SỐ VÔ TỈ: LỊCH SỬ, THUỘC TÍNH, PHÂN LOẠI, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Số vô tỷ là số mà biểu thức của nó có vô số thập phân không có mẫu lặp lại, do đó, không thể nhận được từ tỷ số giữa hai số nguyên bất kỳ.

Trong số các số vô tỉ được biết đến nhiều nhất là:

Hình 1. Từ trên xuống dưới các số vô tỉ sau: số pi, số Euler, tỉ lệ vàng và hai căn bậc hai. Nguồn: Pixabay.

Trong số đó, không nghi ngờ gì nữa, π (pi) là quen thuộc nhất, nhưng còn nhiều nữa. Tất cả chúng đều thuộc tập hợp số thực, là tập hợp số nhóm các số hữu tỉ và vô tỉ lại với nhau.

Dấu chấm lửng trong hình 1 chỉ ra rằng các số thập phân tiếp tục vô thời hạn, điều xảy ra là không gian của máy tính thông thường chỉ cho phép một số được hiển thị.

Nếu chúng ta xem xét cẩn thận, bất cứ khi nào chúng ta tạo thương số giữa hai số nguyên, chúng ta sẽ nhận được một số thập phân có giới hạn số liệu hoặc nếu không, với vô số số liệu trong đó một hoặc nhiều số được lặp lại. Chà, điều này không xảy ra với số vô tỉ.

Lịch sử của số vô tỉ

Nhà toán học cổ đại vĩ đại Pythagoras, sinh năm 582 trước Công nguyên tại Samos, Hy Lạp, đã thành lập trường phái tư tưởng Pythagore và khám phá ra định lý nổi tiếng mang tên ông. Chúng tôi có nó ở đây bên trái (người Babylon có thể đã biết nó từ lâu).

Hình 2. Định lý Pitago áp dụng cho tam giác có các cạnh bằng 1. Nguồn: Pixabay / Wikimedia Commons.

Vâng, khi Pythagoras (hoặc có thể là một đệ tử của ông ta) áp dụng định lý cho một tam giác vuông có các cạnh bằng 1, ông ta tìm thấy số vô tỉ √2.

Anh ấy đã làm theo cách này:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Và anh ta ngay lập tức nhận ra rằng số mới này không đến từ thương giữa hai số tự nhiên khác, là những số được biết đến vào thời điểm đó.

Do đó, ông gọi nó là phi lý, và khám phá này đã gây ra sự lo lắng và hoang mang lớn cho những người theo thuyết Pitago.

Tính chất của số vô tỉ

-Các bộ của tất cả các số vô tỉ được ký hiệu bằng chữ I và đôi khi là Q * hoặc Q ^C . Sự kết hợp giữa các số vô tỉ I hoặc Q * và các số hữu tỉ Q, tạo ra tập các số thực R.

-Với số vô tỉ, các phép tính số học đã biết có thể thực hiện được: cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và hơn thế nữa.

-Sự chia cho 0 cũng không được xác định giữa các số vô tỉ.

-Tổng và tích giữa các số vô tỉ không nhất thiết là một số vô tỉ khác. Ví dụ:

√2 x √8 = √16 = 4

Và 4 không phải là một số vô tỉ.

-Tuy nhiên, tổng của một số hữu tỉ cộng với một số vô tỉ không cho kết quả vô tỉ. Theo cách này:

1 + √2 = 2.41421356237…

-Tích của một số hữu tỉ khác 0 bởi một số vô tỉ cũng là một số vô tỉ. Hãy xem ví dụ này:

2 x √2 = 2,828427125…

- Nghịch đảo của một số vô tỉ dẫn đến một số vô tỉ khác. Hãy thử một số:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Những con số này rất thú vị vì chúng cũng là giá trị của một số tỉ số lượng giác của các góc đã biết. Hầu hết các tỷ số lượng giác là số vô tỉ, nhưng vẫn có những ngoại lệ, chẳng hạn như sin 30º = 0,5 = ½, là số hữu tỉ.

-Trong tổng các tính chất giao hoán và kết hợp được thực hiện. Nếu a và b là hai số vô tỉ, điều này có nghĩa là:

a + b = b + a.

