XÁC SUẤT LÝ THUYẾT: CÁCH LẤY, VÍ DỤ, BÀI TẬP - DUDAS - 2025

Các lý thuyết (hoặc Laplace) khả năng rằng một sự kiện xảy ra E rằng thuộc về một S không gian mẫu, trong đó tất cả các sự kiện có xác suất tương tự xảy ra, được định nghĩa trong ký hiệu toán học như sau: P (E) = n (E) / N (S)

Trong đó P (E) là xác suất, được cho là thương số giữa tổng số kết quả có thể xảy ra của sự kiện E, mà chúng ta gọi là n (E), chia cho tổng số N (S) của các kết quả có thể có trong không gian mẫu S.

Hình 1. Trong lần tung con xúc sắc sáu mặt, xác suất lý thuyết để đầu ba chấm nằm trên cùng là ⅙. Nguồn: Pixabay.

Xác suất lý thuyết là một số thực từ 0 đến 1, nhưng nó thường được biểu thị dưới dạng phần trăm, trong trường hợp đó, xác suất sẽ là giá trị từ 0% đến 100%.

Tính xác suất của một sự kiện xảy ra là rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như thương mại, công ty bảo hiểm, cờ bạc, và nhiều lĩnh vực khác.

Làm thế nào để có được xác suất lý thuyết?

Một trường hợp minh họa là trường hợp xổ số hoặc xổ số. Giả sử 1.000 vé được phát hành để xổ số điện thoại thông minh. Vì việc bốc thăm được thực hiện ngẫu nhiên, bất kỳ vé nào trong số các vé đều có cơ hội chiến thắng như nhau.

Để tìm xác suất người mua vé có số 81 trúng thưởng, người ta thực hiện phép tính xác suất lý thuyết sau:

P (1) = 1 / 1.000 = 0,001 = 0,1%

Kết quả trên được diễn giải theo cách sau: nếu việc quay thưởng được lặp lại vô hạn lần, cứ 1.000 lần thì trung bình một vé số 81 được chọn.

Nếu vì lý do nào đó mà ai đó mua được hết vé thì chắc chắn rằng họ sẽ trúng giải. Xác suất trúng thưởng nếu bạn có tất cả các vé được tính như sau:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

Có nghĩa là, xác suất 1 hoặc 100% có nghĩa là hoàn toàn chắc chắn rằng kết quả này sẽ xảy ra.

Nếu ai đó sở hữu 500 vé thì cơ hội thắng hoặc thua là như nhau. Xác suất trúng giải theo lý thuyết trong trường hợp này được tính như sau:

P (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Người nào không mua vé sẽ không có cơ hội trúng thưởng và xác suất lý thuyết của anh ta được xác định như sau:

P (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

Ví dụ

ví dụ 1

Bạn có một đồng xu với một mặt ở một mặt và một tấm chắn hoặc con dấu ở mặt kia. Khi đồng xu được tung, xác suất lý thuyết mà nó sẽ xuất hiện là bao nhiêu?

P (khuôn mặt) = n (khuôn mặt) / N (khuôn mặt + tấm chắn) = ½ = 0,5 = 50%

Kết quả được giải thích như sau: nếu một số lượng lớn lần tung được thực hiện, trung bình cứ 2 lần tung thì một trong số chúng sẽ xuất hiện.

Tính theo tỷ lệ phần trăm, cách giải thích kết quả là bằng cách thực hiện một số lượng lớn vô hạn lần tung, trung bình cứ 100 quả thì có 50 lần ném trúng đầu.

Ví dụ 2

Trong một hộp có 3 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh. Tính xác suất lý thuyết để khi bạn lấy một viên bi ra khỏi hộp nó sẽ có màu đỏ?

Hình 2. Xác suất chiết xuất các viên bi màu. Nguồn: F. Zapata.

