- Các yếu tố của Parallelepiped
- Khuôn mặt
- Cạnh
- Đỉnh
- Đường chéo
- Trung tâm
- Đặc điểm của Parallelepiped
- Các loại
- Orthohedron
- Hình lập phương thông thường hoặc hình lục diện
- Hình thoi
- Hình thoi
- Tính toán đường chéo
- Khu vực
- Diện tích của một khối ngoại tiếp
- ví dụ 1
- Diện tích hình lập phương
- Ví dụ 2
- Diện tích của một hình thoi
- Ví dụ 3
- Diện tích của một hình thoi
- Ví dụ 4
- Khối lượng của một song song
- ví dụ 1
- Ví dụ 2
- Song song hoàn hảo
- Thư mục
Hình bình hành là một thể hình học được tạo thành từ sáu mặt, đặc điểm chính của nó là tất cả các mặt của nó đều là hình bình hành và các mặt đối diện của nó cũng song song với nhau. Nó là một khối đa diện phổ biến trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta, vì chúng ta có thể tìm thấy nó trong hộp giày, hình viên gạch, hình lò vi sóng, v.v.
Là một hình đa diện, hình bình hành chứa một thể tích hữu hạn và tất cả các mặt của nó đều phẳng. Nó là một phần của nhóm các lăng trụ, là những khối đa diện trong đó tất cả các đỉnh của nó được chứa trong hai mặt phẳng song song.
Các yếu tố của Parallelepiped
Khuôn mặt
Chúng là mỗi khu vực được tạo thành bởi các hình bình hành giới hạn các hình bình hành. Hình bình hành có sáu mặt, trong đó mỗi mặt có bốn mặt liền kề và một mặt đối diện. Ngoài ra, mỗi mặt song song với mặt đối diện của nó.
Cạnh
Chúng là mặt chung của hai mặt. Tổng cộng, một hình bình hành có mười hai cạnh.
Đỉnh
Đó là điểm chung của ba mặt tiếp giáp với nhau hai cạnh hai cạnh. Một hình bình hành có tám đỉnh.
Đường chéo
Cho hai mặt song song đối diện nhau, ta có thể vẽ một đoạn thẳng đi từ đỉnh của mặt này đến đỉnh đối diện của mặt kia.
Đoạn này được gọi là đường chéo của hình bình hành. Mỗi hình bình hành có bốn đường chéo.
Trung tâm
Nó là điểm mà tại đó tất cả các đường chéo cắt nhau.
Đặc điểm của Parallelepiped
Như chúng ta đã đề cập, cơ thể hình học này có mười hai cạnh, sáu mặt và tám đỉnh.
Trong một hệ thống song song, có thể xác định được ba tập hợp tạo bởi bốn cạnh song song với nhau. Hơn nữa, các cạnh của các tập hợp nói trên cũng có đặc tính là có cùng độ dài.
Một tính chất khác mà cặp song song sở hữu là chúng lồi, nghĩa là, nếu chúng ta lấy bất kỳ cặp điểm nào thuộc phần bên trong của hình song song, đoạn được xác định bởi cặp điểm nói trên cũng sẽ nằm trong đường song song.
Ngoài ra, các khối song song là khối đa diện lồi tuân theo định lý Euler cho khối đa diện, cho chúng ta mối quan hệ giữa số mặt, số cạnh và số đỉnh. Mối quan hệ này được cho dưới dạng phương trình sau:
C + V = A + 2
Đặc tính này được gọi là đặc tính Euler.
Trong đó C là số mặt, V là số đỉnh và A là số cạnh.
Các loại
Chúng ta có thể phân loại song song dựa trên các mặt của chúng, thành các loại sau:
Orthohedron
Chúng là những hình bình hành mà mặt của chúng được tạo thành bởi sáu hình chữ nhật. Mỗi hình chữ nhật vuông góc với những hình có chung một cạnh. Chúng phổ biến nhất trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta, đây là dạng hộp đựng giày và gạch thông thường.
Hình lập phương thông thường hoặc hình lục diện
Đây là một trường hợp cụ thể của trường hợp trước, trong đó mỗi mặt là một hình vuông.
Khối lập phương cũng là một phần của các khối hình học được gọi là chất rắn Platonic. Vật rắn Platonic là một khối đa diện lồi, sao cho các mặt và các góc trong của nó bằng nhau.
Hình thoi
Nó là một mặt song song với các hình thoi cho mặt của nó. Những hình thoi này đều bằng nhau vì chúng có chung các cạnh.
Hình thoi
Sáu mặt của nó là hình thoi. Nhắc lại rằng hình thoi là một đa giác có bốn cạnh và bốn góc bằng hai đến hai. Hình thoi là hình bình hành không phải là hình vuông, không phải là hình chữ nhật, cũng không phải là hình thoi.
Mặt khác, Khe song song xiên là những đường có ít nhất một chiều cao không bằng với cạnh của chúng. Trong phân loại này, chúng ta có thể bao gồm cả hình thoi và hình thoi.
