MÔMEN QUÁN TÍNH: CÔNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH VÀ VÍ DỤ TÍNH TOÁN - VẬT LÝ - 2026

Các men quán tính của một vật rắn đối với một trục nhất định quay với đại diện kháng của nó để thay đổi vận tốc góc của nó xung quanh cho biết trục. Nó tỷ lệ thuận với khối lượng và cả vị trí của trục quay, vì cơ thể, tùy thuộc vào hình dạng của nó, có thể quay quanh một số trục dễ dàng hơn các trục khác.

Giả sử một vật thể lớn (gồm nhiều hạt) có thể quay quanh một trục. Giả sử rằng một lực F tác dụng theo phương tiếp tuyến lên phần tử có khối lượng Δm _i , tạo ra mômen hoặc mômen, cho bởi τ _net = ∑ r _i x F _i . Vectơ r _i là vị trí của Δm _i (xem hình 2).

Hình 1. Mômen quán tính của các hình khác nhau. Nguồn: Wikimedia Commons.

Mômen này vuông góc với mặt phẳng quay (chiều + k = rời tờ giấy). Vì vectơ hợp lực và vectơ vị trí hướng tâm luôn vuông góc nên tích chéo là:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Hình 2. Một hạt thuộc chất rắn cứng chuyển động quay. Nguồn: Serway, R. 2018. Vật lý cho Khoa học và Kỹ thuật. Tập 1. Học Cengage.

Gia tốc a _i đại diện cho thành phần tiếp tuyến của gia tốc, vì gia tốc hướng tâm không đóng góp vào mômen quay. Theo một hàm của gia tốc góc α, chúng ta có thể chỉ ra rằng:

Do đó mô men xoắn thực có dạng như sau:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Gia tốc góc α là như nhau đối với toàn bộ vật thể, do đó nó không bị ảnh hưởng bởi chỉ số phụ “i” và có thể rời khỏi tổng, chính xác là mômen quán tính của vật thể được ký hiệu bằng chữ I:

Đây là mômen quán tính của phân bố khối lượng rời rạc. Khi phân phối là liên tục, tổng được thay thế bằng một tích phân và Δm trở thành một vi phân khối lượng dm. Tích phân được thực hiện trên toàn bộ đối tượng:

Đơn vị của mômen quán tính trong Hệ SI là kg xm ² . Nó là một đại lượng vô hướng và dương, vì nó là tích của khối lượng và bình phương của khoảng cách.

Ví dụ tính toán

Một vật thể kéo dài, chẳng hạn như thanh, đĩa, hình cầu hoặc vật khác, có mật độ ρ là không đổi và biết rằng mật độ là tỷ số khối lượng-thể tích, thì vi phân khối lượng dm được viết là:

Thay vào tích phân cho mômen quán tính, ta có:

Đây là một biểu thức tổng quát, hợp lệ cho một vật thể ba chiều, có thể tích V và vị trí r là các hàm của tọa độ không gian x, y và z. Lưu ý rằng không đổi, mật độ nằm ngoài tích phân.

Mật độ ρ còn được gọi là mật độ khối, nhưng nếu vật thể rất phẳng, như một tấm hoặc rất mỏng và hẹp như một thanh, các dạng mật độ khác có thể được sử dụng, hãy xem:

- Đối với một tấm rất mỏng, mật độ sử dụng là σ, mật độ bề mặt (khối lượng trên một đơn vị diện tích) và dA là vi phân diện tích.

- Và nếu nó là một thanh mỏng, trong đó chỉ có chiều dài liên quan, thì mật độ khối lượng tuyến tính λ và vi sai độ dài được sử dụng, theo trục được sử dụng làm tham chiếu.

Trong các ví dụ tiếp theo, tất cả các vật thể được coi là cứng (không thể biến dạng) và có mật độ đồng nhất.

Mômen quán tính của một thanh mỏng đối với trục đi qua tâm của nó

Ở đây chúng ta sẽ tính mômen quán tính của một thanh mỏng, cứng, đồng chất, có chiều dài L và khối lượng M đối với một trục đi qua môi trường.

Đầu tiên, cần thiết lập một hệ tọa độ và xây dựng một hình với dạng hình học thích hợp, như sau:

Hình 3. Hình học để tính mômen quán tính của một thanh mỏng đối với trục thẳng đứng đi qua tâm của nó. Nguồn: F. Zapata.

