SỐ NGUYÊN: THUỘC TÍNH, VÍ DỤ, BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2026

Các số nguyên là một tập hợp các số hữu ích để đếm các đối tượng có đầy đủ và không. Cũng để đếm những người ở bên này và bên kia của một nơi quy chiếu nhất định.

Ngoài ra với các số nguyên, bạn có thể thực hiện phép trừ hoặc chênh lệch giữa một số và một số khác lớn hơn nó, ví dụ như kết quả được giải quyết như một khoản nợ. Sự phân biệt giữa thu nhập và nợ được thực hiện bằng các dấu + và - tương ứng.

Hình 1. Dãy số cho các số nguyên. Nguồn: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Do đó, tập hợp các số nguyên bao gồm:

- Các số nguyên dương, được viết trước dấu + hoặc đơn giản là không có dấu, vì người ta cũng hiểu rằng chúng là số dương. Ví dụ: +1, +2, + 3…, v.v.

- 0, trong đó dấu không liên quan, vì nó không quan trọng thêm nó để trừ nó với một số lượng. Nhưng số 0 rất quan trọng, vì nó là tham chiếu cho các số nguyên: một bên là số dương và bên kia là số âm, như chúng ta thấy trong hình 1.

- Các số nguyên âm, luôn phải được viết trước dấu -, vì cùng với chúng, các số tiền như nợ và tất cả những số ở phía bên kia của tham chiếu được phân biệt. Ví dụ về số nguyên âm là: -1, -2, -3… và sau đó.

Số nguyên được biểu diễn như thế nào?

Ở phần đầu, chúng ta biểu diễn các số nguyên với ký hiệu đã đặt: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, nghĩa là, danh sách và có tổ chức. Nhưng một biểu diễn rất hữu ích là biểu diễn được sử dụng bởi dãy số. Điều này yêu cầu vẽ một đường, thường là nằm ngang, trên đó số 0 được đánh dấu và chia thành các phần giống nhau:

Hình 2. Biểu diễn các số nguyên trên trục số. Từ 0 sang phải là các số nguyên dương và từ 0 sang trái là các số âm. Nguồn: F. Zapata.

Âm tính ở bên trái 0 và dương tính ở bên phải. Các mũi tên trên trục số tượng trưng rằng các số tiếp tục đến vô cùng. Với bất kỳ số nguyên nào, luôn có thể tìm được số nguyên lớn hơn hoặc số nguyên khác nhỏ hơn.

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên là khoảng cách giữa số đó và 0. Và khoảng cách luôn là số dương. Do đó giá trị tuyệt đối của số nguyên âm là số không có dấu trừ của nó.

Ví dụ: giá trị tuyệt đối của -5 là 5. Giá trị tuyệt đối được biểu thị bằng các thanh, như sau:

--5- = 5

Để hình dung nó, chỉ cần đếm các khoảng trắng trên dòng số, từ -5 đến 0. Trong khi giá trị tuyệt đối của một số nguyên dương là cùng một số, ví dụ - + 3- = 3, vì khoảng cách của nó từ 0 là với 3 dấu cách:

Hình 3. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên luôn là một đại lượng dương. Nguồn: F. Zapata.

Tính chất

-Tập hợp các số nguyên được ký hiệu là Z và bao gồm tập hợp các số tự nhiên N, phần tử của chúng là vô hạn.

- Một số nguyên và số đứng sau (hoặc số đứng trước nó) luôn được phân biệt thống nhất. Ví dụ, sau 5 đến 6, với 1 là hiệu số giữa chúng.

-Mỗi số nguyên đều có phần trước và phần sau.

- Mọi số nguyên dương lớn hơn 0.

- Một số nguyên âm luôn nhỏ hơn 0 và một số dương bất kỳ. Lấy ví dụ số -100, đây là số nhỏ hơn 2, nhỏ hơn 10 và nhỏ hơn 50. Nhưng nó cũng nhỏ hơn -10, -20 và -99 và nó lớn hơn -200.

