SỐ SIÊU VIỆT: CHÚNG LÀ GÌ, CÔNG THỨC, VÍ DỤ, BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2026

Các số siêu việt là những số không thể nhận được do kết quả của một phương trình đa thức. Số đối của một số siêu việt là một số đại số, là nghiệm của một phương trình đa thức thuộc loại:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Trong đó các hệ số a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , a ₀ là các số hữu tỉ, được gọi là các hệ số của đa thức. Nếu một số x là một nghiệm của phương trình trước đó, thì số đó không phải là siêu việt.

Hình 1. Hai con số có tầm quan trọng lớn trong khoa học là những con số siêu việt. Nguồn: publicdomainpictures.net.

Chúng tôi sẽ phân tích một vài con số và xem liệu chúng có siêu việt hay không:

a) 3 không siêu việt vì là nghiệm của x - 3 = 0.

b) -2 không thể siêu việt vì nó là nghiệm của x + 2 = 0.

c) ⅓ là một nghiệm của 3x - 1 = 0

d) Một nghiệm của phương trình x ² - 2x + 1 = 0 là √2 -1 nên số đó theo định nghĩa không phải là siêu việt.

e) √2 cũng không vì nó là kết quả của phương trình x ² - 2 = 0. Bằng cách bình phương √2 nó cho kết quả là 2, mà trừ đi 2 thì bằng không. Vì vậy √2 là một số vô tỉ nhưng nó không phải là siêu việt.

Số siêu việt là gì?

Vấn đề là không có quy tắc chung nào để có được chúng (chúng ta sẽ nói một cách sau), nhưng một số nguyên tắc nổi tiếng nhất là số pi và số Neper, được ký hiệu tương ứng là: π và e.

Số π

Số π xuất hiện một cách tự nhiên bằng cách quan sát rằng thương số toán học giữa chu vi P của hình tròn và đường kính D của nó, bất kể đó là hình tròn nhỏ hay lớn, luôn cho cùng một số, được gọi là pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Điều này có nghĩa là nếu lấy đường kính của chu vi làm đơn vị đo thì với tất cả chúng, dù lớn hay nhỏ, chu vi sẽ luôn là P = 3,14… = π, như có thể thấy trong hoạt ảnh ở Hình 2.

Hình 2. Chiều dài của chu vi hình tròn là pi nhân với chiều dài của đường kính, với pi xấp xỉ 3,1416.

Để xác định nhiều số thập phân hơn, cần phải đo P và D với độ chính xác cao hơn và sau đó tính thương số, điều này đã được thực hiện bằng toán học. Kết luận là các số thập phân của thương không có tận cùng và không bao giờ lặp lại chính nó, do đó số π ngoài việc siêu việt còn là số vô tỉ.

Một số vô tỉ là một số không thể được biểu thị bằng phép chia hai số nguyên.

Người ta biết rằng mọi số siêu việt là vô tỉ, nhưng không phải tất cả các số vô tỉ đều là siêu việt. Ví dụ √2 là vô tỉ, nhưng nó không phải là siêu việt.

Hình 3. Các số siêu việt là vô tỉ, nhưng điều ngược lại là không đúng.

Số e

Số siêu việt e là cơ số của logarit tự nhiên và xấp xỉ thập phân của nó là:

và ≈ 2.718281828459045235360….

Nếu bạn muốn viết chính xác số e, thì cần phải viết các số thập phân vô hạn, bởi vì mọi số siêu việt đều là số vô tỷ, như đã nói ở trên.

Mười chữ số đầu tiên của e rất dễ nhớ:

2,7 1828 1828 và mặc dù nó có vẻ tuân theo một mô hình lặp đi lặp lại, nhưng điều này không đạt được ở các số thập phân có thứ tự lớn hơn chín.

Một định nghĩa chính thức hơn về e như sau:

Điều này có nghĩa là giá trị chính xác của e nhận được bằng cách thực hiện phép toán được chỉ ra trong công thức này, khi số tự nhiên n có xu hướng đến vô cùng.

Điều này giải thích tại sao chúng ta chỉ có thể thu được các giá trị gần đúng của e, vì cho dù số n được đặt lớn như thế nào, thì n lớn hơn luôn có thể được tìm thấy.

Hãy tự mình tìm kiếm một số ước lượng:

-Khi n = 100 thì (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2.70481 mà hầu như không trùng ở số thập phân đầu tiên với giá trị “true” của e.

-Nếu bạn chọn n = 10.000, bạn có (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815, trùng với giá trị “chính xác” của e ở ba chữ số thập phân đầu tiên.

Quá trình này sẽ phải được tuân theo vô hạn để có được giá trị "thực" của e. Tôi không nghĩ rằng chúng ta có thời gian để làm điều đó, nhưng hãy thử một lần nữa:

Hãy sử dụng n = 100.000:

(1 + 1 / 100.000) ^100.000 = 2.7182682372

Chỉ có bốn chữ số thập phân khớp với giá trị được coi là chính xác.

