ĐẠI SỐ VECTƠ: CƠ BẢN, ĐỘ LỚN, VECTƠ - TOÁN HỌC

Các đại số véc tơ là một nhánh của toán học mà nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính, vectơ, ma trận, không gian vector và biến đổi tuyến tính. Nó liên quan đến các lĩnh vực như kỹ thuật, giải phương trình vi phân, phân tích chức năng, nghiên cứu hoạt động, đồ họa máy tính, trong số những lĩnh vực khác.

Một lĩnh vực khác mà đại số tuyến tính đã áp dụng là vật lý, vì nhờ đó có thể phát triển việc nghiên cứu các hiện tượng vật lý, mô tả chúng thông qua việc sử dụng các vectơ. Điều này đã giúp hiểu biết tốt hơn về vũ trụ.

Cơ bản

Đại số vectơ bắt nguồn từ việc nghiên cứu các quaternion (mở rộng của các số thực) 1, i, j và k, cũng như từ hình học Descartes được thúc đẩy bởi Gibbs và Heaviside, người đã nhận ra rằng vectơ sẽ phục vụ như một công cụ đại diện cho các hiện tượng vật lý khác nhau.

Đại số vectơ được nghiên cứu thông qua ba nguyên tắc cơ bản:

Về mặt hình học

Vectơ được biểu diễn bằng các đường có hướng và các phép toán như cộng, trừ và nhân với số thực được xác định thông qua các phương pháp hình học.

Phân tích

Việc mô tả vectơ và hoạt động của chúng được thực hiện với các con số, được gọi là các thành phần. Loại mô tả này là kết quả của một biểu diễn hình học vì một hệ tọa độ được sử dụng.

Tiên đề

Mô tả vectơ được thực hiện, không phụ thuộc vào hệ tọa độ hoặc bất kỳ kiểu biểu diễn hình học nào.

Việc nghiên cứu các hình trong không gian được thực hiện thông qua việc biểu diễn chúng trong một hệ quy chiếu, có thể ở một hoặc nhiều chiều. Trong số các hệ thống chính là:

- Hệ một chiều, là một đường thẳng trong đó một điểm (O) biểu diễn điểm gốc và một điểm khác (P) xác định tỷ lệ (độ dài) và hướng của nó:

- Hệ tọa độ hình chữ nhật (hai chiều) gồm hai đường thẳng vuông góc gọi là trục x và trục y đi qua một điểm gốc (O); theo cách này, mặt phẳng được chia thành bốn vùng gọi là góc phần tư. Trong trường hợp này, một điểm (P) trong mặt phẳng được cho bởi khoảng cách tồn tại giữa các trục và P.

- Hệ tọa độ cực (hai chiều). Trong trường hợp này hệ gồm một điểm O (gốc) được gọi là cực và một tia có gốc tại O được gọi là trục cực. Trong trường hợp này, điểm P của mặt phẳng, với cực và trục cực, được cho bởi góc (Ɵ), được tạo thành bởi khoảng cách tồn tại giữa điểm gốc và điểm P.

- Hệ ba chiều hình chữ nhật, tạo bởi ba đường thẳng vuông góc (x, y, z) có gốc tọa độ là điểm O trong không gian. Ba mặt phẳng tọa độ được tạo thành: xy, xz và yz; không gian sẽ được chia thành tám vùng gọi là octants. Tham chiếu của một điểm P trong không gian được cho bởi khoảng cách tồn tại giữa hai mặt phẳng và P.

Độ lớn

Độ lớn là một đại lượng vật lý có thể được đếm hoặc đo thông qua một giá trị số, như trong trường hợp của một số hiện tượng vật lý; tuy nhiên, nhiều khi cần thiết để có thể mô tả những hiện tượng này bằng các yếu tố khác ngoài số. Đó là lý do tại sao độ lớn được phân thành hai loại:

Độ lớn vô hướng

Chúng là những đại lượng được xác định và biểu diễn bằng số; nghĩa là, bởi một mô-đun cùng với một đơn vị đo lường. Ví dụ:

a) Thời gian: 5 giây.

b) Khối lượng: 10 kg.

c) Thể tích: 40 ml.

d) Nhiệt độ: 40 ºC.

Độ lớn vectơ

Chúng là những đại lượng được xác định và biểu diễn bằng một môđun cùng với một đơn vị, cũng như bằng một giác độ và hướng. Ví dụ:

a) Vận tốc: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Gia tốc: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Lực: 280 N, 120º.

d) Trọng lượng: -40 ĵ kg-f.

Các đại lượng vectơ được biểu diễn bằng đồ thị bằng vectơ.

Vectơ là gì?

Vectơ là biểu diễn đồ họa của một đại lượng vectơ; nghĩa là, chúng là các đoạn thẳng mà đầu cuối cùng của chúng là đầu mũi tên.

