Nội suy tuyến tính là một phương pháp bắt nguồn từ phép nội suy Newton tổng quát và phép gần đúng để xác định một giá trị chưa biết nằm giữa hai số đã cho; nghĩa là, một giá trị trung gian được tìm thấy. Nó cũng được áp dụng cho các hàm gần đúng, trong đó các giá trị f (a) và f (b) đã biết và chúng ta muốn biết trung gian của f (x) .
Có nhiều loại nội suy khác nhau, chẳng hạn như tuyến tính, bậc hai, bậc ba và bậc cao hơn, đơn giản nhất là phép gần đúng tuyến tính. Cái giá phải trả của phép nội suy tuyến tính là kết quả sẽ không chính xác bằng phép tính gần đúng sử dụng các hàm có độ cao hơn.
Định nghĩa
Nội suy tuyến tính là một quá trình cho phép bạn suy ra một giá trị giữa hai giá trị được xác định rõ, có thể nằm trong bảng hoặc trong biểu đồ đường.
Ví dụ, nếu bạn biết rằng 3 lít sữa trị giá 4 đô la và 5 lít đó trị giá 7 đô la, nhưng bạn muốn biết giá trị của 4 lít sữa là bao nhiêu, bạn nội suy để xác định giá trị trung gian đó.
phương pháp
Để ước tính giá trị trung gian của một hàm, hàm f (x) được tính gần đúng bằng đường thẳng r (x) , có nghĩa là hàm thay đổi tuyến tính với «x» trong đoạn «x = a» và «x = b "; nghĩa là, đối với giá trị "x" trong khoảng (x 0 , x 1 ) và (y 0 , y 1 ), giá trị của "y" được cho bởi đường thẳng giữa các điểm và được biểu thị bằng mối quan hệ sau:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Để một phép nội suy là tuyến tính, đa thức nội suy phải có bậc một (n = 1), sao cho nó phù hợp với các giá trị của x 0 và x 1.
Nội suy tuyến tính dựa trên sự đồng dạng của các tam giác, theo cách đó, suy ra về mặt hình học từ biểu thức trước, giá trị của "y" có thể nhận được, đại diện cho giá trị chưa biết của "x".
Bằng cách đó, bạn phải:
a = tan Ɵ = (chân đối diện 1 ÷ chân liền kề 1 ) = (chân đối diện 2 ÷ chân liền kề 2 )
Diễn đạt theo một cách khác, đó là:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Giải cho «và» từ các biểu thức, chúng ta có:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Do đó, phương trình tổng quát cho nội suy tuyến tính thu được:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Nói chung, nội suy tuyến tính đưa ra một sai số nhỏ về giá trị thực của hàm true, mặc dù sai số này là nhỏ nhất so với việc bạn chọn một số gần với số bạn muốn tìm bằng trực giác.
Lỗi này xảy ra khi cố gắng gần đúng giá trị của một đường cong với một đường thẳng; Trong những trường hợp này, kích thước của khoảng phải được giảm bớt để làm cho việc xấp xỉ chính xác hơn.
Để có kết quả tốt nhất về tính gần đúng, nên sử dụng các hàm bậc 2, 3 hoặc thậm chí độ cao hơn để thực hiện phép nội suy. Đối với những trường hợp này, định lý Taylor là một công cụ rất hữu ích.
Bài tập đã giải
Bài tập 1
Số lượng vi khuẩn trên một đơn vị thể tích tồn tại trong quá trình ủ sau x giờ được trình bày trong bảng sau. Bạn muốn biết khối lượng vi khuẩn trong thời gian 3,5 giờ là bao nhiêu.
Giải pháp
Bảng tham chiếu không thiết lập một giá trị cho biết số lượng vi khuẩn trong thời gian 3,5 giờ, nhưng có các giá trị trên và dưới tương ứng với thời gian tương ứng là 3 và 4 giờ. Theo cách đó:
x 0 = 3 và 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 và 1 = 135
Bây giờ, phương trình toán học được áp dụng để tìm giá trị nội suy, đó là giá trị sau:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Sau đó, các giá trị tương ứng được thay thế:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Như vậy, trong thời gian 3,5 giờ, số lượng vi khuẩn là 113, thể hiện mức trung gian giữa khối lượng vi khuẩn tồn tại trong thời gian 3 và 4 giờ.
Bài tập 2
Luis có một nhà máy sản xuất kem và anh ấy muốn thực hiện một nghiên cứu để xác định thu nhập mà anh ấy có trong tháng 8 dựa trên chi phí đã thực hiện. Quản trị viên của công ty lập một biểu đồ thể hiện mối quan hệ này, nhưng Luis muốn biết:
Thu nhập cho tháng 8 là bao nhiêu, nếu phát sinh chi phí $ 55,000?
Giải pháp
Biểu đồ được đưa ra với các giá trị thu nhập và chi phí. Luis muốn biết thu nhập của tháng 8 là bao nhiêu nếu nhà máy có chi phí là $ 55,000. Giá trị này không được phản ánh trực tiếp trong biểu đồ, nhưng các giá trị cao hơn và thấp hơn giá trị này.
Đầu tiên, một bảng được tạo để dễ dàng liên kết các giá trị:
Bây giờ, công thức nội suy được sử dụng để xác định giá trị của y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Sau đó, các giá trị tương ứng được thay thế:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
y = 56.000 + (22.000) *
y = 56,000 + (22,000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68,936 đô la.
Nếu chi phí $ 55,000 được thực hiện vào tháng 8, thu nhập là $ 68,936.
Người giới thiệu
- Arthur Goodman, LH (1996). Đại số và lượng giác với hình học giải tích. Giáo dục Pearson.
- Harpe, P. d. (2000). Các chủ đề trong Lý thuyết nhóm hình học. Nhà xuất bản Đại học Chicago.
- Hazewinkel, M. (2001). Phép nội suy tuyến tính ”, Encyclopedia of Mathematics.
- , JM (1998). Các yếu tố của phương pháp số cho Kỹ thuật. UASLP.
- , E. (2002). Trình tự nội suy: từ thiên văn học cổ đại đến xử lý tín hiệu và hình ảnh hiện đại. Kỷ yếu của IEEE.
- số, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.