SẢN PHẨM CHÉO: THUỘC TÍNH, ỨNG DỤNG VÀ BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2026

Các sản phẩm hoặc vector cross product là một cách để nhân hai hoặc nhiều vectơ. Có ba cách để nhân vectơ, nhưng không có cách nào trong số này là phép nhân theo nghĩa thông thường của từ này. Một trong những dạng này được gọi là tích vectơ, kết quả là vectơ thứ ba.

Tích chéo, còn được gọi là tích chéo hoặc tích ngoài, có các tính chất đại số và hình học khác nhau. Những tính chất này rất hữu ích, đặc biệt là trong điều kiện nghiên cứu vật lý.

Định nghĩa

Một định nghĩa chính thức của tích vectơ như sau: nếu A = (a1, a2, a3) và B = (b1, b2, b3) là các vectơ, thì tích vectơ của A và B, mà chúng ta sẽ ký hiệu là AxB, là:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Do ký hiệu AxB, nó được đọc là "A chéo B".

Một ví dụ về cách sử dụng tích ngoài là nếu A = (1, 2, 3) và B = (3, -2, 4) là vectơ, thì sử dụng định nghĩa của tích vectơ chúng ta có:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Một cách khác để biểu diễn tích vectơ được đưa ra bởi ký hiệu của các định thức.

Việc tính toán định thức bậc hai được đưa ra bởi:

Do đó, công thức của tích chéo đã cho trong định nghĩa có thể được viết lại như sau:

Điều này thường được đơn giản hóa thành một định thức bậc ba như sau:

Trong đó i, j, k đại diện cho các vectơ tạo thành cơ sở của R ³ .

Sử dụng cách thể hiện sản phẩm chéo này, chúng ta có ví dụ trước đó có thể được viết lại thành:

Tính chất

Một số thuộc tính mà tích vectơ sở hữu như sau:

Thuộc tính 1

Nếu A là một vectơ bất kỳ trong R ³ , ta có:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Các thuộc tính này rất dễ kiểm tra chỉ bằng cách sử dụng định nghĩa. Nếu A = (a1, a2, a3) ta có:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Nếu i, j, k đại diện cho cơ sở đơn vị của R ³ , chúng ta có thể viết chúng như sau:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Vì vậy, chúng tôi có các thuộc tính sau là đúng:

Như một quy tắc ghi nhớ, vòng tròn sau đây thường được sử dụng để ghi nhớ các thuộc tính này:

Ở đó, chúng ta phải lưu ý rằng bất kỳ vectơ nào với chính nó đều cho kết quả là vectơ 0 và phần còn lại của các tích có thể nhận được với quy tắc sau:

Tích chéo của hai vectơ liên tiếp theo chiều kim đồng hồ cho vectơ tiếp theo; và khi xét theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, kết quả là vectơ sau có dấu âm.

Nhờ các tính chất này, chúng ta có thể thấy rằng tích vectơ không giao hoán; ví dụ, chỉ cần lưu ý rằng ixj ≠ jx i. Thuộc tính sau đây cho chúng ta biết AxB và BxA có liên quan như thế nào nói chung.

Thuộc tính 2

Nếu A và B là vectơ của R ³ , ta có:

AxB = - (BxA).

Trình diễn

Nếu A = (a1, a2, a3) và B = (b1, b2, b3), theo định nghĩa của tích ngoài, chúng ta có:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Chúng ta cũng có thể thấy rằng sản phẩm này không liên quan đến ví dụ sau:

ix (ixj) = ixk = - j nhưng (ixi) xj = 0xj = 0

Từ đó chúng ta có thể thấy rằng:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Thuộc tính 3

Nếu A, B, C là vectơ của R ³ và r là số thực thì điều nào sau đây là đúng:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Nhờ các tính chất này, chúng ta có thể tính tích vectơ bằng cách sử dụng các định luật đại số, với điều kiện là thứ tự được tôn trọng. Ví dụ:

Nếu A = (1, 2, 3) và B = (3, -2, 4), chúng ta có thể viết lại chúng theo cơ sở chính tắc của R ³ .