Chúng được xác định bởi mô-đun hoặc độ dài của đoạn, hướng của nó được chỉ ra bằng đầu mũi tên và hướng của nó theo đường mà đoạn đó thuộc về. Gốc của một vectơ còn được gọi là điểm ứng dụng.

Các phần tử của một vectơ như sau:

Mô-đun

Nó là khoảng cách từ điểm gốc đến điểm cuối của một vectơ, được biểu diễn bằng một số thực cùng với một đơn vị. Ví dụ:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Địa chỉ

Nó là số đo góc tồn tại giữa trục x (từ dương) và vectơ, cũng như các điểm chính (bắc, nam, đông và tây) được sử dụng.

Giác quan

Nó được đưa ra bởi đầu mũi tên nằm ở cuối vectơ, cho biết nó sẽ đi đâu.

Phân loại vectơ

Nói chung, vectơ được phân loại là:

Vectơ cố định

Nó là một trong những điểm ứng dụng (điểm gốc) là cố định; nghĩa là, nó vẫn được liên kết với một điểm trong không gian, vì vậy nó không thể di chuyển trong đó.

Vector miễn phí

Nó có thể di chuyển tự do trong không gian vì gốc của nó di chuyển đến bất kỳ điểm nào mà không thay đổi môđun, hướng hoặc hướng của nó.

Véc tơ trượt

Nó là một thứ có thể chuyển nguồn gốc của nó dọc theo đường hoạt động của nó mà không thay đổi mô-đun, hướng hoặc hướng của nó.

Thuộc tính của vectơ

Trong số các thuộc tính chính của vectơ là:

Vectors teamlenses

Chúng là những vectơ tự do có cùng môđun, hướng (hoặc chúng song song) và có giá trị như một vectơ trượt hoặc một vectơ cố định.

Vectơ tương đương

Nó xảy ra khi hai vectơ có cùng hướng (hoặc song song), cùng một giác và mặc dù có các mô-đun và điểm ứng dụng khác nhau, chúng gây ra các hiệu ứng giống nhau.

Bình đẳng vector

Chúng có cùng mô-đun, hướng và cảm giác, ngay cả khi điểm xuất phát của chúng khác nhau, điều này cho phép một vectơ song song tự dịch mà không ảnh hưởng đến nó.

Vectơ đối diện

Chúng là những từ có cùng môđun và hướng, nhưng ý nghĩa của chúng trái ngược nhau.

Đơn vị véc tơ

Nó là một trong đó mô-đun bằng đơn vị (1). Điều này thu được bằng cách chia vectơ cho môđun của nó và được sử dụng để xác định hướng và giác của một vectơ, trong mặt phẳng hoặc trong không gian, sử dụng vectơ đơn vị cơ sở hoặc chuẩn hóa, là:

Vectơ rỗng

Nó là cái có môđun bằng 0; nghĩa là điểm gốc và điểm cuối của nó trùng với cùng một điểm.

Các thành phần của vectơ

Các thành phần của vectơ là các giá trị của hình chiếu của vectơ trên các trục của hệ quy chiếu; Tùy thuộc vào sự phân rã của vector, có thể nằm trên trục hai hoặc ba chiều, sẽ thu được hai hoặc ba thành phần tương ứng.

Các thành phần của vectơ là các số thực, có thể là số dương, số âm hoặc thậm chí là số không (0).

Như vậy, nếu ta có vectơ Ā, có gốc tọa độ trong hệ tọa độ hình chữ nhật trong mặt phẳng xy (hai chiều), thì hình chiếu trên trục x là Āx và hình chiếu trên trục y là Āy. Như vậy, vectơ sẽ được biểu diễn dưới dạng tổng các vectơ thành phần của nó.

Ví dụ

Ví dụ đầu tiên

Ta có một vectơ Ā bắt đầu từ điểm gốc và tọa độ các điểm cuối của nó đã cho. Như vậy, vectơ Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Nếu vectơ Ā tác dụng tại gốc của một hệ tọa độ tam giác ba chiều (trong không gian) x, y, z, tới một điểm khác (P), thì các hình chiếu trên các trục của nó sẽ là Āx, Āy và Āz; do đó, vectơ sẽ được biểu diễn dưới dạng tổng của ba vectơ thành phần của nó.

Ví dụ thứ hai

Ta có một vectơ Ā bắt đầu từ điểm gốc và tọa độ các điểm cuối của nó đã cho. Như vậy, vectơ Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Các vectơ có tọa độ là hình chữ nhật của chúng có thể được biểu diễn dưới dạng các vectơ cơ sở của chúng. Vì vậy, mỗi tọa độ chỉ phải được nhân với vectơ đơn vị tương ứng của nó, theo cách mà đối với mặt phẳng và không gian, chúng sẽ như sau:

Cho mặt phẳng: Ā = A _x i + A _y j.

Cho không gian: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Phép toán vectơ

Có nhiều đại lượng có môđun, cảm giác và hướng, chẳng hạn như gia tốc, tốc độ, độ dịch chuyển, lực, trong số những đại lượng khác.

