ORTHOHEDRON: CÔNG THỨC, DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH, ĐƯỜNG CHÉO, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Hình trực diện là một hình thể tích hoặc hình học ba chiều có đặc điểm là có sáu mặt hình chữ nhật, sao cho các mặt đối diện nằm trong các mặt phẳng song song và là các hình chữ nhật đồng dạng hoặc đồng dạng. Mặt khác, các mặt tiếp giáp với một mặt đã cho nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt ban đầu.

Khối lập phương cũng có thể coi là một khối lăng trụ trực giao có đáy là hình chữ nhật, trong đó các góc của khối nhị diện tạo bởi mặt phẳng của hai mặt có cạnh chung bằng 90º. Góc nhị diện giữa hai mặt được đo trên giao của hai mặt với một mặt phẳng vuông góc chung với chúng.

Hình 1. Khối lập phương. Nguồn: F. Zapata với Geogebra.

Tương tự như vậy, khối lập phương là một hình chữ nhật có hai cạnh song song, vì đây là cách mà hình bình hành được định nghĩa là hình thể tích của sáu mặt, chúng song song với nhau bằng hai cạnh.

Trong bất kỳ hình bình hành nào, các mặt đều là hình bình hành, nhưng trong hình bình hành hình chữ nhật, các mặt phải là hình chữ nhật.

Các phần của khối chóp

Các phần của một khối đa diện, giống như khối trực diện, là:

-Aristas

-Kính sách

-Không mặt

Góc giữa hai cạnh của một mặt của trực diện trùng với góc của hình nhị diện do hai mặt còn lại của nó kề với mỗi cạnh tạo thành một góc vuông. Hình ảnh sau đây làm rõ từng khái niệm:

Hình 2. Các bộ phận của một khối chóp. Nguồn: F. Zapata với Geogebra.

-Tổng cộng một khối lập phương có 6 mặt, 12 cạnh và 8 đỉnh.

-Góc giữa hai cạnh bất kì là góc vuông.

- Góc nhị diện giữa hai mặt bất kì cũng vuông góc.

-Trong mỗi mặt có bốn đỉnh và tại mỗi đỉnh có ba mặt trực giao với nhau.

Công thức khối lập phương

Khu vực

Bề mặt hoặc diện tích của một khối ngoại tiếp là tổng diện tích các mặt của nó.

Nếu ba cạnh gặp nhau tại một đỉnh có số đo a, b và c như trong Hình 3, thì mặt trước có diện tích c⋅b và mặt đáy cũng có diện tích c⋅b.

Khi đó hai mặt bên có diện tích a⋅b mỗi mặt. Và cuối cùng, mặt sàn và mặt trần có diện tích tương ứng với nhau.

Hình 3. Khối lập phương có kích thước a, b, c. Đường chéo trong D và đường chéo ngoài d.

Thêm diện tích của tất cả các mặt sẽ cho:

Lấy một yếu tố chung và sắp xếp các điều khoản:

Âm lượng

Nếu khối chóp được coi như một lăng trụ, thì thể tích của nó được tính như sau:

Trong trường hợp này, sàn có kích thước c và a được lấy làm đáy là hình chữ nhật, do đó diện tích của đáy là c⋅a.

Chiều cao được cho bởi độ dài b của các cạnh trực giao với mặt của các cạnh a và c.

Nhân diện tích của đáy (a⋅c) với chiều cao b sẽ cho thể tích V của khối chóp:

Đường chéo bên trong

Trong một trực diện có hai loại đường chéo: đường chéo ngoài và đường chéo trong.

Các đường chéo ngoài nằm trên các mặt hình chữ nhật, trong khi các đường chéo trong là các đoạn nối hai đỉnh đối diện, được hiểu là các đỉnh đối diện mà không có chung cạnh nào.

Trong một trực diện có bốn đường chéo trong, tất cả đều có số đo bằng nhau. Độ dài của các đường chéo trong có thể nhận được bằng cách áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông.

Độ dài d của đường chéo ngoài của mặt sàn của khối chóp thỏa mãn quan hệ Pitago:

d ² = a ² + c ²

Tương tự, đường chéo trong của thước đo D đáp ứng mối quan hệ Pitago:

D ² = d ² + b ² .

Kết hợp hai biểu thức trước chúng ta có:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Cuối cùng, độ dài của bất kỳ đường chéo bên trong của hình trực diện được cho bởi công thức sau:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

Ví dụ

- Ví dụ 1

Một người thợ nề xây một cái bể có dạng một khối chóp có kích thước bên trong là: 6 m x 4 m đáy và 2 m cao. Nó hỏi:

a) Xác định bề mặt bên trong của bể nếu nó hoàn toàn mở ở trên cùng.

b) Tính thể tích phần bên trong của bể.

c) Tìm độ dài của một đường chéo trong.

d) Dung tích của thùng tính bằng lít?

Giải pháp cho

Chúng ta sẽ lấy kích thước của đáy hình chữ nhật là a = 4 m và c = 6 m và chiều cao là b = 2 m

Diện tích của một khối ngoại tiếp có các kích thước đã cho được cho bởi mối quan hệ sau:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Điều đó có nghĩa là:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Kết quả trước đó là diện tích của hình tứ diện kín với các kích thước đã cho, nhưng vì nó là một cái bể hoàn toàn không bị che ở phần trên của nó, nên để có được bề mặt của các thành bên trong bể, diện tích của phần nắp bị thiếu phải được trừ đi, đó là:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Cuối cùng, bề mặt bên trong của bể sẽ là: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

Giải pháp b

Thể tích bên trong của bể được cho bằng thể tích của một khối trực diện có các kích thước bên trong của bể:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Giải pháp c

Đường chéo bên trong của một hình bát diện đều có các kích thước của bên trong của bể có chiều dài D được cho bởi:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Thực hiện các hoạt động được chỉ định mà chúng tôi có:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Giải pháp d

Để tính dung tích của bể theo lít, cần biết rằng thể tích của một đề-xi-mét khối bằng thể tích của một lít. Trước đây nó đã được tính bằng thể tích theo mét khối, nhưng nó phải được chuyển đổi sang decimet khối rồi sang lít:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4.800 dm ³ = 4.800 L

- Bài tập 2

Một bể cá thủy tinh có dạng hình lập phương với cạnh 25 cm. Xác định diện tích tính bằng m ² , thể tích tính bằng lít và độ dài đường chéo bên trong tính bằng cm.

Hình 4. Bể cá thủy tinh hình khối.

Giải pháp

Diện tích được tính bằng cách sử dụng cùng một công thức hình khối, nhưng có lưu ý rằng tất cả các kích thước đều giống nhau:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1.250 cm ²

Thể tích của khối lập phương được cho bởi:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

Độ dài D của đường chéo trong là:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Người giới thiệu

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Khôi phục từ: youtube.com.
2. Tính toán.cc. Bài tập và các bài toán đã giải về diện tích và thể tích. Đã khôi phục từ: Calculo.cc.
3. Salvador R. Kim tự tháp + trực diện với GEOGEBRA (IHM). Khôi phục từ: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Khối chỉnh diện". MathWorld. Nghiên cứu Wolfram.
5. Wikipedia. Orthohedron Phục hồi từ: es.wikipedia.com