PHƯƠNG PHÁP CỦA EULER: NÓ DÙNG ĐỂ LÀM GÌ, QUY TRÌNH VÀ BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2026

Các phương pháp Euler là thủ tục cơ bản và đơn giản nhất được sử dụng để tìm ra giải pháp số xấp xỉ một phương trình vi phân thường của các đơn hàng đầu tiên, với điều kiện là điều kiện ban đầu được biết đến.

Phương trình vi phân thông thường (ODE) là phương trình liên hệ giữa một hàm chưa biết của một biến độc lập với các đạo hàm của nó.

Xấp xỉ kế tiếp bằng phương pháp Euler. Nguồn: Oleg Alexandrov

Nếu đạo hàm lớn nhất xuất hiện trong phương trình có cấp một, thì nó là một phương trình vi phân thông thường của cấp một.

Cách tổng quát nhất để viết một phương trình bậc nhất là:

x = x ₀

y = y ₀

Phương pháp của Euler là gì?

Ý tưởng của phương pháp Euler là tìm một nghiệm số cho phương trình vi phân trong khoảng giữa X ₀ và X _f .

Đầu tiên, khoảng thời gian được tính theo n + 1 điểm:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Kết quả thu được như sau:
x _i = x ₀ + ih

Trong đó h là chiều rộng hoặc bước của các khoảng con:

Với điều kiện ban đầu thì cũng có thể biết đạo hàm lúc đầu:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Đạo hàm này biểu diễn hệ số góc của đường tiếp tuyến với đường cong của hàm số y (x) một cách chính xác tại điểm:

Ao = (x _o , y _o )

Khi đó, một dự đoán gần đúng về giá trị của hàm y (x) được thực hiện tại điểm sau:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Điểm gần đúng tiếp theo của nghiệm sau đó đã được thu được, tương ứng với:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Quy trình được lặp lại để thu được các điểm kế tiếp

A ₂ , A ₃ …, x _n

Trong hình minh họa ở phần đầu, đường cong màu xanh biểu thị nghiệm chính xác của phương trình vi phân và đường màu đỏ biểu thị các điểm gần đúng liên tiếp thu được bằng quy trình Euler.

Bài tập đã giải

Bài tập 1

I ) Cho phương trình vi phân là:

Với điều kiện ban đầu x = a = 0; và _a = 1

Sử dụng phương pháp của Euler, nhận được nghiệm gần đúng của y tại tọa độ X = b = 0,5, chia khoảng này thành n = 5 phần.

Giải pháp

Các kết quả số được tóm tắt như sau:

Từ đó kết luận rằng dung dịch Y có giá trị 0,5 là 1,4851.

Lưu ý: Smath Studio, một chương trình miễn phí sử dụng miễn phí, đã được sử dụng để thực hiện các phép tính.

Bài tập 2

II ) Tiếp tục với phương trình vi phân từ bài tập I), tìm nghiệm chính xác và so sánh với kết quả thu được bằng phương pháp của Euler. Tìm sai số hoặc chênh lệch giữa kết quả chính xác và kết quả gần đúng.

Giải pháp

Giải pháp chính xác không phải là rất khó tìm. Đạo hàm của hàm sin (x) được biết đến là hàm cos (x). Do đó nghiệm y (x) sẽ là:

y (x) = sin x + C

Để điều kiện ban đầu được thỏa mãn và (0) = 1, hằng số C phải bằng 1. Sau đó kết quả chính xác được so sánh với kết quả gần đúng:

Kết luận rằng trong khoảng được tính toán, xấp xỉ có ba con số chính xác đáng kể.

Bài tập 3

III ) Xét phương trình vi phân và các điều kiện ban đầu của nó cho dưới đây:

y '(x) = - y ²

Với điều kiện ban đầu x ₀ = 0; và ₀ = 1

Sử dụng phương pháp của Euler để tìm các giá trị gần đúng của nghiệm y (x) trên khoảng x =. Sử dụng bước h = 0,1.