Tính toán đường chéo
Để tính đường chéo của một trực diện, chúng ta có thể sử dụng định lý Pitago cho R 3 .
Nhắc lại rằng một khối ngoại tiếp có đặc điểm là mỗi cạnh vuông góc với các mặt có chung một cạnh. Từ thực tế này, chúng ta có thể suy ra rằng mỗi cạnh vuông góc với những cạnh có chung một đỉnh.
Để tính độ dài đường chéo của một trực diện ta tiến hành như sau:
1. Chúng tôi tính đường chéo của một trong các mặt, chúng sẽ đặt làm cơ sở. Đối với điều này, chúng tôi sử dụng định lý Pitago. Hãy đặt tên cho đường chéo này là d b .
2. Khi đó với d b, chúng ta có thể tạo thành một tam giác vuông mới, sao cho cạnh huyền của tam giác nói trên là đường chéo D mà chúng ta đang tìm.
3. Chúng ta sử dụng lại định lý Pitago và chúng ta có độ dài của đường chéo này là:
Một cách khác để tính toán đường chéo theo một cách đồ họa hơn là bổ sung các vectơ tự do.
Nhớ lại rằng hai vectơ tự do A và B được cộng bằng cách đặt đuôi của vectơ B với đầu của vectơ A.
Vectơ (A + B) là vectơ bắt đầu ở đuôi A và kết thúc ở đầu B.
Chúng ta hãy xem xét một đường song song mà chúng ta muốn tính toán một đường chéo.
Chúng tôi xác định các cạnh bằng các vectơ định hướng thuận tiện.
Sau đó, chúng ta thêm các vectơ này và vectơ kết quả sẽ là đường chéo của hình bình hành.
Khu vực
Diện tích của một hình bình hành được cho bằng tổng của mỗi diện tích các mặt của nó.
Nếu chúng ta xác định một trong các mặt là cơ sở,
A L + 2A B = Tổng diện tích
Trong đó A L bằng tổng diện tích của tất cả các mặt tiếp giáp với mặt đáy, gọi là diện tích hình bên và A B là diện tích mặt đáy.
Tùy thuộc vào loại song song mà chúng ta đang làm việc, chúng ta có thể viết lại công thức này.
Diện tích của một khối ngoại tiếp
Nó được đưa ra bởi công thức
A = 2 (ab + bc + ca).
ví dụ 1
Cho hình tứ diện sau có các cạnh a = 6 cm, b = 8 cm và c = 10 cm, hãy tính diện tích hình bình hành và độ dài đường chéo của nó.
Sử dụng công thức cho diện tích của một khối ngoại tiếp, chúng ta có
A = 2 = 2 = 2 = 376 cm 2 .
Lưu ý rằng vì nó là một khối trực diện nên độ dài của bất kỳ đường chéo nào trong bốn đường chéo của nó là như nhau.
Sử dụng định lý Pitago cho không gian chúng ta có
D = (6 2 + 8 2 + 10 2 ) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2
Diện tích hình lập phương
Vì mỗi cạnh có cùng độ dài nên ta có a = b và a = c. Thay thế vào công thức trước chúng ta có
A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a 2 ) = 6a 2
A = 6a 2
Ví dụ 2
Hộp của máy chơi game có dạng hình khối. Muốn bọc chiếc hộp này bằng giấy gói thì chúng ta phải tốn bao nhiêu tờ giấy biết độ dài các cạnh của hình lập phương là 45 cm?
Sử dụng công thức cho diện tích của hình lập phương, chúng ta thu được
A = 6 (45 cm) 2 = 6 (2025 cm 2 ) = 12150 cm 2
Diện tích của một hình thoi
Vì tất cả các khuôn mặt của chúng đều giống nhau, chỉ cần tính diện tích của một trong số chúng và nhân nó với sáu.
Ta có thể tính diện tích của một hình thoi thông qua các đường chéo của nó bằng công thức sau
A R = (Dd) / 2
Sử dụng công thức này, tổng diện tích của hình thoi là
A T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.
Ví dụ 3
Các mặt của hình thoi sau đây được tạo bởi một hình thoi có các đường chéo là D = 7 cm và d = 4 cm. Khu vực của bạn sẽ là
A = 3 (7cm) (4cm) = 84cm 2 .
Diện tích của một hình thoi
Để tính diện tích của một hình thoi ta phải tính diện tích của các hình thoi tạo nên nó. Vì các cặp song song đáp ứng thuộc tính rằng các cạnh đối diện có cùng diện tích, chúng ta có thể liên kết các cạnh thành ba cặp.
Bằng cách này, chúng tôi có rằng khu vực của bạn sẽ
A T = 2b 1 h 1 + 2b 2 h 2 + 2b 3 h 3
Trong đó b i là các cơ sở liên kết với các mặt và h i là chiều cao tương đối của chúng tương ứng với các đáy này.