Như vậy, A = i + 2j + 3k và B = 3i - 2j + 4k. Sau đó, áp dụng các thuộc tính trước đó:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Thuộc tính 4 (sản phẩm ba chấm)

Như chúng ta đã đề cập ở phần đầu, có nhiều cách khác để nhân vectơ ngoài tích vectơ. Một trong những cách này là tích vô hướng hoặc tích bên trong, được ký hiệu là A ∙ B và có định nghĩa là:

Nếu A = (a1, a2, a3) và B = (b1, b2, b3) thì A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Thuộc tính liên quan đến cả hai sản phẩm được gọi là tích vô hướng ba.

Nếu A, B và C là vectơ của R ³ thì A ∙ BxC = AxB ∙ C

Ví dụ, chúng ta hãy thấy rằng, cho trước A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) và C = (- 5, 1, - 4), tính chất này được thỏa mãn.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Mặt khác:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Một tích ba khác là Ax (BxC), được gọi là tích ba véc tơ.

Thuộc tính 5 (tích ba véc tơ)

Nếu A, B và C là vectơ của R ³ thì:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Ví dụ, chúng ta hãy thấy rằng, cho trước A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) và C = (- 5, 1, - 4), tính chất này được thỏa mãn.

Từ ví dụ trước, chúng ta biết rằng BxC = (- 18, - 22, 17). Hãy tính Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Mặt khác, chúng ta phải:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Do đó, chúng ta phải:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Thuộc tính 6

Nó là một trong những tính chất hình học của vectơ. Nếu A và B là hai vectơ trong R ³ và ϴ là góc tạo thành giữa chúng thì:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), trong đó - ∙ - biểu thị môđun hoặc độ lớn của vectơ.

Giải thích hình học của thuộc tính này như sau:

Cho A = PR và B = PQ. Vậy góc tạo bởi vectơ A và B là góc P của tam giác RQP, như hình vẽ bên.

Do đó, diện tích của hình bình hành có PR và PQ là các cạnh kề là --A ---- B - sin (ϴ), vì ta có thể lấy --A-- làm cơ sở và chiều cao của nó được cho bởi --B - sin (ϴ).

Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng --AxB - là diện tích của hình bình hành nói trên.

Thí dụ

Cho các đỉnh sau của tứ giác P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) và S (5,7, -3), chứng tỏ tứ giác đó là hình là một hình bình hành và tìm diện tích của nó.

Muốn vậy trước tiên chúng ta xác định các vectơ xác định hướng của các cạnh của tứ giác. Đây là:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Như chúng ta có thể thấy, A và C có cùng một vectơ đạo, mà chúng ta có rằng cả hai đều song song; Điều tương tự cũng xảy ra với B và D. Do đó, ta kết luận rằng PQRS là một hình bình hành.

Để có diện tích của hình bình hành này, ta tính BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Do đó, diện tích bình phương sẽ là:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Có thể kết luận rằng diện tích hình bình hành sẽ là căn bậc hai của 89.

Thuộc tính 7

Hai vectơ A và B song song trong R ³ nếu và chỉ khi AxB = 0

Trình diễn

Rõ ràng rằng nếu A hoặc B là vectơ rỗng thì điều đó được thỏa mãn rằng AxB = 0. Vì vectơ 0 song song với bất kỳ vectơ nào khác, thì thuộc tính có giá trị.

Nếu cả hai vectơ đều không phải là vectơ 0, chúng ta có độ lớn của chúng khác 0; nghĩa là, cả --A-- ≠ 0 và --B-- ≠ 0, vì vậy chúng ta sẽ có --AxB-- = 0 nếu và chỉ khi sin (ϴ) = 0, và điều này xảy ra nếu và chỉ khi ϴ = π hoặc ϴ = 0.

Do đó, ta có thể kết luận AxB = 0 nếu và chỉ khi ϴ = π hoặc ϴ = 0, điều này chỉ xảy ra khi cả hai vectơ song song với nhau.

Tài sản 8

Nếu A và B là hai vectơ trong R ³ thì AxB vuông góc với A và B.

Trình diễn

Đối với chứng minh này, hãy nhớ rằng hai vectơ vuông góc với nhau nếu A ∙ B bằng không. Hơn nữa, chúng tôi biết rằng:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, nhưng AxA bằng 0. Do đó, ta có:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Qua đó ta có thể kết luận rằng A và AxB vuông góc với nhau. Tương tự, chúng ta phải:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Vì BxB = 0 nên ta có:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Do đó, AxB và B vuông góc với nhau và tính chất này được chứng minh. Điều này rất hữu ích cho chúng tôi, vì chúng cho phép chúng tôi xác định phương trình của một mặt phẳng.

ví dụ 1

Lập phương trình mặt phẳng đi qua các điểm P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) và R (2, 1, 3).