Giải pháp

Phương pháp của Euler rất thích hợp để sử dụng với bảng tính. Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ sử dụng bảng tính đại số địa lý, một chương trình mã nguồn mở và miễn phí.

Bảng tính trong hình cho thấy ba cột (A, B, C), cột đầu tiên là biến x, cột thứ hai đại diện cho biến y và cột thứ ba là đạo hàm y '.

Hàng 2 chứa các giá trị ban đầu của X, Y, Y '.

Giá trị bước 0,1 đã được đặt trong ô vị trí tuyệt đối ($ D $ 4).

Giá trị ban đầu của y0 nằm trong ô B2 và y1 nằm trong ô B3. Để tính y ₁ , công thức được sử dụng:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Công thức bảng tính này sẽ là Số B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Tương tự y2 sẽ nằm trong ô B4 và công thức của nó được hiển thị trong hình sau:

Hình cũng cho thấy đồ thị của nghiệm chính xác và các điểm A, B,…, P của nghiệm gần đúng theo phương pháp của Euler.

Động lực học Newton và phương pháp Euler

Động lực học cổ điển được phát triển bởi Isaac Newton (1643 - 1727). Động lực ban đầu của Leonard Euler (1707 - 1783) để phát triển phương pháp của mình, chính xác là để giải phương trình của định luật thứ hai Newton trong các tình huống vật lý khác nhau.

Định luật thứ hai của Newton thường được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân bậc hai:

Trong đó x là vị trí của vật tại thời điểm t. Cho biết vật có khối lượng m và chịu một lực F. Hàm f liên quan đến lực và khối lượng như sau:

Để áp dụng phương pháp của Euler, các giá trị ban đầu của thời gian t, vận tốc v và vị trí x là bắt buộc.

Bảng sau đây giải thích cách bắt đầu từ các giá trị ban đầu t1, v1, x1, một giá trị gần đúng của vận tốc v2 và vị trí x2 có thể đạt được, tại thời điểm t2 = t1 + Δt, trong đó Δt đại diện cho một mức tăng nhỏ và tương ứng với bước trong phương pháp Euler.

Bài tập 4

IV ) Một trong những bài toán cơ bản trong cơ học là một vật khối lượng M được buộc vào một lò xo (hay lò xo) có độ đàn hồi K không đổi.

Định luật thứ hai của Newton cho vấn đề này sẽ giống như sau:

Trong ví dụ này, để đơn giản chúng ta sẽ lấy M = 1 và K = 1. Tìm nghiệm gần đúng của vị trí x và vận tốc v bằng phương pháp Euler trên khoảng thời gian bằng cách chia khoảng thời gian đó thành 12 phần.

Lấy 0 là thời điểm ban đầu, vận tốc ban đầu 0 và vị trí ban đầu 1.

Giải pháp

Kết quả số được hiển thị trong bảng sau:

Biểu đồ vị trí và vận tốc giữa thời điểm 0 và 1.44 cũng được hiển thị.

Bài tập đề xuất cho nhà

Bài tập 1

Sử dụng bảng tính để xác định nghiệm gần đúng bằng phương pháp của Euler cho phương trình vi phân:

y '= - Exp (-y) với các điều kiện ban đầu x = 0, y = -1 trong khoảng x =

Bắt đầu với bước 0,1. Lập đồ thị kết quả.

Bài tập 2

Sử dụng bảng tính, hãy tìm nghiệm số của phương trình bậc hai sau, trong đó y là một hàm của biến độc lập t.

y '' = - 1 / y² với điều kiện ban đầu t = 0; và (0) = 0,5; y '(0) = 0

Tìm nghiệm trong khoảng thời gian sử dụng bước 0,05.

Vẽ đồ thị kết quả: y vs t; y 'vs t

Người giới thiệu

1. Phương pháp Eurler Lấy từ wikipedia.org
2. Bộ giải Euler. Lấy từ en.smath.com