Xác suất để nó có màu đỏ là:

P (đỏ) = Số trường hợp thuận lợi / Số trường hợp có thể xảy ra

Điều đó có nghĩa là:

P (đỏ) = Số viên bi đỏ / Tổng số viên bi

Cuối cùng, xác suất để một viên bi đỏ được rút ra là:

P (đỏ) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Trong khi xác suất để khi vẽ được viên bi xanh là:

P (xanh lục) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Cuối cùng, xác suất lý thuyết để thu được một viên bi xanh trong một chiết xuất mù là:

P (xanh lam) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Nghĩa là cứ 2 lần thử, kết quả sẽ có màu xanh lam ở một trong số chúng và một màu khác trong lần thử khác, với giả thiết là viên bi chiết xuất được thay thế và số lần thử là rất, rất lớn.

Bài tập

Bài tập 1

Xác định xác suất để khi lăn một con súc sắc thu được giá trị nhỏ hơn hoặc bằng 4.

Giải pháp

Để tính xác suất của sự kiện này xảy ra, định nghĩa của xác suất lý thuyết sẽ được áp dụng:

P (≤4) = Số trường hợp thuận lợi / Số trường hợp có thể xảy ra

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Bài tập 2

Tìm xác suất để trong hai lần tung liên tiếp một con xúc sắc sáu mặt bình thường, 5 con lăn 2 lần.

Giải pháp

Để trả lời bài tập này, hãy lập một bảng để hiển thị tất cả các khả năng. Chữ số đầu tiên cho biết kết quả của con súc sắc đầu tiên và con số thứ hai là kết quả của con kia.

Để tính xác suất lý thuyết, chúng ta cần biết tổng số các trường hợp có thể xảy ra, trong trường hợp này, như có thể thấy trong bảng trước, có 36 khả năng.

Cũng theo quan sát bảng ta suy ra số trường hợp thuận lợi cho biến cố trong hai lần phóng liên tiếp ra 5 chỉ là 1, được tô màu, do đó xác suất xảy ra biến cố này là:

P (5 x 5) = 1/36.

Kết quả này cũng có thể đạt được khi sử dụng một trong những tính chất của xác suất lý thuyết, trong đó nói rằng xác suất tổng hợp của hai sự kiện độc lập là tích của các xác suất riêng lẻ của chúng.

Trong trường hợp này, xác suất lần tung đầu tiên sẽ cuộn được 5 là ⅙. Lần tung thứ hai hoàn toàn độc lập với lần tung thứ nhất, do đó xác suất để 5 được tung trong lần thứ hai cũng là ⅙. Vậy xác suất tổng hợp là:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Bài tập 3

Tìm xác suất để một số nhỏ hơn 2 được lăn trên lần tung thứ nhất và một số lớn hơn 2 được lăn trong lần ném thứ hai.

Giải pháp

Một lần nữa, phải xây dựng một bảng các sự kiện có thể xảy ra, trong đó những sự kiện trong đó lần ném đầu tiên nhỏ hơn 2 và trong lần ném thứ hai lớn hơn 2 được gạch chân.

Tổng cộng có 4 khả năng trong tổng số 36. Nghĩa là xác suất của biến cố này là:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Sử dụng định lý xác suất phát biểu:

Kết quả tương tự thu được:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Giá trị thu được bằng quy trình này trùng với kết quả trước đó, theo định nghĩa lý thuyết hoặc cổ điển của xác suất.

Bài tập 4

Xác suất để khi tung hai con xúc xắc có tổng các giá trị là 7.

Giải pháp

Để tìm ra lời giải trong trường hợp này, một bảng các khả năng đã được lập ra, trong đó các trường hợp thỏa mãn điều kiện tổng các giá trị là 7 sẽ được biểu thị bằng màu.

Nhìn vào bảng đếm được 6 trường hợp có thể xảy ra nên xác suất là:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Người giới thiệu

1. Canavos, G. 1988. Xác suất và Thống kê: Các ứng dụng và phương pháp. Đồi McGraw.
2. Devore, J. 2012. Xác suất và Thống kê cho Kỹ thuật và Khoa học. Thứ 8. Phiên bản. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Xác suất. Đồi McGraw.
4. Obregón, I. 1989. Lý thuyết xác suất. Biên tập Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Xác suất và Thống kê cho Kỹ thuật và Khoa học. Lề.