Chúng được áp dụng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau, và để áp dụng chúng, trong một số trường hợp, cần thực hiện các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia các vectơ và vô hướng.

cộng và trừ vectơ

Phép cộng và phép trừ vectơ được coi là một phép toán đại số đơn vì phép trừ có thể được viết dưới dạng tổng; ví dụ, phép trừ các vectơ Ā và Ē có thể được biểu thị như sau:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Có nhiều phương pháp khác nhau để thực hiện phép cộng và trừ vectơ: chúng có thể là đồ thị hoặc phân tích.

Phương pháp đồ họa

Được sử dụng khi một vectơ có môđun, hướng và hướng. Đối với điều này, các đường được vẽ để tạo thành một hình sau đó giúp xác định kết quả. Trong số những điều được biết đến nhiều nhất là:

Phương pháp hình bình hành

Để thực hiện phép cộng hoặc trừ hai vectơ, một điểm chung được chọn trên trục tọa độ - điểm này sẽ đại diện cho điểm gốc của các vectơ-, giữ nguyên môđun, hướng và hướng của nó.

Các đường thẳng sau đó được vẽ song song với các vectơ để tạo thành một hình bình hành. Vectơ kết quả là đường chéo đi từ điểm gốc của cả hai vectơ đến đỉnh của hình bình hành:

Phương pháp tam giác

Trong phương pháp này, các vectơ được đặt lần lượt, giữ nguyên mô-đun, hướng và hướng của chúng. Vectơ kết quả sẽ là hợp của điểm gốc của vectơ đầu tiên với điểm cuối của vectơ thứ hai:

Phương pháp phân tích

Hai hoặc nhiều vectơ có thể được cộng hoặc trừ thông qua phương pháp hình học hoặc vectơ:

Phương pháp hình học

Khi hai vectơ tạo thành tam giác hoặc hình bình hành thì m) .push ({});

- Tính chất phân phối vô hướng: nếu một vectơ được nhân với tổng của hai vô hướng thì nó bằng phép nhân của vectơ với mỗi đại lượng vô hướng.

Nhân các vectơ

Phép nhân hoặc tích của vectơ có thể được thực hiện dưới dạng cộng hoặc trừ, nhưng làm theo cách đó sẽ mất đi ý nghĩa vật lý và hầu như không bao giờ được tìm thấy trong các ứng dụng. Vì lý do này, các loại sản phẩm được sử dụng phổ biến nhất là tích vô hướng và tích vectơ.

Sản phẩm vô hướng

Nó còn được gọi là tích chấm của hai vectơ. Khi môđun của hai vectơ được nhân với cosin của góc nhỏ nhất tạo thành giữa chúng, ta thu được một vô hướng. Để biểu thị tích vô hướng giữa hai vectơ, một điểm được đặt giữa chúng và điều này có thể được định nghĩa là:

Giá trị của góc tồn tại giữa hai vectơ sẽ phụ thuộc vào việc chúng song song hay vuông góc; do đó, bạn phải:

- Nếu các vectơ song song và cùng phương thì cosin 0º = 1.

- Nếu các vectơ song song và ngược hướng thì cosin 180º = -1.

- Nếu vectơ vuông góc thì cosin 90º = 0.

Góc đó cũng có thể được tính khi biết rằng:

Sản phẩm chấm có các đặc tính sau:

- Tính chất giao hoán: bậc của các vectơ không làm thay đổi tính vô hướng.

-Tính chất phân phối: nếu một vô hướng được nhân với tổng của hai vectơ thì nó bằng phép nhân của vô hướng đối với mỗi vectơ.

Sản phẩm vector

Phép nhân vectơ, hoặc tích chéo của hai vectơ A và B, sẽ tạo ra một vectơ C mới và được biểu thị bằng cách sử dụng phép chéo giữa các vectơ:

Vectơ mới sẽ có đặc điểm riêng của nó. Theo cách đó:

- Hướng: vectơ mới này sẽ vuông góc với mặt phẳng, được xác định bởi các vectơ ban đầu.

- Hướng: được xác định theo quy tắc bàn tay phải, trong đó vectơ A được quay về phía B, cho biết hướng quay bằng các ngón tay và hướng của vectơ được đánh dấu bằng ngón tay cái.

- Môđun: được xác định bằng phép nhân môđun của các vectơ AxB với sin của góc nhỏ nhất tồn tại giữa các vectơ này. Nó được thể hiện:

Giá trị của góc tồn tại giữa hai vectơ sẽ phụ thuộc vào việc chúng song song hay vuông góc. Vì vậy, có thể phát biểu như sau:

- Nếu các vectơ song song và cùng phương thì sin 0º = 0.

- Nếu các vectơ song song và ngược hướng thì sin 180º = 0.

- Nếu vectơ vuông góc thì sin 90º = 1.

Khi một tích vectơ được biểu diễn theo các vectơ cơ sở của nó, chúng ta có: