SỐ TƯỞNG TƯỢNG: THUỘC TÍNH, ỨNG DỤNG, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2025

Các số ảo là những số giải phương trình trong đó ẩn số, được nâng lên thành bình phương bằng một số thực âm. Đơn vị ảo là i = √ (-1).

Trong phương trình: z ² = - a, z là một số ảo được biểu diễn như sau:

z = √ (-a) = i√ (a)

Là một số thực dương. Nếu a = 1, thì z = i, với i là đơn vị ảo.

Hình 1. Mặt phẳng phức thể hiện một số số thực, một số số ảo và một số số phức. Nguồn: F. Zapata.

Nói chung, một số ảo thuần túy z luôn được biểu diễn dưới dạng:

z = y⋅i

Trong đó y là số thực và i là đơn vị ảo.

Giống như số thực được biểu diễn trên một đường, được gọi là đường thực, theo một cách tương tự, các số ảo được biểu diễn trên đường tưởng tượng.

Đường thẳng ảo luôn trực giao (hình 90º) với đường thẳng thực và hai đường thẳng xác định một mặt phẳng Descartes được gọi là mặt phẳng phức.

Trong hình 1, mặt phẳng phức được thể hiện và trên đó là một số số thực, một số số ảo và một số số phức được biểu diễn:

X ₁ , X ₂ , X ₃ là các số thực

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ là các số ảo

Z ₂ và Z ₃ là các số phức

Số O là số 0 thực và nó cũng là số 0 ảo, vì vậy gốc tọa độ O là số 0 phức được biểu thị bằng:

0 + 0i

Tính chất

Tập hợp các số ảo được ký hiệu là:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

Và bạn có thể xác định một số phép toán trên tập hợp số này. Một số ảo không phải lúc nào cũng thu được từ các phép toán này, vì vậy hãy xem xét chúng chi tiết hơn một chút:

Cộng và trừ ảo

Các số tưởng tượng có thể được cộng và trừ lẫn nhau, tạo ra một số tưởng tượng mới. Ví dụ:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Sản phẩm của tưởng tượng

Khi kết quả của một số tưởng tượng này với một số khác, kết quả là một số thực. Hãy thực hiện thao tác sau để kiểm tra:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Và như chúng ta có thể thấy, -6 là một số thực, mặc dù nó được lấy bằng cách nhân hai số thuần túy tưởng tượng.

Tích của một số thực bởi một số ảo khác

Nếu một số thực được nhân với i, kết quả sẽ là một số ảo, tương ứng với chuyển động quay ngược chiều kim đồng hồ 90 độ.

Và đó là i ² tương ứng với hai phép quay liên tiếp 90 độ, tương đương với phép nhân với -1, tức là i ² = -1. Nó có thể được nhìn thấy trong sơ đồ sau:

Hình 2. Phép nhân với đơn vị ảo i tương ứng với 90º quay ngược chiều kim đồng hồ. Nguồn: wikimedia commons.

Ví dụ:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Trao quyền cho một tưởng tượng

Bạn có thể xác định chiết áp của một số ảo thành một số mũ nguyên:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Nói chung ta có i ⁿ = i ^ (n mod 4), trong đó mod là phần còn lại của phép chia giữa n và 4.

Chiết áp số nguyên âm cũng có thể được thực hiện:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Nói chung, số ảo b⋅i được nâng lên lũy thừa n là:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Một số ví dụ như sau:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Tổng của một số thực và một số ảo

Khi bạn thêm một số thực với một số ảo, kết quả không thực cũng không phải ảo, nó là một loại số mới được gọi là số phức.

Ví dụ: nếu X = 3,5 và Y = 3,75i, thì kết quả là số phức:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Lưu ý rằng trong tổng phần thực và phần ảo không thể được nhóm lại với nhau, vì vậy một số phức sẽ luôn có một phần thực và một phần ảo.

Phép toán này mở rộng tập hợp các số thực đến rộng nhất các số phức.

Các ứng dụng

Tên của các con số tưởng tượng được đề xuất bởi nhà toán học người Pháp René Descartes (1596-1650) như một sự chế nhạo hoặc không đồng ý với đề xuất tương tự của nhà toán học Ý của thế kỷ Raffaelle Bombelli.

Các nhà toán học vĩ đại khác, chẳng hạn như Euler và Leibniz, ủng hộ Descartes trong sự bất đồng này và gọi các số ảo là số lưỡng cư, vốn bị giằng xé giữa hiện hữu và hư vô.

Tên gọi của các con số tưởng tượng vẫn còn cho đến ngày nay, nhưng sự tồn tại và tầm quan trọng của chúng là rất thực và có thể sờ thấy được, vì chúng xuất hiện tự nhiên trong nhiều lĩnh vực vật lý như:

-Thuyết tương đối.

-Trong điện từ học.

-Cơ lượng tử.

Bài tập với số tưởng tượng

- Bài tập 1

Tìm các nghiệm của phương trình sau:

z ² + 16 = 0

Giải pháp

z ² = -16

Lấy căn bậc hai trong cả hai thành viên, chúng tôi có:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Nói cách khác, các nghiệm của phương trình ban đầu là:

z = + 4i oz = -4i.

- Bài tập 2

Tìm kết quả của phép nâng đơn vị ảo lên lũy thừa 5 trừ đi phép trừ đơn vị ảo được nâng lên lũy thừa -5.

Giải pháp

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Bài tập 3

Tìm kết quả của phép toán sau:

(3i) ³ + 9i

Giải pháp

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Bài tập 4

Tìm nghiệm của phương trình bậc hai sau:

(-2x) ² + 2 = 0

Giải pháp

Phương trình được sắp xếp lại như sau:

(-2x) ² = -2

Sau đó, căn bậc hai của cả hai thành viên được lấy

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Sau đó, chúng tôi giải quyết cho x để cuối cùng thu được:

x = ± √2 / 2 tôi

Đó là, có hai giải pháp khả thi:

x = (√2 / 2) tôi

Hoặc cái này khác:

x = - (√2 / 2) tôi

- Bài tập 5

Tìm giá trị của Z được xác định bởi:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Giải pháp

Chúng ta biết rằng căn bậc hai của một số thực âm là một số ảo, ví dụ √ (-9) bằng √ (9) x √ (-1) = 3i.

Mặt khác, √ (-4) bằng √ (4) x √ (-1) = 2i.

Vì vậy, phương trình ban đầu có thể được thay thế bằng:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Bài tập 6

Tìm giá trị của Z tạo thành từ phép chia hai số phức sau:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Giải pháp

Tử số của biểu thức có thể được tính theo thuộc tính sau:

Vì thế:

Z = / (3 + i)

Biểu thức kết quả được đơn giản hóa bên dưới, để lại

Z = (3 - i)

Người giới thiệu

1. Earl, R. Số phức. Đã khôi phục từ: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Toán học 1. Đa dạng. Ấn bản CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Tuyển chọn các chủ đề Toán học. Ấn phẩm Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Đại số. Sảnh Prentice.
5. Wikipedia. Số tưởng tượng. Khôi phục từ: en.wikipedia.org