NGUYÊN TẮC NHÂN: KỸ THUẬT ĐẾM VÀ VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Các nguyên tắc chất nhân là một kỹ thuật sử dụng để giải quyết vấn đề đếm để tìm ra giải pháp mà không cần phải liệt kê các yếu tố của nó. Nó còn được gọi là nguyên tắc cơ bản của phân tích tổ hợp; nó dựa trên phép nhân liên tiếp để xác định cách một sự kiện có thể xảy ra.

Nguyên tắc này nói rằng, nếu một quyết định (d ₁ ) có thể được thực hiện theo n cách và một quyết định khác (d ₂ ) có thể được thực hiện theo m cách, thì tổng số cách đưa ra quyết định d ₁ và d ₂ sẽ bằng nhau. để nhân từ n _* m. Theo nguyên tắc, mỗi quyết định được đưa ra lần lượt: số cách = N _{1 *} N ₂ … _* N _x cách.

Ví dụ

ví dụ 1

Paula dự định sẽ đi xem phim với bạn bè của cô ấy, và để chọn quần áo cô ấy sẽ mặc, tôi tách ra 3 áo cánh và 2 váy. Paula có thể mặc bao nhiêu cách?

Giải pháp

Trong trường hợp này, Paula phải đưa ra hai quyết định:

d ₁ = Chọn giữa 3 áo cánh = n

d ₂ = Chọn giữa 2 váy = m

Bằng cách đó Paula có n _* quyết định m để thực hiện hoặc cách khác nhau để thay đồ.

n _* m = 3 _* 2 = 6 quyết định.

Nguyên tắc nhân được sinh ra từ kỹ thuật sơ đồ cây, là một sơ đồ liên hệ tất cả các kết quả có thể có, do đó mỗi kết quả có thể xảy ra một số lần hữu hạn.

Ví dụ 2

Mario rất khát nước, vì vậy anh ấy đã đến tiệm bánh để mua nước trái cây. Luis chăm sóc anh ta và nói với anh ta rằng nó có hai kích cỡ: lớn và nhỏ; và bốn hương vị: táo, cam, chanh và nho. Mario có bao nhiêu cách chọn nước trái cây?

Giải pháp

Trong sơ đồ có thể thấy Mario có 8 cách khác nhau để chọn nước trái cây và theo nguyên tắc nhân, kết quả này thu được bằng cách nhân với n _* m. Điểm khác biệt duy nhất là thông qua sơ đồ này, bạn có thể thấy cách Mario chọn nước trái cây là như thế nào.

Mặt khác, khi số lượng các kết quả có thể xảy ra là rất lớn, thì việc sử dụng nguyên tắc nhân sẽ thực tế hơn.

Kỹ thuật đếm

Kỹ thuật đếm là phương pháp được sử dụng để đếm trực tiếp và do đó biết được số lượng các cách sắp xếp có thể có mà các phần tử của một tập hợp nhất định có thể có. Các kỹ thuật này dựa trên một số nguyên tắc:

Nguyên tắc bổ sung

Nguyên tắc này nói rằng, nếu hai sự kiện m và n không thể xảy ra đồng thời, thì số cách mà sự kiện thứ nhất hoặc thứ hai có thể xảy ra sẽ là tổng của m + n:

Số hình dạng = m + n… + x hình dạng khác nhau.

Thí dụ

Antonio muốn thực hiện một chuyến đi nhưng không quyết định điểm đến nào; tại Cơ quan Du lịch Miền Nam, họ khuyến mại cho bạn đi du lịch đến New York hoặc Las Vegas, trong khi Cơ quan Du lịch Miền Đông khuyên bạn nên đi du lịch đến Pháp, Ý hoặc Tây Ban Nha. Antonio cung cấp cho bạn bao nhiêu lựa chọn thay thế du lịch khác nhau?

Giải pháp

Với Cơ quan Du lịch Miền Nam, Antonio có 2 lựa chọn (New York hoặc Las Vegas), trong khi với Cơ quan Du lịch Miền Đông anh có 3 lựa chọn (Pháp, Ý hoặc Tây Ban Nha). Số lượng các lựa chọn thay thế khác nhau là:

Số phương án = m + n = 2 + 3 = 5 phương án.

Nguyên tắc hoán vị

Đó là việc sắp xếp cụ thể tất cả hoặc một số phần tử tạo nên một tập hợp, để tạo điều kiện thuận lợi cho việc đếm tất cả các cách sắp xếp có thể có với các phần tử.