Và nếu c là một số vô tỉ khác, thì:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng là một tính chất nổi tiếng khác cũng đúng với số vô tỉ. Trong trường hợp này:

a. (b + c) = ab + ac

-An vô tỉ a có cái ngược lại của nó: -a. Khi chúng được cộng với nhau, kết quả là 0:

a + (- a) = 0

-Giữa hai số hữu tỉ khác nhau có ít nhất một số vô tỉ.

Vị trí của một số vô tỉ trên dòng thực

Đường thực là đường nằm ngang nơi chứa các số thực, trong đó số vô tỉ là một phần quan trọng.

Để tìm một số vô tỉ trên đường thẳng thực, dưới dạng hình học, chúng ta có thể sử dụng định lý Pitago, thước kẻ và compa.

Ví dụ, chúng ta sẽ xác định vị trí √5 trên đường thực, mà chúng ta vẽ một tam giác vuông với các cạnh x = 2 và y = 1, như thể hiện trong hình:

Hình 3. Phương pháp xác định vị trí một số vô tỉ trên đường thực. Nguồn: F. Zapata.

Theo định lý Pitago, cạnh huyền của một tam giác như vậy là:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Bây giờ la bàn được đặt với điểm 0, nơi cũng là một trong các đỉnh của tam giác vuông. Điểm của bút chì la bàn phải ở đỉnh A.

Một cung có chu vi được vẽ cắt theo đường thẳng thực. Vì khoảng cách giữa tâm của chu vi và bất kỳ điểm nào trên đó là bán kính bằng √5 nên giao điểm cũng cách tâm là √5.

Từ đồ thị có thể thấy rằng √5 nằm trong khoảng từ 2 đến 2,5. Máy tính cung cấp cho chúng tôi giá trị gần đúng của:

√5 = 2,236068

Và như vậy, bằng cách xây dựng một tam giác với các cạnh thích hợp, các cạnh không hợp lý khác có thể được định vị, chẳng hạn như √7 và các cạnh khác.

Phân loại số vô tỉ

Số vô tỉ được phân thành hai nhóm:

-Đại số

-Transcendental hoặc transcendental

Số đại số

Các số đại số, có thể hoặc không vô tỉ, là nghiệm của phương trình đa thức có dạng tổng quát là:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Một ví dụ về phương trình đa thức là phương trình bậc hai như sau:

x ³ - 2x = 0

Dễ dàng chứng minh rằng số vô tỉ √2 là một trong những nghiệm của phương trình này.

Con số siêu việt

Mặt khác, các số siêu việt, mặc dù chúng là vô tỷ, không bao giờ xuất hiện như một nghiệm của một phương trình đa thức.

Các số siêu việt được tìm thấy thường xuyên nhất trong toán học ứng dụng là π, do mối quan hệ của nó với chu vi và số e, hay số Euler, là cơ số của logarit tự nhiên.

Tập thể dục

Một hình vuông màu xám được đặt trên một hình vuông màu đen ở vị trí được chỉ ra trong hình. Diện tích của hình vuông màu đen được biết là 64 cm ² . Độ dài của cả hai hình vuông là bao nhiêu?

Hình 4. Hai hình vuông, trong đó chúng ta muốn tìm độ dài các cạnh. Nguồn: F. Zapata.

Đáp lại

Diện tích hình vuông có cạnh L là:

A = L ²

Vì hình vuông màu đen có diện tích là 64 cm ² nên cạnh của nó phải là 8 cm.

Số đo này giống như đường chéo của hình vuông màu xám. Áp dụng định lý Pitago cho đường chéo này và nhớ rằng các cạnh của một hình vuông có số đo bằng nhau, chúng ta sẽ có:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Trong đó L _g là cạnh của hình vuông màu xám.

Do đó: 2L _g ² = 8 ²

Áp dụng căn bậc hai cho cả hai vế của đẳng thức:

L _g = (8 / √2) cm

Người giới thiệu

1. Carena, M. 2019. Cẩm nang Toán học Dự bị Đại học. Đại học Quốc gia Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Toán học thứ 9. Trình độ. Ấn bản CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Đại số. Sảnh Prentice.
4. Cổng thông tin giáo dục. Số vô tỉ và các tính chất của chúng. Khôi phục từ: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Số vô tỉ. Được khôi phục từ: es.wikipedia.org.