Trục x dọc theo thanh và trục y được chọn làm trục quay. Quy trình thiết lập tích phân cũng yêu cầu chọn một vi phân khối lượng trên thanh, gọi là dm, có độ dài vi phân dx và nằm ở vị trí x tùy ý, đối với tâm x = 0.

Theo định nghĩa của mật độ khối lượng tuyến tính λ:

Vì mật độ là đều, có giá trị đối với M và L, nên nó cũng có giá trị đối với dm và dx:

Mặt khác, phần tử khối lượng ở vị trí x nên bằng cách thay hình học này vào định nghĩa, ta có một tích phân xác định, có giới hạn là các đầu của thanh theo hệ tọa độ:

Thay thế mật độ tuyến tính λ = M / L:

Để tìm mômen quán tính của thanh đối với một trục quay khác, ví dụ trục quay đi qua một trong các điểm cực trị của nó, bạn có thể sử dụng định lý Steiner (xem bài tập đã giải ở cuối) hoặc thực hiện một phép tính trực tiếp tương tự như hình minh họa ở đây, nhưng sửa đổi hình học một cách thích hợp.

Mômen quán tính của đĩa đối với trục đi qua tâm của nó

Một đĩa rất mỏng có bề dày không đáng kể là một hình phẳng. Nếu khối lượng được phân bố đều trên toàn bộ bề mặt của khu vực A thì khối lượng riêng σ là:

Cả dm và dA tương ứng với khối lượng và diện tích của vòng vi phân được thể hiện trong hình. Chúng ta sẽ giả sử rằng toàn bộ tổ hợp quay quanh trục y.

Bạn có thể tưởng tượng rằng đĩa được cấu tạo bởi nhiều vòng đồng tâm bán kính r, mỗi vòng có momen quán tính tương ứng. Cộng tất cả các vòng cho đến khi đạt bán kính R, ta sẽ có momen quán tính toàn phần của đĩa.

Hình 4. Hình học tính mômen quán tính của đĩa đối với trục quay. Nguồn: F. Zapata.

Trong đó M đại diện cho toàn bộ khối lượng của đĩa. Diện tích của một cái đĩa phụ thuộc vào bán kính r của nó như sau:

Bắt nguồn từ r:

Thay thế ở trên trong định nghĩa của I:

Thay σ = M / (π.R ² ) ta được:

Mômen quán tính của một quả cầu rắn có đường kính

Hình cầu bán kính R có thể được coi là một dãy đĩa xếp chồng lên nhau, trong đó mỗi đĩa có khối lượng vô cùng nhỏ dm, bán kính r và độ dày dz, có momen quán tính cho bởi:

Để tìm vi phân này, chúng ta chỉ cần lấy công thức từ phần trước và thay M và R tương ứng cho dm và r. Một đĩa như thế này có thể được nhìn thấy trong hình 5.

Hình 5. Hình học tính mômen quán tính của một quả cầu đặc bán kính R đối với trục đi qua một đường kính. Nguồn: F. Zapata.

Bằng cách cộng tất cả các mômen quán tính vô cùng nhỏ của các đĩa xếp chồng lên nhau, tổng mômen quán tính của quả cầu thu được:

Tương đương với:

Để giải tích phân, bạn cần phải biểu diễn dm một cách thích hợp. Như mọi khi, nó đạt được từ mật độ:

Khối lượng của một đĩa vi sai là:

Chiều cao của đĩa là độ dày dz, trong khi diện tích của đáy là πr ² , do đó:

Và thay thế trong tích phân được đề xuất nó sẽ giống như sau:

Nhưng trước khi tích phân, chúng ta phải quan sát rằng r – bán kính của đĩa- phụ thuộc vào z và R – bán kính của hình cầu-, như có thể thấy trong hình 5. Sử dụng định lý Pitago:

Dẫn chúng ta đến:

Để tích hợp trên toàn bộ hình cầu, chúng tôi lưu ý rằng z thay đổi giữa –R và R, do đó:

Biết rằng ρ = M / V = ​​M / cuối cùng thu được, sau khi đơn giản hóa:

Mômen quán tính của một hình trụ đặc đối với trục quay

Đối với vật thể này, một phương pháp tương tự như đối với hình cầu được sử dụng, chỉ lần này sẽ dễ dàng hơn nếu hình trụ được hình thành bởi các vỏ hình trụ có bán kính r, chiều dày dr và chiều cao H, như thể chúng là các lớp của một củ hành. .

Hình 6. Hình học tính mômen quán tính của hình trụ đặc bán kính R đối với trục quay. Nguồn: Serway, R. 2018. Vật lý cho Khoa học và Kỹ thuật. Tập 1. Cengage.