- Số 0 không có xét dấu, vì nó không âm cũng không dương.

-Với các số nguyên, bạn có thể thực hiện các phép tính tương tự như với các số tự nhiên, cụ thể là: cộng, trừ, nhân, chia và nhiều phép tính khác.

- Số nguyên đối diện với một số nguyên x nào đó, là –x và tổng của một số nguyên đối với nó là 0:

x + (-x) = 0.

Các phép toán với số nguyên

- Tổng

-Nếu các số cần cộng có cùng dấu thì giá trị tuyệt đối của chúng được cộng và kết quả được đặt cùng dấu với các số phụ có. Dưới đây là một số ví dụ:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Nếu các số có dấu khác nhau thì các giá trị tuyệt đối bị trừ đi (giá trị cao nhất từ ​​số thấp nhất) và kết quả được đặt bằng dấu của số có giá trị tuyệt đối cao nhất, như sau:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Tính chất của tổng các số nguyên

-Tổng là giao hoán, do đó thứ tự của các phụ tố không làm thay đổi tổng. Cho a và b là hai số nguyên, đúng a + b = b + a

- 0 là phần tử trung hòa của tổng các số nguyên: a + 0 = a

- Bất kỳ số nguyên nào được thêm vào đối của nó là 0. Đối của + a là –a, và ngược lại, đối của –a là + a. Do đó: (+ a) + (-a) = 0.

Hình 2. Quy tắc dấu hiệu cho phép cộng các số nguyên. Nguồn: Wikimedia Commons.

- Phép trừ

Để trừ các số nguyên, người ta phải được hướng dẫn bởi quy tắc này: phép trừ tương đương với phép cộng một số với số đối của nó. Cho a và b là hai số, sau đó:

a - b = a + (-b)

Ví dụ: giả sử bạn cần thực hiện thao tác sau: (-3) - (+7), sau đó:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Phép nhân

Phép nhân các số nguyên tuân theo các quy tắc nhất định đối với các dấu hiệu:

-Tích của hai số cùng dấu luôn dương.

-Khi nhân hai số có dấu khác nhau thì kết quả luôn âm.

-Giá trị của tích bằng nhân các giá trị tuyệt đối tương ứng.

Ngay lập tức một số ví dụ làm rõ điều trên:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Tính chất của phép nhân các số nguyên

-Phép nhân có tính chất giao hoán. Cho a và b là hai số nguyên, đúng là: ab = ba, cũng có thể được biểu thị bằng:

- Phần tử trung hòa của phép nhân là 1. Cho a là số nguyên, do đó a.1 = 1

- Mọi số nguyên nhân với 0 đều bằng 0: a.0 = 0

Thuộc tính phân phối

Phép nhân tuân theo thuộc tính phân phối đối với phép cộng. Nếu a, b và c là các số nguyên thì:

a. (b + c) = ab + ac

Dưới đây là một ví dụ về cách áp dụng thuộc tính này:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Trao quyền

-Nếu căn cứ dương thì kết quả của phép toán luôn dương.

-Khi cơ số là âm, nếu số mũ chẵn thì kết quả là dương. và nếu số mũ là số lẻ, kết quả là âm.

- Bộ phận

Các quy tắc dấu tương tự áp dụng trong phép chia như trong phép nhân:

-Khi chia hai số nguyên cùng dấu thì kết quả luôn là số dương.

-Khi chia hai số nguyên khác dấu thì thương là số âm.

Ví dụ:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Quan trọng : phép chia không có tính chất giao hoán, hay nói cách khác là a ÷ b ≠ b ÷ a và như mọi khi, phép chia cho 0 không được phép.

- Trao quyền

Cho một số nguyên và chúng ta muốn nâng nó lên thành số mũ n, thì chúng ta phải nhân a với chính nó n lần, như hình dưới đây:

a ⁿ = aaaa… .. .a

Cũng xem xét các điều sau đây, lưu ý rằng n là một số tự nhiên:

-Nếu a âm và n chẵn thì kết quả là dương.