Số lượng hoán vị của n phần tử khác nhau, được thực hiện cùng một lúc, được biểu diễn là:

_n P _n = n!

Thí dụ

Bốn người bạn muốn chụp một bức ảnh và muốn biết có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau.

Giải pháp

Bạn muốn biết tập hợp tất cả các cách có thể có trong đó 4 người có thể được định vị để chụp ảnh. Vì vậy, bạn phải:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 hình dạng khác nhau.

Nếu số hoán vị của n phần tử có sẵn được thực hiện bởi các phần của một tập hợp có r phần tử, nó được biểu diễn dưới dạng:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Thí dụ

Trong một phòng học có 10 chỗ ngồi. Nếu 4 học sinh tham dự lớp học, học sinh có thể điền vào các vị trí bằng bao nhiêu cách khác nhau?

Giải pháp

Chúng ta có tổng số bộ ghế là 10 và chỉ có 4 cái sẽ được sử dụng. Công thức đã cho được áp dụng để xác định số hoán vị:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 cách điền vào các vị trí.

Có những trường hợp trong đó một số phần tử có sẵn của một tập hợp được lặp lại (chúng giống nhau). Để tính số mảng có tất cả các phần tử cùng một lúc, công thức sau được sử dụng:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Thí dụ

Có bao nhiêu từ gồm bốn chữ cái khác nhau có thể được hình thành từ từ "sói"?

Giải pháp

Trong trường hợp này có 4 phần tử (chữ cái) trong đó hai phần tử hoàn toàn giống nhau. Áp dụng công thức đã cho, có bao nhiêu từ khác nhau cho kết quả:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 từ khác nhau.

Nguyên tắc kết hợp

Đó là việc sắp xếp tất cả hoặc một số phần tử tạo nên một tập hợp mà không có một thứ tự cụ thể. Ví dụ, nếu bạn có một sắp xếp XYZ, nó sẽ giống hệt với các sắp xếp ZXY, YZX, ZYX, trong số những thứ khác; điều này là do, mặc dù không theo cùng một thứ tự, các phần tử của mỗi cách sắp xếp đều giống nhau.

Khi một số phần tử (r) được lấy từ tập hợp (n), nguyên tắc kết hợp được cho bởi công thức sau:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Thí dụ

Trong một cửa hàng họ bán 5 loại sô cô la khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn 4 sôcôla khác nhau?

Giải pháp

Trong trường hợp này, bạn phải chọn 4 loại sôcôla trong số 5 loại được bán trong cửa hàng. Thứ tự mà chúng được chọn không quan trọng và ngoài ra, một loại sô cô la có thể được chọn nhiều hơn hai lần. Áp dụng công thức, bạn phải:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 cách chọn 4 sôcôla khác nhau.

Khi tất cả các phần tử (r) của tập hợp (n) được lấy, nguyên tắc kết hợp được cho bởi công thức sau:

_n C _{n =} n!

Bài tập đã giải

Bài tập 1

Có một đội bóng chày với 14 thành viên. Có bao nhiêu cách có thể chỉ định 5 vị trí cho một trò chơi?

Giải pháp

Tập hợp được tạo thành từ 14 phần tử và bạn muốn chỉ định 5 vị trí cụ thể; đó là, vấn đề đặt hàng. Công thức hoán vị được áp dụng trong đó n phần tử có sẵn được lấy bởi các phần của một tập hợp được tạo thành bởi r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Trong đó n = 14 và r = 5. Nó được thay thế trong công thức:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 cách phân công 9 vị trí trò chơi.

Bài tập 2

Nếu một gia đình có 9 người đi du lịch và mua vé của họ có số ghế liền nhau thì họ có thể ngồi xuống bằng bao nhiêu cách khác nhau?

Giải pháp

Đó là khoảng 9 phần tử sẽ chiếm 9 ghế liên tiếp.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 cách ngồi khác nhau.

Người giới thiệu

1. Hopkins, B. (2009). Tài nguyên để dạy Toán rời rạc: Dự án lớp học, Mô-đun lịch sử và các bài báo.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Toán học rời rạc. Pearson Education ,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Giải toán hữu hạn và rời rạc. Biên tập viên Hiệp hội Nghiên cứu & Giáo dục.
4. Padró, FC (2001). Toán học rời rạc. Politèc. của Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Toán học cho khoa học ứng dụng. Hoàn nguyên.