Thể tích dV của lớp hình trụ là:

Do đó khối lượng vỏ là:

Biểu thức này được thay thế trong định nghĩa của mômen quán tính:

Phương trình trên chỉ ra rằng momen quán tính của hình trụ không phụ thuộc vào chiều dài mà chỉ phụ thuộc vào khối lượng và bán kính của nó. Nếu L thay đổi, mômen quán tính đối với trục quay sẽ không đổi. Vì lý do này, I của hình trụ trùng với I của đĩa mỏng đã được tính toán trước đó.

Mômen quán tính của một tấm hình chữ nhật đối với trục đi qua tâm của nó

Trục y nằm ngang đã được chọn làm trục quay. Hình dưới đây cho thấy hình học cần thiết để thực hiện tích hợp:

Hình 7. Hình học để tính mômen quán tính của một tấm hình chữ nhật đối với trục song song với tấm và đi qua tâm của nó. Nguồn: F. Zapata.

Phần tử diện tích được đánh dấu màu đỏ là hình chữ nhật. Diện tích của nó là cơ sở x chiều cao, do đó:

Do đó sự khác biệt về khối lượng là:

Còn khoảng cách từ phần tử diện tích đến trục quay luôn là z. Chúng tôi thay thế tất cả điều này trong tích phân của mômen quán tính:

Bây giờ mật độ khối lượng bề mặt σ được thay thế bằng:

Và nó chắc chắn trông như thế này:

Lưu ý rằng nó giống như thanh mỏng.

Mômen quán tính của một tấm hình vuông đối với trục đi qua tâm của nó

Đối với một hình vuông có cạnh L, trong biểu thức trước đó hợp lệ cho một hình chữ nhật, chỉ cần thay giá trị của b cho giá trị của L:

Định lý Moment of Inertia

Có hai định lý đặc biệt hữu ích để đơn giản hóa việc tính toán mômen quán tính đối với các trục khác, nếu không thì có thể khó tìm ra do thiếu đối xứng. Các định lý này là:

Định lý Steiner

Còn được gọi là định lý trục song song, nó liên hệ mômen quán tính đối với một trục với một trục khác đi qua khối tâm của vật, miễn là các trục song song. Để áp dụng, cần biết khoảng cách D giữa hai trục và tất nhiên là khối lượng M của vật.

Gọi I _{z là} mômen quán tính của một vật đối với trục z, I _CM là mômen quán tính đối với trục đi qua khối tâm (CM) của vật đó thì thỏa mãn rằng:

Hoặc trong ký hiệu của hình sau: I _{z '} = I _z + Md ²

Hình 8. Định lý Steiner hoặc các trục song song. Nguồn: Wikimedia Commons. Jack See

Định lý trục vuông góc

Định lý này được áp dụng cho các mặt phẳng và diễn ra như sau: mômen quán tính của một vật phẳng quay quanh trục vuông góc với nó là tổng các mômen quán tính quanh hai trục vuông góc với trục thứ nhất:

Hình 9. Định lý các trục vuông góc. Nguồn: F. Zapata.

Nếu đối tượng có phép đối xứng sao cho I _x và I _y bằng nhau thì đúng là:

Bài tập đã giải quyết

Tìm mômen quán tính của thanh đối với một trục đi qua một trong các đầu của nó, như hình 1 (bên dưới và bên phải) và hình 10.

Hình 10. Mômen quán tính của một thanh đồng chất quanh một trục đi qua một đầu. Nguồn: F. Zapata.

Giải pháp:

Ta đã có mômen quán tính của thanh quanh trục đi qua tâm hình học của nó. Vì thanh đồng chất, khối tâm của nó tại điểm đó, vì vậy đây sẽ là I _CM của chúng ta để áp dụng định lý Steiner.

Nếu chiều dài của thanh là L thì trục z cách trục một khoảng D = L / 2, do đó:

Người giới thiệu

1. Bauer, W. 2011. Vật lý cho Kỹ thuật và Khoa học. Tập 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Cơ bản của Vật lý. Lề. 190-200.
3. Định lý trục song song. Được khôi phục từ: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Vật lý cho Khoa học và Kỹ thuật. Tập 1. Cengage.
5. Đại học Sevilla. Mômen quán tính của chất rắn hình cầu. Được khôi phục từ: laplace.us.es.
6. Đại học Sevilla. Mômen quán tính của hệ hạt. Được khôi phục từ: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Định lý trục song song. Khôi phục từ: en.wikipedia.org