- Định đề
- Bốn định đề của Dirac
- Phương trình Dirac
- Nguyên tử Dirac-Jordan
- Hiệu chỉnh tương đối tính đối với phổ năng lượng
- Các bài báo quan tâm
- Người giới thiệu
Các mô hình nguyên tử Dirac-Jordan là tổng quát tương đối của các nhà điều hành Hamiltonian trong phương trình mô tả các hàm sóng lượng tử của electron. Không giống như mô hình trước đó, của Schrodinger, không cần thiết phải áp đặt spin bằng nguyên tắc loại trừ Pauli, vì nó xuất hiện một cách tự nhiên.
Ngoài ra, mô hình Dirac-Jordan kết hợp các hiệu chỉnh tương đối tính, tương tác quỹ đạo spin và thuật ngữ Darwin, giải thích cấu trúc tốt của các mức điện tử của nguyên tử.
Hình 1. Các obitan điện tử trong nguyên tử hydro cho ba mức năng lượng đầu tiên. Nguồn: Wikimedia Commons.
Bắt đầu từ năm 1928, các nhà khoa học Paul AM Dirac (1902-1984) và Pascual Jordan (1902-1980), bắt đầu khái quát cơ học lượng tử do Schrodinger phát triển, để nó bao gồm các hiệu chỉnh thuyết tương đối hẹp của Einstein.
Dirac bắt đầu từ phương trình Schrodinger, bao gồm một toán tử vi phân, được gọi là Hamilton, hoạt động trên một hàm được gọi là hàm sóng điện tử. Tuy nhiên, Schrodinger đã không tính đến các hiệu ứng tương đối tính.
Các nghiệm của hàm sóng cho phép chúng ta tính toán các vùng mà với một mức xác suất nhất định sẽ tìm thấy electron xung quanh hạt nhân. Các vùng hoặc vùng này được gọi là các obitan và phụ thuộc vào các số lượng tử rời rạc nhất định, xác định năng lượng và mômen động lượng của electron.
Định đề
Trong các lý thuyết cơ học lượng tử, dù là tương đối tính hay không, không có khái niệm quỹ đạo, vì cả vị trí và tốc độ của electron đều không thể xác định đồng thời. Hơn nữa, việc chỉ định một trong các biến dẫn đến biến khác hoàn toàn không chính xác.
Về phần mình, Hamilton là một toán tử toán học hoạt động trên hàm sóng lượng tử và được xây dựng từ năng lượng của electron. Ví dụ, một electron tự do có tổng năng lượng E phụ thuộc vào động lượng tuyến tính p của nó như sau:
E = ( p 2 ) / 2m
Để xây dựng Hamilton, chúng ta bắt đầu từ biểu thức này và thay p cho toán tử lượng tử cho động lượng:
p = -i ħ ∂ / ∂ r
Điều quan trọng cần lưu ý là các số hạng p và p là khác nhau, vì số thứ nhất là động lượng và số còn lại là toán tử vi phân liên quan đến động lượng.
Ngoài ra, i là đơn vị ảo và ħ hằng số Planck chia cho 2π, theo cách này, toán tử Hamilton H của electron tự do thu được:
H = (ħ 2 / 2m) ∂ 2 / ∂ r 2
Để tìm hamiltonian của electron trong nguyên tử, hãy cộng tương tác của electron với hạt nhân:
H = (ħ2 / 2m) ∂ 2 / ∂ r 2 - eΦ (r)
Trong biểu thức trước -e là điện tích của electron và Φ (r) thế năng tĩnh điện do hạt nhân trung tâm tạo ra.
Bây giờ, toán tử H tác động lên hàm sóng ψ theo phương trình Schrodinger, được viết như sau:
H ψ = (tôi ħ ∂ / ∂t) ψ
Bốn định đề của Dirac
Định đề đầu tiên : phương trình sóng tương đối tính có cấu trúc giống như phương trình sóng Schrodinger, những gì thay đổi là H:
H ψ = (tôi ħ ∂ / ∂t) ψ
Định đề thứ hai : toán tử Hamilton được xây dựng bắt đầu từ mối quan hệ năng lượng-động lượng của Einstein, được viết như sau:
E = (m 2 c 4 + p 2 c 2 ) 1/2
Trong quan hệ trước, nếu hạt có động lượng p = 0 thì chúng ta có phương trình nổi tiếng E = mc 2 liên hệ năng lượng dừng lại của bất kỳ hạt nào có khối lượng m với tốc độ ánh sáng c.
Định đề thứ ba : để có được toán tử Hamilton, quy tắc lượng tử hóa tương tự được sử dụng trong phương trình Schrodinger được sử dụng:
p = -i ħ ∂ / ∂ r
Lúc đầu, không rõ làm thế nào để xử lý toán tử vi phân này hoạt động trong một căn bậc hai, vì vậy Dirac đã đặt ra để có được một toán tử Hamilton tuyến tính trên toán tử động lượng và từ đó nảy sinh định đề thứ tư của ông.
Định đề thứ tư : để loại bỏ căn bậc hai trong công thức năng lượng tương đối tính, Dirac đề xuất cấu trúc sau cho E 2 :
Tất nhiên, cần phải xác định các hệ số alpha (α0, α1, α2, α3) để điều này là đúng.
