LUẬT MORGAN - TOÁN HỌC

Con mắt của Morgan là các quy tắc suy luận được sử dụng trong logic mệnh đề, nó thiết lập kết quả của việc phủ nhận một liên kết và sự kết hợp của các mệnh đề hoặc biến mệnh đề. Các định luật này được định nghĩa bởi nhà toán học Augustus De Morgan.

Định luật Morgan đại diện cho một công cụ rất hữu ích để chứng minh tính hợp lệ của lý luận toán học. Sau đó, chúng được khái quát hóa trong khái niệm tập hợp bởi nhà toán học George Boole.

Sự tổng quát hóa này của Boole hoàn toàn tương đương với các định luật Morgan ban đầu, nhưng nó được phát triển đặc biệt cho các tập hợp hơn là cho các mệnh đề. Sự tổng quát hóa này còn được gọi là các định luật Morgan.

Xem lại logic mệnh đề

Trước khi xem xét cụ thể các định luật Morgan là gì và chúng được sử dụng như thế nào, sẽ rất hữu ích khi nhớ một số khái niệm cơ bản của logic mệnh đề. (Để biết thêm chi tiết, hãy xem bài viết về logic mệnh đề).

Trong lĩnh vực logic toán học (hoặc mệnh đề), một suy luận là một kết luận được rút ra từ một tập hợp các tiền đề hoặc giả thuyết. Kết luận này, cùng với các tiền đề đã nói ở trên, dẫn đến cái được gọi là suy luận toán học.

Lập luận như vậy phải được chứng minh hoặc phủ nhận; nghĩa là, không phải mọi suy luận hay kết luận trong suy luận toán học đều hợp lệ.

Lối ngụy biện

Một suy luận sai được tạo ra từ một số giả thuyết nhất định được cho là đúng được gọi là ngụy biện. Các ngụy biện có đặc điểm là các lập luận có vẻ đúng, nhưng về mặt toán học thì không.

Logic mệnh đề chịu trách nhiệm chính xác trong việc phát triển và cung cấp các phương pháp mà không có bất kỳ sự mơ hồ nào, một suy luận toán học có thể được xác nhận hoặc bác bỏ; nghĩa là, suy ra một kết luận hợp lệ từ các tiền đề. Các phương pháp này được gọi là các quy tắc suy luận, trong đó các luật của Morgan là một phần.

Đề xuất

Các yếu tố thiết yếu của logic mệnh đề là các mệnh đề. Mệnh đề là những phát biểu có thể được cho là có giá trị hoặc không, nhưng không thể đúng hoặc sai cùng một lúc. Không nên có sự mơ hồ trong vấn đề này.

Cũng giống như các số có thể được kết hợp thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân và chia, các mệnh đề có thể được vận hành bằng các phép liên kết (hoặc bộ nối) logic nổi tiếng: phủ định (¬, “không phải”), phép nối (V , “Hoặc”), kết hợp (Ʌ, “và”), có điều kiện (→, “nếu…, thì…”) và hai điều kiện (↔, “nếu và chỉ khi”).

Để làm việc tổng quát hơn, thay vì xem xét các mệnh đề cụ thể, các biến mệnh đề đại diện cho bất kỳ mệnh đề nào được xem xét và chúng thường được ký hiệu bằng các chữ cái viết thường p, q, r, s, v.v.

Công thức mệnh đề là sự kết hợp của các biến mệnh đề bằng một số liên kết logic. Nói cách khác, nó là một thành phần của các biến mệnh đề. Chúng thường được ký hiệu bằng các chữ cái Hy Lạp.

Người ta nói rằng một công thức mệnh đề ngụ ý một cách hợp lý một công thức khác khi cái sau đúng mỗi khi cái trước đúng. Điều này được biểu thị bằng:

Khi hàm ý logic giữa hai công thức mệnh đề là tương hỗ - nghĩa là, khi hàm ý trước đó cũng có giá trị theo nghĩa ngược lại - thì các công thức được cho là tương đương về mặt logic và nó được biểu thị bằng

Tương đương logic là một loại bình đẳng giữa các công thức mệnh đề và cho phép thay thế một công thức mệnh đề bằng công thức kia khi cần thiết.

Định luật Morgan

Các định luật Morgan bao gồm hai điểm tương đương lôgic giữa hai dạng mệnh đề, đó là:

Các luật này cho phép tách biệt phủ định của một liên kết hoặc một liên kết, như là phủ định của các biến liên quan.

Đầu tiên có thể được đọc như sau: phủ định của một liên kết ngang bằng với kết hợp của các phủ định. Và câu thứ hai đọc như thế này: sự phủ định của một liên kết là sự tách rời của các phủ định.

Nói cách khác, phủ nhận sự tách rời của hai biến mệnh đề tương đương với sự kết hợp của phủ định của cả hai biến. Tương tự như vậy, việc phủ nhận sự kết hợp của hai biến mệnh đề tương đương với việc loại bỏ sự phủ định của cả hai biến.