-Khi a âm và n lẻ thì kết quả là số âm.

-Nếu a dương và n chẵn hoặc lẻ thì luôn cho kết quả là số nguyên dương.

- Mọi số nguyên nâng lên 0 đều bằng 1: a ⁰ = 1

-Số nào nâng lên 1 thì bằng số đó: a ¹ = a

Ví dụ, chúng ta muốn tìm (–3) ⁴ , để làm như vậy chúng ta nhân (-3) với chính nó bốn lần, như sau: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Một ví dụ khác, cũng với số nguyên âm là:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Tích lũy thừa của cơ số bằng nhau

Giả sử hai lũy thừa của cơ số bằng nhau, nếu chúng ta nhân chúng lên, chúng ta thu được một lũy thừa khác có cùng cơ số, có số mũ là tổng của các số mũ đã cho:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Thương số lũy thừa cơ số bằng nhau

Khi chia các lũy thừa có cùng cơ số, kết quả là một lũy thừa có cùng cơ số, có số mũ là phép trừ các số mũ đã cho:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Dưới đây là hai ví dụ làm rõ những điểm này:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Ví dụ

Hãy xem các ví dụ đơn giản để áp dụng các quy tắc này, hãy nhớ rằng trong trường hợp là số nguyên dương, dấu có thể được phân bổ bằng:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Bài tập đã giải

- Bài tập 1

Một con kiến ​​di chuyển dọc theo trục số trong hình 1. Bắt đầu từ điểm x = +3, nó thực hiện các chuyển động sau:

- Di chuyển 7 đơn vị sang phải

-Bây giờ bạn trả lại 5 đơn vị cho bên trái

-Đi bên trái thêm 3 đơn vị.

-Ông đi lùi và chuyển sang phải 4 đơn vị.

Con kiến ​​kết thúc chuyến tham quan ở điểm nào?

Giải pháp

Gọi các phép dời hình là D. Khi họ ở bên phải, họ được cho là một dấu hiệu tích cực và khi họ ở bên trái là một dấu hiệu tiêu cực. Theo cách này, và bắt đầu từ x = +3, chúng ta có:

- D đầu tiên: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Thứ hai D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Thứ ba D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Phòng D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Khi con kiến ​​kết thúc chuyến đi của mình, nó đang ở vị trí x = +6. Nghĩa là, nó là 6 đơn vị ở bên phải của 0 trên trục số.

- Bài tập 2

Giải các phép toán sau:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Giải pháp

Thao tác này chứa các dấu hiệu nhóm, đó là dấu ngoặc đơn, dấu ngoặc vuông và dấu ngoặc nhọn. Khi giải, bạn phải quan tâm đến dấu ngoặc trước, sau đó đến dấu ngoặc và cuối cùng là dấu ngoặc. Nói cách khác, bạn phải làm việc từ trong ra ngoài.

Trong bài tập này, điểm biểu thị một phép nhân, nhưng nếu không có điểm nào giữa một số và dấu ngoặc đơn hoặc một ký hiệu khác, thì nó cũng được hiểu là một tích.

Dưới độ phân giải từng bước, màu sắc đóng vai trò như một hướng dẫn để thực hiện theo kết quả của việc giảm dấu ngoặc đơn, là các ký hiệu phân nhóm trong cùng:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Bài tập 3

Giải phương trình bậc nhất:

12 + x = 30 + 3x

Giải pháp

Các thuật ngữ được nhóm với ẩn số ở bên trái của đẳng thức và các số hạng ở bên phải:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Người giới thiệu

1. Carena, M. 2019. Cẩm nang Toán học Dự bị Đại học. Đại học Quốc gia Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Toán học lớp 7. Ấn bản CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Tuyển chọn các chủ đề Toán học. Ấn phẩm Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Đại số. Sảnh Prentice.
5. Toàn bộ số. Được khôi phục từ: Cimanet.uoc.edu.