Điều quan trọng là phải hiểu rằng giá trị của n được chọn để tính e _n càng cao thì nó càng gần với giá trị thực. Nhưng giá trị thực đó sẽ chỉ có khi n là vô hạn.

Hình 4. Nó được biểu diễn bằng đồ thị như thế nào giá trị n càng cao thì càng gần e, nhưng để đạt đến giá trị chính xác thì n phải là vô hạn.

Các số quan trọng khác

Ngoài những con số nổi tiếng này còn có những con số siêu việt khác, ví dụ:

- 2 ^√2

-Số Champernowne trong cơ số 10:

C_10 = 0,123456789101112131415161718192021….

-Số Champernowne ở cơ số 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Số gamma γ hoặc hằng số Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Kết quả thu được bằng cách thực hiện phép tính sau:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Đối với khi n là rất lớn. Để có giá trị chính xác của số Gamma, cần thực hiện phép tính với n vô cùng. Một cái gì đó tương tự như những gì chúng tôi đã làm ở trên.

Và còn nhiều con số siêu việt nữa. Nhà toán học vĩ đại Georg Cantor, sinh ra ở Nga và sống từ năm 1845 đến năm 1918, đã chỉ ra rằng tập hợp các số siêu việt lớn hơn nhiều so với tập hợp các số đại số.

Các công thức trong đó số siêu việt π xuất hiện

Tính chu vi của chu vi

P = π D = 2 π R, trong đó P là chu vi, D là đường kính và R là bán kính của chu vi. Cần nhớ rằng:

-Đường kính của chu vi là đoạn dài nhất nối hai điểm của cùng một điểm và luôn đi qua tâm của nó,

- Bán kính là nửa đường kính và là đoạn đi từ tâm ra rìa.

Diện tích hình tròn

A = π R ² = ¼ π D ²

Bề mặt của một hình cầu

S = 4 π R ^2.

Đúng. Mặc dù có vẻ không giống nhưng bề mặt của một hình cầu giống như bề mặt của bốn hình tròn có cùng bán kính với hình cầu.

Thể tích của quả cầu

V = 4/3 π R ³

Bài tập

- Bài tập 1

Cửa hàng pizza “EXÓTICA” bán pizza với ba đường kính: nhỏ 30 cm, vừa 37 cm và lớn 45 cm. Một cậu bé đang rất đói và cậu nhận ra rằng hai chiếc bánh pizza nhỏ có giá tương đương với một chiếc lớn. Điều gì sẽ tốt hơn cho anh ta, để mua hai chiếc pizza nhỏ hoặc một chiếc lớn?

Hình 5. Diện tích của một chiếc bánh pizza tỷ lệ với bình phương bán kính, pi là hằng số tỷ lệ. Nguồn: Pixabay.

Giải pháp

Diện tích càng lớn, số lượng bánh pizza càng nhiều, vì lý do này, diện tích của một chiếc bánh pizza lớn sẽ được tính toán và so sánh với diện tích của hai chiếc bánh pizza nhỏ:

Diện tích chiếc bánh pizza lớn = ¼ π D ² = ¼ ⋅3,1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Diện tích chiếc bánh pizza nhỏ = ¼ π d ² = ¼ ⋅3,1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Do đó hai chiếc bánh pizza nhỏ sẽ có diện tích

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

Rõ ràng là bạn sẽ mua một chiếc bánh lớn hơn một chiếc lớn hơn hai chiếc nhỏ.

- Bài tập 2

Cửa hàng pizza “EXÓTICA” cũng bán một chiếc bánh pizza hình bán cầu với bán kính 30 cm với giá tương tự như một chiếc bánh hình chữ nhật có kích thước 30 x 40 cm mỗi cạnh. Bạn chọn cái nào?

Hình 6.- Bề mặt của một bán cầu gấp đôi bề mặt tròn của đế. Nguồn: F. Zapata.

Giải pháp

Như đã nói ở phần trước, bề mặt của một hình cầu gấp bốn lần so với một hình tròn có cùng đường kính, vậy một bán cầu có đường kính 30 cm sẽ có:

Bánh pizza hình bán cầu 30 cm: 1413,72 cm ² (gấp đôi hình tròn có cùng đường kính)

Pizza hình chữ nhật: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Chiếc bánh pizza hình bán cầu có diện tích lớn hơn.

Người giới thiệu

1. Fernández J. Số e. Nguồn gốc và sự tò mò. Phục hồi từ: soymatematicas.com
2. Thích toán học. Số của Euler. Phục hồi từ: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Toán học 1. Đa dạng. Ấn bản CO-BO.
4. García, M. Số e trong phép tính cơ bản. Đã khôi phục từ: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. Số PI. Khôi phục từ: wikipedia.com
6. Wikipedia. Những con số siêu việt. Khôi phục từ: wikipedia.com