Ví dụ 4
Hãy xem xét mô hình song song sau đây,
trong đó cạnh A và mặt A '(cạnh đối diện của nó) có đáy là b = 10 và chiều cao h = 6. Vùng được đánh dấu sẽ có giá trị là
A 1 = 2 (10) (6) = 120
B và B 'có b = 4 và h = 6, do đó
A 2 = 2 (4) (6) = 48
YC và C 'có b = 10 và h = 5, do đó
A 3 = 2 (10) (5) = 100
Cuối cùng diện tích của hình thoi là
A = 120 + 48 + 100 = 268.
Khối lượng của một song song
Công thức cho chúng ta thể tích của một hình bình hành là tích của diện tích một trong các mặt của nó với chiều cao tương ứng với mặt đó.
V = A C h C
Tùy thuộc vào loại song song, công thức này có thể được đơn giản hóa.
Vì vậy, chúng ta có ví dụ rằng thể tích của một khối trực diện sẽ được cho bởi
V = abc.
Trong đó a, b và c biểu diễn độ dài các cạnh của khối chóp.
Và trong trường hợp cụ thể của khối lập phương là
V = a 3
ví dụ 1
Có ba mô hình khác nhau cho hộp cookie và bạn muốn biết trong những mô hình này, bạn có thể lưu trữ nhiều cookie hơn, nghĩa là, hộp nào có khối lượng lớn nhất.
Hình thứ nhất là hình lập phương có cạnh dài a = 10 cm
Thể tích của nó sẽ là V = 1000 cm 3
Hình thứ hai có các cạnh b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm
Và do đó thể tích của nó là V = 765 cm 3
Và thứ ba có e = 9 cm, f = 9 cm và g = 13 cm
Và thể tích của nó là V = 1053 cm 3
Do đó, hộp có thể tích lớn nhất là hộp thứ ba.
Một phương pháp khác để tính thể tích của một hình bình hành là sử dụng đại số vectơ. Đặc biệt, sản phẩm ba chấm.
Một trong những cách giải thích hình học mà tích vô hướng ba có là thể tích của hình bình hành, có các cạnh là ba vectơ có chung đỉnh là điểm đầu.
Bằng cách này, nếu chúng ta có một hình bình hành và chúng ta muốn biết thể tích của nó là bao nhiêu, thì chỉ cần biểu diễn nó trong một hệ tọa độ trong R 3 bằng cách làm cho một trong các đỉnh của nó trùng với điểm gốc.
Khi đó ta biểu diễn các cạnh trùng tại gốc bằng các vectơ như trong hình.
Và theo cách này, chúng ta có thể tích của hình song song nói trên được cho bởi
V = - AxB ∙ C-
Hoặc, một cách tương đương, thể tích là định thức của ma trận 3 × 3, được tạo thành bởi các thành phần của các vectơ cạnh.
Ví dụ 2
Khi biểu diễn hình bình hành sau trong R 3, chúng ta có thể thấy rằng các vectơ xác định nó là
u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) và w = (-0,25, -4, 4)
Sử dụng tích vô hướng bộ ba mà chúng ta có
V = - (uxv) ∙ w-
uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)
(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60
Từ đó ta kết luận rằng V = 60
Bây giờ chúng ta hãy xem xét hình song song sau đây trong R3 có các cạnh được xác định bởi các vectơ
A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) và C = (3, 4, 4)
Sử dụng các yếu tố quyết định cho chúng ta rằng
Do đó, chúng ta có rằng khối lượng của song song nói trên là 112.
Cả hai đều là cách tính khối lượng tương đương.
Song song hoàn hảo
Một trực diện được gọi là viên gạch Euler (hoặc khối Euler) đáp ứng tính chất rằng cả độ dài của các cạnh và độ dài đường chéo của mỗi mặt của nó đều là số nguyên.
Mặc dù Euler không phải là nhà khoa học đầu tiên nghiên cứu khối chóp đáp ứng đặc tính này, nhưng ông đã tìm thấy những kết quả thú vị về chúng.
Viên gạch Euler nhỏ nhất được phát hiện bởi Paul Halcke và độ dài các cạnh của nó là a = 44, b = 117 và c = 240.
Một vấn đề mở trong lý thuyết số như sau
Có khối chóp hoàn hảo không?
Hiện tại, câu hỏi này vẫn chưa được trả lời, vì người ta không thể chứng minh rằng những thi thể đó không tồn tại, nhưng cũng không có bất kỳ người nào được tìm thấy.
Những gì đã được chứng minh cho đến nay là các cặp song song hoàn hảo vẫn tồn tại. Đầu tiên được phát hiện có độ dài các cạnh của nó là các giá trị 103, 106 và 271.
Thư mục
- Guy, R. (1981). Các vấn đề chưa được giải quyết trong lý thuyết số. Springer.
- Landaverde, F. d. (1997). Hình học. Phát triển.
- Leithold, L. (1992). Tính toán với hình học giải tích. HARLA, SA
- Rendon, A. (2004). Vẽ kỹ thuật: Sách hoạt động 3 Bachillerato thứ 2. Tebar.
- Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Vật lý tập 1. Mexico: Lục địa.