- Nguồn gốc và lịch sử
- Aristotle
- Logic toán học nghiên cứu những gì?
- Đề xuất
- Bảng sự thật
- Các loại logic toán học
- Khu vực
- Người giới thiệu
Các logic toán học hoặc logic biểu tượng là một ngôn ngữ toán học bao gồm các công cụ mà qua đó người ta có thể khẳng định hay phủ nhận một lập luận toán học.
Ai cũng biết rằng không có sự mơ hồ trong toán học. Đưa ra một đối số toán học, nó hợp lệ hoặc đơn giản là không. Nó không thể sai và đúng cùng một lúc.
Một khía cạnh đặc biệt của toán học là nó có một ngôn ngữ chính thức và chặt chẽ để xác định tính hợp lệ của một lập luận. Điều gì khiến một lý luận nào đó hoặc bất kỳ bằng chứng toán học nào không thể bác bỏ? Đó là tất cả những gì logic toán học là về.
Do đó, logic là bộ môn toán học có nhiệm vụ nghiên cứu các lập luận và chứng minh toán học, đồng thời cung cấp các công cụ để có thể suy ra một kết luận đúng từ các phát biểu hoặc mệnh đề trước đó.
Để làm được điều này, sử dụng các tiên đề và các khía cạnh toán học khác sẽ được phát triển sau này.
Nguồn gốc và lịch sử
Ngày chính xác đối với nhiều khía cạnh của logic toán học là không chắc chắn. Tuy nhiên, hầu hết các thư tịch về chủ đề này đều có nguồn gốc từ thời Hy Lạp cổ đại.
Aristotle
Sự khởi đầu của việc xử lý logic một cách chặt chẽ, một phần là do Aristotle, người đã viết một bộ các tác phẩm về logic, sau này được biên soạn và phát triển bởi các triết gia và nhà khoa học khác nhau, cho đến thời Trung Cổ. Đây có thể coi là "logic cũ".
Sau đó, trong cái được gọi là Thời đại đương đại, Leibniz, đã xúc động bởi mong muốn thiết lập một ngôn ngữ phổ quát để lập luận toán học, và các nhà toán học khác như Gottlob Frege và Giuseppe Peano, đã ảnh hưởng đáng kể đến sự phát triển của logic toán học với những đóng góp to lớn. , trong số đó, Tiên đề Peano, công thức hình thành các tính chất không thể thiếu của số tự nhiên.
Các nhà toán học George Boole và Georg Cantor cũng có ảnh hưởng lớn vào thời gian này, với những đóng góp quan trọng trong lý thuyết tập hợp và bảng chân lý, trong đó nổi bật là Đại số Boolean (của George Boole) và Tiên đề về sự lựa chọn. (của George Cantor).
Ngoài ra còn có Augustus De Morgan với các định luật Morgan nổi tiếng, suy ngẫm về sự phủ định, liên từ, loại bỏ và điều kiện giữa các mệnh đề, chìa khóa cho sự phát triển của Logic biểu tượng, và Jhon Venn với biểu đồ Venn nổi tiếng.
Vào thế kỷ 20, khoảng giữa năm 1910 và 1913, Bertrand Russell và Alfred North Whitehead nổi bật với việc xuất bản cuốn sách toán học Principia, một bộ sách thu thập, phát triển và định đề một loạt các tiên đề và kết quả của logic.
Logic toán học nghiên cứu những gì?
Đề xuất
Logic toán học bắt đầu với việc nghiên cứu các mệnh đề. Một mệnh đề là một tuyên bố mà không có bất kỳ sự mơ hồ nào bạn có thể nói liệu nó có đúng hay không. Sau đây là các ví dụ về mệnh đề:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- Năm 1930 có một trận động đất ở Châu Âu.
Đầu tiên là một tuyên bố đúng và thứ hai là một tuyên bố sai. Thứ ba, mặc dù người đọc nó có thể không biết nó là sự thật hay ngay lập tức, là một tuyên bố có thể được kiểm tra và xác định xem nó có thực sự xảy ra hay không.
Sau đây là các ví dụ về các biểu thức không phải là mệnh đề:
- Cô ấy tóc vàng.
- 2x = 6.
- Hãy chơi!
- Bạn có thích phim không
Trong mệnh đề thứ nhất, không chỉ rõ "cô ấy" là ai, do đó không thể khẳng định điều gì. Trong mệnh đề thứ hai, "x" đại diện cho điều gì chưa được xác định. Thay vào đó, nếu người ta nói rằng 2x = 6 với một số tự nhiên x nào đó, thì trong trường hợp này, nó sẽ tương ứng với một mệnh đề, trên thực tế là đúng, vì đối với x = 3 thì nó được thỏa mãn.
Hai câu cuối cùng không tương ứng với một mệnh đề, vì không có cách nào để phủ nhận hoặc khẳng định chúng.
Hai hoặc nhiều mệnh đề có thể được kết hợp (hoặc kết nối) bằng cách sử dụng các mối liên hệ (hoặc trình kết nối) logic nổi tiếng. Đó là:
- Từ chối: "Trời không mưa."
- Disjunction: "Luisa mua một chiếc túi màu trắng hoặc xám."
- Liên từ: "4 2 = 16 và 2 × 5 = 10".
