra từ sự kết hợp một chất A với một chất B, sao cho quy luật khối lượng được thỏa mãn trong đó các giá trị của a và b tương ứng là 8 và 6. Đưa ra một phương trình cho chúng ta giá trị của gam C dưới dạng một hàm của thời gian.
Thay các giá trị trong định luật khối lượng đã cho, ta có:
Khi tách các biến chúng ta có:
Ở đây 1 / (8 - x) (6 - x) có thể được viết dưới dạng tổng của các phân số từng phần, như sau:
Do đó, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)
Nếu thay 6 cho x, ta có B = 1/2; và thay 8 vào x, ta có A = - 1/2.
Tích phân từng phần ta có:
Kết quả là:
Phương trình vi phân: phương trình logistic
Một ứng dụng khác có thể được cung cấp cho phân số riêng là trong phương trình vi phân logistic. Trong các mô hình đơn giản, chúng ta có tỷ lệ tăng trưởng của dân số tỷ lệ thuận với quy mô của nó; điều đó có nghĩa là:
Trường hợp này là một lý tưởng và được coi là thực tế cho đến khi nó xảy ra rằng các nguồn lực sẵn có trong một hệ thống không đủ để hỗ trợ dân số.
Trong những tình huống này, điều hợp lý nhất là nghĩ rằng có một công suất tối đa, mà chúng ta sẽ gọi là L, mà hệ thống có thể duy trì và tốc độ tăng trưởng tỷ lệ với quy mô dân số nhân với quy mô khả dụng. Lập luận này dẫn đến phương trình vi phân sau:
Biểu thức này được gọi là phương trình vi phân logistic. Nó là một phương trình vi phân tách biệt có thể được giải bằng phương pháp tích phân từng phần.
Thí dụ
Một ví dụ là xem xét một quần thể phát triển theo phương trình vi phân logistic sau đây y '= 0,0004y (1000 - y), có dữ liệu ban đầu là 400. Chúng ta muốn biết kích thước của quần thể tại thời điểm t = 2, trong đó t được đo trong những năm.
Nếu chúng ta viết y 'với ký hiệu Leibniz dưới dạng một hàm phụ thuộc vào t, chúng ta có:
Tích phân bên trái có thể được giải bằng cách sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
Chúng ta có thể viết lại bình đẳng cuối cùng này như sau:
- Thay y = 0 ta có A bằng 1/1000.
- Thay y = 1000 ta có B bằng 1/1000.
Với các giá trị này, tích phân như sau:
Giải pháp là:
Sử dụng dữ liệu ban đầu:
Khi thanh toán bù trừ và chúng tôi có:
Sau đó, chúng tôi có điều đó tại t = 2:
Kết luận, sau 2 năm quy mô dân số xấp xỉ 597,37.
Người giới thiệu
- A, RA (2012). Toán học 1. Universidad de los Andes. Hội đồng xuất bản.
- Cortez, I. & Sanchez, C. (nd). 801 Tích phân đã giải. Đại học thực nghiệm quốc gia Tachira.
- Leithold, L. (1992). Tính toán với hình học giải tích. HARLA, SA
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Phép tính. Mexico: Pearson Education.
- Saenz, J. (nd). Tích phân tích. Cạnh huyền.