Phương trình Dirac
Ở dạng nhỏ gọn, phương trình Dirac được coi là một trong những phương trình toán học đẹp nhất trên thế giới:
Hình 2. Phương trình Dirac ở dạng thu gọn. Nguồn: F. Zapata.
Và đó là lúc rõ ràng rằng hằng số alpha không thể là đại lượng vô hướng. Cách duy nhất mà đẳng thức của định đề thứ tư được thực hiện là chúng là các ma trận 4 × 4 không đổi, được gọi là ma trận Dirac:
Chúng tôi ngay lập tức quan sát thấy rằng hàm sóng không còn là một hàm vô hướng và trở thành một vectơ có bốn thành phần được gọi là spinor:
Nguyên tử Dirac-Jordan
Để có được mô hình nguyên tử, cần phải đi từ phương trình của electron tự do sang phương trình của electron trong trường điện từ do hạt nhân nguyên tử tạo ra. Tương tác này được tính đến bằng cách kết hợp thế vô hướng Φ và thế vectơ A trong Hamilton:
Hàm sóng (spinor) là kết quả của việc kết hợp Hamilton này có các đặc điểm sau:
- Đáp ứng thuyết tương đối hẹp, vì nó tính đến năng lượng nội tại của electron (số hạng đầu tiên của Hamilton tương đối tính)
- Nó có bốn giải pháp tương ứng với bốn thành phần của spinor
- Hai giải pháp đầu tiên tương ứng với một giải pháp quay + ½ và giải pháp còn lại quay - ½
- Cuối cùng, hai giải pháp còn lại dự đoán sự tồn tại của phản vật chất, vì chúng tương ứng với các positron có spin ngược chiều.
Ưu điểm lớn của phương trình Dirac là các hiệu chỉnh đối với phương trình Hamilton H (o) cơ bản của Schrodinger có thể được chia nhỏ thành một số thuật ngữ mà chúng tôi sẽ trình bày dưới đây:
Trong biểu thức trước V là thế vô hướng, vì vectơ thế A bằng 0 nếu proton trung tâm được giả định là đứng yên và do đó nó không xuất hiện.
Lý do là các hiệu chỉnh Dirac đối với các giải pháp Schrodinger trong hàm sóng là tinh vi. Chúng phát sinh từ thực tế là ba số hạng cuối cùng của Hamilton hiệu chỉnh đều được chia cho tốc độ c của bình phương ánh sáng, một con số rất lớn, khiến các số hạng này nhỏ về mặt số học.
Hiệu chỉnh tương đối tính đối với phổ năng lượng
Sử dụng phương trình Dirac-Jordan, chúng tôi tìm thấy các hiệu chỉnh đối với phổ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro. Hiệu chỉnh năng lượng trong nguyên tử có nhiều hơn một điện tử ở dạng gần đúng cũng được tìm thấy thông qua một phương pháp được gọi là lý thuyết nhiễu loạn.
Tương tự, mô hình Dirac cho phép chúng ta tìm ra hiệu chỉnh cấu trúc tốt trong các mức năng lượng hydro.
Tuy nhiên, những hiệu chỉnh thậm chí còn tinh vi hơn như cấu trúc siêu mịn và sự dịch chuyển Lamb thu được từ các mô hình tiên tiến hơn như lý thuyết trường lượng tử, được sinh ra chính xác từ những đóng góp của mô hình Dirac.
Hình dưới đây cho thấy các hiệu chỉnh tương đối tính của Dirac đối với các mức năng lượng trông như thế nào:
Hình 3. Các hiệu chỉnh của mô hình Dirac đối với các mức của nguyên tử hydro. Nguồn: Wikimedia Commons.
Ví dụ, các nghiệm của phương trình Dirac dự đoán chính xác sự thay đổi quan sát được ở mức 2s. Đây là hiệu chỉnh cấu trúc mịn nổi tiếng trong vạch Lyman-alpha của quang phổ hydro (xem hình 3).
Nhân tiện, cấu trúc tốt là tên được đặt trong vật lý nguyên tử để chỉ sự nhân đôi của các vạch phổ phát xạ của nguyên tử, là hệ quả trực tiếp của spin điện tử.
Hình 4. Sự phân tách cấu trúc mịn cho trạng thái cơ bản n = 1 và trạng thái kích thích thứ nhất n = 2 trong nguyên tử hydro. Nguồn: R Wirnata. Hiệu chỉnh tương đối tính đối với các nguyên tử giống hydro. Researchgate.net
Các bài báo quan tâm
Mô hình nguyên tử De Broglie.
Mô hình nguyên tử của Chadwick.
Mô hình nguyên tử Heisenberg.
Mô hình nguyên tử của Perrin.
Mô hình nguyên tử của Thomson.
Mô hình nguyên tử của Dalton.
Mô hình nguyên tử của Schrödinger.
Mô hình nguyên tử của Democritus.
Mô hình nguyên tử của Bohr.
Người giới thiệu
- Thuyết nguyên tử. Khôi phục từ wikipedia.org.
- Moment từ trường electron. Khôi phục từ wikipedia.org.
- Quanta: Sổ tay các khái niệm. (1974). Nhà xuất bản Đại học Oxford. Khôi phục từ Wikipedia.org.
- Mô hình nguyên tử Dirac Jordan. Được khôi phục từ prezi.com.
- Vũ trụ lượng tử mới. Nhà xuất bản Đại học Cambridge. Khôi phục từ Wikipedia.org.