Cho A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) và B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). Khi đó A = - i + 3j + k và B = i - 2j + k. Để tìm mặt phẳng tạo bởi ba điểm này, chỉ cần tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là AxB là đủ.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Với vectơ này và lấy điểm P (1, 3, 2), chúng ta có thể xác định phương trình của mặt phẳng như sau:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Do đó, chúng ta có phương trình của mặt phẳng là 5x + 2y - z - 9 = 0.

Ví dụ 2

Tìm phương trình của mặt phẳng chứa điểm P (4, 0, - 2) và vuông góc với mỗi mặt phẳng x - y + z = 0 và 2x + y - 4z - 5 = 0.

Biết rằng vectơ pháp tuyến đối với mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 là (a, b, c), ta có (1, -1,1) là vectơ pháp tuyến của x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) là một vectơ pháp tuyến của 2x + y - 4z - 5 = 0.

Do đó một vectơ pháp tuyến đối với mặt phẳng cần tìm phải vuông góc với (1, -1,1) và với (2, 1, - 4). Vectơ này là:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Khi đó, ta có mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng chứa điểm P (4,0, - 2) và có vectơ (3,6,3) là vectơ pháp tuyến.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Các ứng dụng

Tính thể tích của một hình bình hành

Một ứng dụng có tích vô hướng ba là có thể tính thể tích của một hình bình hành có các cạnh được cho bởi các vectơ A, B và C, như thể hiện trong hình:

Chúng ta có thể suy ra ứng dụng này theo cách sau: như chúng ta đã nói trước đây, vectơ AxB là một vectơ pháp tuyến đối với mặt phẳng của A và B. Chúng ta cũng có vectơ - (AxB) là một vectơ khác của mặt phẳng đã nói.

Ta chọn vectơ pháp tuyến tạo với vectơ C một góc nhỏ nhất; Không mất tính tổng quát, gọi AxB là vectơ có góc với C là nhỏ nhất.

Ta có AxB và C đều có cùng điểm xuất phát. Hơn nữa, chúng ta biết rằng diện tích của hình bình hành tạo thành đáy của hình bình hành là --AxB--. Do đó, nếu chiều cao của hình bình hành được cho bằng h, ta có thể tích của nó sẽ là:

V = --AxB - h.

Mặt khác, hãy xem xét tích số chấm giữa AxB và C, có thể được mô tả như sau:

Tuy nhiên, theo tính chất lượng giác, ta có h = --C - cos (ϴ), do đó chúng ta có:

Bằng cách này, chúng tôi có:

Nói một cách tổng quát, ta có thể tích của một hình bình hành được cho bởi giá trị tuyệt đối của tích vô hướng ba AxB ∙ C.

Bài tập đã giải

Bài tập 1

Cho các điểm P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) và S = (2, 6, 9), các điểm này tạo thành một hình bình hành có các cạnh chúng là PQ, PR và PS. Xác định thể tích của hình bình hành nói trên.

Giải pháp

Nếu chúng ta lấy:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Sử dụng thuộc tính sản phẩm vô hướng ba, chúng ta có:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Do đó, chúng ta có thể tích của hình bình hành nói trên là 52.

Bài tập 2

Xác định thể tích của hình bình hành có các cạnh là A = PQ, B = PR và C = PS, trong đó các điểm P, Q, R và S là (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) và (2, 2, 5), tương ứng.

Giải pháp

Đầu tiên chúng ta có A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Ta tính được AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Sau đó ta tính AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Do đó, chúng tôi kết luận rằng thể tích của hình bình hành nói trên là 1 đơn vị khối.

Người giới thiệu

1. Leithold, L. (1992). Tính toán với hình học giải tích. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Vật lý tập 1. Mexico: Lục địa.
3. Saenz, J. (nd). Giải tích Vectơ 1ed. Cạnh huyền.
4. Spiegel, MR (2011). Phân tích Vectơ 2ed. Đồi Mc Graw.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Tính toán một số biến 4ed. Đồi Mc Graw.