- Có điều kiện: "Nếu trời mưa thì chiều nay tôi không đi tập thể dục".
- Xe đạp: "Tôi đi tập thể dục chiều nay nếu, và chỉ khi, trời không mưa."
Một mệnh đề không có bất kỳ liên kết nào trước đó được gọi là mệnh đề đơn giản (hoặc nguyên tử). Ví dụ, "2 nhỏ hơn 4" là một mệnh đề đơn giản. Các mệnh đề có một số liên kết được gọi là mệnh đề ghép, chẳng hạn như "1 + 3 = 4 và 4 là một số chẵn."
Các phát biểu được thực hiện bằng mệnh đề thường dài, vì vậy thật tẻ nhạt khi luôn viết chúng như đã thấy từ trước đến nay. Vì lý do này, một ngôn ngữ biểu tượng được sử dụng. Các mệnh đề thường được thể hiện bằng các chữ cái viết hoa như P, Q, R, S, v.v. Và các kết nối tượng trưng như sau:
Vậy nên
Trò chuyện của một mệnh đề điều kiện
là mệnh đề
Và sự đối nghịch (hoặc liên tục) của một mệnh đề
là mệnh đề
Bảng sự thật
Một khái niệm quan trọng khác trong logic là bảng sự thật. Giá trị chân lý của một mệnh đề là hai khả năng xảy ra đối với mệnh đề: đúng (được ký hiệu là V và người ta nói rằng giá trị chân lý của nó là V) hoặc sai (sẽ được ký hiệu là F và người ta nói rằng giá trị của nó thực sự là F).
Giá trị chân lý của mệnh đề ghép phụ thuộc hoàn toàn vào giá trị chân lý của mệnh đề đơn giản xuất hiện trong đó.
Để làm việc một cách tổng quát hơn, chúng ta sẽ không xem xét các mệnh đề cụ thể, nhưng các biến mệnh đề p, q, r, s, v.v., sẽ đại diện cho bất kỳ mệnh đề nào.
Với các biến này và các liên kết logic, các công thức mệnh đề nổi tiếng được hình thành, giống như các mệnh đề ghép được xây dựng.
Nếu mỗi biến xuất hiện trong một công thức mệnh đề được thay thế bằng một mệnh đề thì sẽ thu được một mệnh đề phức hợp.
Dưới đây là bảng sự thật cho các kết nối logic:
Có những công thức mệnh đề chỉ nhận giá trị V trong bảng chân trị của chúng, tức là cột cuối cùng của bảng chân lý của chúng chỉ có giá trị V. Những loại công thức này được gọi là tautology. Ví dụ:
Sau đây là bảng chân trị của công thức
Một công thức α được cho là ngụ ý về mặt logic một công thức β khác, nếu α đúng mỗi lần β đúng. Nghĩa là, trong bảng chân lý của α và β, các hàng mà α có V, β cũng có V. Chúng ta chỉ quan tâm đến các hàng mà α có giá trị V. Kí hiệu cho hàm ý logic như sau :
Bảng sau đây tóm tắt các thuộc tính của hàm ý logic:
Hai công thức mệnh đề được cho là tương đương về mặt logic nếu bảng chân trị của chúng giống hệt nhau. Ký hiệu sau được sử dụng để thể hiện sự tương đương lôgic:
Các bảng sau đây tóm tắt các thuộc tính của tương đương lôgic:
Các loại logic toán học
Có nhiều loại logic khác nhau, đặc biệt nếu người ta tính đến logic thực dụng hoặc không chính thức chỉ ra triết học, trong số các lĩnh vực khác.
Liên quan đến toán học, các loại logic có thể được tóm tắt là:
- Logic hình thức hoặc Aristotle (logic cổ đại).
- Logic mệnh đề: nó chịu trách nhiệm nghiên cứu mọi thứ liên quan đến tính hợp lệ của các lập luận và mệnh đề sử dụng ngôn ngữ hình thức và biểu tượng.
- Logic biểu tượng: tập trung vào nghiên cứu các tập hợp và các tính chất của chúng, cũng với một ngôn ngữ hình thức và biểu tượng, và có liên kết sâu sắc với logic mệnh đề.
- Logic tổ hợp: một trong những logic được phát triển gần đây nhất, liên quan đến các kết quả có thể được phát triển bằng cách sử dụng các thuật toán.
- Lập trình logic: được sử dụng trong các gói và ngôn ngữ lập trình khác nhau.
Khu vực
Trong số các lĩnh vực sử dụng logic toán học một cách không thể thiếu trong việc phát triển lý luận và lập luận của họ, nổi bật là triết học, lý thuyết tập hợp, lý thuyết số, toán học xây dựng đại số và ngôn ngữ lập trình.
Người giới thiệu
- Aylwin, CU (2011). Logic, Bộ và Số. Mérida - Venezuela: Hội đồng xuất bản, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Giới thiệu về Lý thuyết Số. LIÊN KẾT.
- Castañeda, S. (2016). Khóa học cơ bản về lý thuyết số. Đại học Miền Bắc.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Làm thế nào để phát triển suy luận logic toán học. Nhà xuất bản Đại học.
- Zaragoza, AC (sf). Lý thuyết số Biên tập Vision Libros.