Như đã đề cập trước đó, việc thay thế tương đương lôgic này giúp chứng minh các kết quả quan trọng, cùng với các quy tắc suy luận hiện có khác. Với những công thức này, bạn có thể đơn giản hóa nhiều công thức mệnh đề để chúng hữu ích hơn khi làm việc.

Sau đây là một ví dụ về chứng minh toán học sử dụng các quy tắc suy luận, bao gồm các định luật Morgan. Cụ thể, nó được chỉ ra rằng công thức:

Nó tương đương với:

Cái sau đơn giản hơn để hiểu và phát triển.

Trình diễn

Điều đáng nói là tính hợp lệ của các định luật Morgan có thể được chứng minh bằng toán học. Một cách là so sánh các bảng sự thật của bạn.

Bộ

Các quy tắc suy luận tương tự và các khái niệm logic áp dụng cho các mệnh đề cũng có thể được phát triển khi xem xét các tập hợp. Đây là cái được gọi là đại số Boolean, theo tên nhà toán học George Boole.

Để phân biệt các trường hợp, cần phải thay đổi ký hiệu và chuyển sang các tập hợp, tất cả các khái niệm đã thấy của logic mệnh đề.

Tập hợp là một tập hợp các đối tượng. Các tập hợp được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa A, B, C, X, … và các phần tử của một tập hợp được ký hiệu bằng các chữ cái thường a, b, c, x, v.v. Khi một phần tử a thuộc tập X, nó được ký hiệu là:

Khi nó không thuộc X, kí hiệu là:

Cách biểu diễn các tập hợp là đặt các phần tử của chúng bên trong dấu ngoặc nhọn. Ví dụ, tập hợp các số tự nhiên được biểu diễn bằng:

Các tập hợp cũng có thể được biểu diễn mà không cần viết một danh sách rõ ràng các phần tử của chúng. Chúng có thể được thể hiện dưới dạng {:}. Dấu hai chấm được đọc là "như vậy mà". Ở bên trái của hai điểm, một biến được đặt đại diện cho các phần tử của tập hợp, và ở bên phải được đặt thuộc tính hoặc điều kiện mà chúng thỏa mãn. Đây là:

Ví dụ, tập hợp các số nguyên lớn hơn -4 có thể được biểu thị như sau:

Hoặc tương đương, và được viết tắt nhiều hơn, như:

Tương tự, các biểu thức sau đây biểu diễn tập hợp các số lẻ và số chẵn, tương ứng:

Liên minh, giao điểm và phần bổ sung của các tập hợp

Tiếp theo, chúng ta sẽ thấy các phép tương tự của các kết nối logic trong trường hợp tập hợp, là một phần của các phép toán cơ bản giữa các tập hợp.

Liên minh và giao lộ

Hợp và giao của các tập hợp được định nghĩa tương ứng như sau:

Ví dụ, hãy xem xét các bộ:

Vì vậy, bạn phải:

Bổ sung

Phần bù của một tập hợp được tạo thành bởi các phần tử không thuộc tập hợp đã nói (cùng loại mà phần tử gốc biểu diễn). Phần bù của tập A, được ký hiệu là:

Ví dụ, trong các số tự nhiên, phần bù của tập hợp các số chẵn là phần bù của tập hợp các số lẻ và ngược lại.

Để xác định phần bù của một tập hợp, tập hợp phổ quát hoặc tập hợp chính của các phần tử đang được xem xét phải rõ ràng ngay từ đầu. Ví dụ, việc coi phần bù của một tập hợp trên các số tự nhiên là không giống nhau trên các số hữu tỉ.

Bảng sau đây cho thấy mối quan hệ hoặc sự tương tự tồn tại giữa các phép toán trên các tập hợp được xác định trước đó và các kết nối của logic mệnh đề:

Định luật Morgan cho Bộ

Cuối cùng, các định luật của Morgan về tập hợp là:

Nói cách khác: phần bù của một liên hợp là giao của các phần bổ sung, và phần bù của một giao điểm là hợp của các phần bổ sung.

Một bằng chứng toán học về đẳng thức đầu tiên sẽ như sau:

Bằng chứng của điều thứ hai là tương tự.

Người giới thiệu

Almaguer, G. (2002). Toán học 1. Limusa biên tập.
Aylwin, CU (2011). Logic, Bộ và Số. Mérida - Venezuela: Hội đồng xuất bản, Universidad de Los Andes.
Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Giới thiệu về Lý thuyết Số. LIÊN KẾT.
Castañeda, S. (2016). Khóa học cơ bản về lý thuyết số. Đại học Miền Bắc.
Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Làm thế nào để phát triển suy luận logic toán học. Nhà xuất bản Đại học.
Guevara, MH (nd). Lý thuyết về các con số. LIÊN KẾT.
Zaragoza, AC (sf). Lý thuyết số Biên tập Vision Libros.

LUẬT MORGAN - TOÁN HỌC - 2026