TÍNH CHẤT LIÊN KẾT: PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂN, VÍ DỤ, BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2026

Các bất động sản kết hợp bổ sung đại diện cho nhân vật kết hợp của các hoạt động bổ sung trong bộ toán học khác nhau. Trong đó, ba (hoặc nhiều) phần tử của các tập hợp nói trên có liên quan với nhau, được gọi là a, b và c, sao cho nó luôn đúng:

a + (b + c) = (a + b) + c

Bằng cách này, đảm bảo rằng, bất kể cách nhóm để thực hiện hoạt động, kết quả là như nhau.

Hình 1. Chúng ta sử dụng thuộc tính kết hợp của phép cộng nhiều lần khi thực hiện các phép toán số học và đại số. (Vẽ: freepik Sáng tác: F. Zapata)

Nhưng cần lưu ý rằng thuộc tính liên kết không đồng nghĩa với thuộc tính giao hoán. Nghĩa là, chúng ta biết rằng thứ tự của các phụ tố không làm thay đổi tổng hoặc thứ tự của các yếu tố không làm thay đổi sản phẩm. Vì vậy, đối với tổng nó có thể được viết như sau: a + b = b + a.

Tuy nhiên, trong thuộc tính liên kết thì khác, vì thứ tự của các phần tử được thêm vào được duy trì và những gì thay đổi là hoạt động được thực hiện trước. Có nghĩa là thêm đầu tiên (b + c) và thêm a vào kết quả này không quan trọng bằng việc bắt đầu thêm a với bởi vào kết quả thêm c.

Nhiều phép toán quan trọng như phép cộng có tính chất kết hợp, nhưng không phải là tất cả. Ví dụ, trong phép trừ các số thực, điều đó xảy ra:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Nếu a = 2, b = 3, c = 1 thì:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Thuộc tính liên kết của phép nhân

Như đã được thực hiện đối với phép cộng, thuộc tính kết hợp của phép nhân nói rằng:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Trong trường hợp tập hợp các số thực, có thể dễ dàng xác minh rằng điều này luôn luôn như vậy. Ví dụ, sử dụng các giá trị a = 2, b = 3, c = 1, chúng ta có:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Số thực đáp ứng tính chất kết hợp của cả phép cộng và phép nhân. Mặt khác, trong một tập hợp khác, chẳng hạn như tập vectơ, tổng là liên kết, nhưng tích chéo hoặc tích vectơ thì không.

Các ứng dụng của thuộc tính kết hợp của phép nhân

Một lợi thế của các hoạt động trong đó tài sản liên kết được thực hiện là có thể nhóm theo cách thuận tiện nhất. Điều này làm cho việc giải quyết dễ dàng hơn nhiều.

Ví dụ, giả sử rằng trong một thư viện nhỏ có 3 giá, mỗi giá 5 ngăn. Trong mỗi kệ có 8 cuốn sách. Có tất cả bao nhiêu cuốn sách?

Ta có thể thực hiện phép toán như sau: tổng số sách = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 quyển.

Hoặc như sau: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 cuốn sách.

Hình 2. Một ứng dụng của tính chất kết hợp của phép nhân là tính số sách trên mỗi kệ. Hình ảnh được tạo bởi F. Zapata.

Ví dụ

-Trong các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực và số phức, tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân được thực hiện.

Hình 3. Đối với các số thực, thuộc tính kết hợp của phép cộng được đáp ứng. Nguồn: Wikimedia Commons.

-Đối với đa thức chúng cũng áp dụng trong các phép toán này.

-Trong trường hợp của các phép toán trừ, chia và lũy thừa, tính chất kết hợp không giữ cho các số thực hoặc đa thức.

-Trong trường hợp ma trận, tính chất kết hợp giữ cho phép cộng và phép nhân, mặc dù trong trường hợp sau, tính giao hoán không được đáp ứng. Điều này có nghĩa là, với các ma trận A, B và C, đúng là:

(A x B) x C = A x (B x C)

Nhưng … A x B ≠ B x A

Thuộc tính kết hợp trong vectơ

Vectơ tạo thành một tập hợp khác với số thực hoặc số phức. Các phép toán được định nghĩa cho tập các vectơ hơi khác nhau: có cộng, trừ và ba loại tích.

Tổng các vectơ đáp ứng thuộc tính kết hợp, cũng như các số, đa thức và ma trận. Đối với các tích vô hướng, vô hướng theo vectơ và chéo được tạo ra giữa các vectơ, tích số vô hướng không đáp ứng được, nhưng tích vô hướng, là một loại phép toán khác giữa các vectơ, thực hiện nó, có tính đến những điều sau:

-Tích vô hướng và một vectơ cho kết quả là một vectơ.

-Và khi nhân vô hướng hai vectơ, một kết quả vô hướng.

Do đó, với các vectơ v , u và w, và thêm vào đó là một λ vô hướng, có thể viết:

- Tổng các vectơ: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Scalar tích: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Điều sau có thể thực hiện được nhờ v • u là một đại lượng vô hướng và λ v là một vectơ.

Tuy nhiên:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Nhân tử của đa thức bằng cách nhóm các số hạng

Ứng dụng này rất thú vị, vì như đã nói trước đây, thuộc tính liên kết giúp giải quyết một số vấn đề nhất định. Tổng của các đơn thức là liên kết và điều này có thể được sử dụng để tính nhân tử khi một nhân tử chung hiển nhiên không xuất hiện ngay từ đầu.

Ví dụ, giả sử bạn được yêu cầu thừa số: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Đa thức này không có nhân tử chung, nhưng hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu nó được nhóm lại như sau:

Dấu ngoặc thứ nhất có nhân tử chung là ax ² :

Trong điều thứ hai, hệ số chung là 3:

Bài tập

- Bài tập 1

Một tòa nhà của trường có 4 tầng và mỗi tầng có 12 phòng học với 30 bàn bên trong. Tổng cộng trường có bao nhiêu bàn?

Giải pháp

Vấn đề này được giải quyết bằng cách áp dụng thuộc tính kết hợp của phép nhân, hãy xem:

Tổng số bàn = 4 tầng x 12 phòng học / tầng x 30 bàn / phòng học = (4 x 12) x 30 bàn = 48 x 30 = 1440 bàn.

Hoặc nếu bạn thích: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 bàn

- Bài tập 2

Cho các đa thức:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Áp dụng tính chất kết hợp của phép cộng để tìm A (x) + B (x) + C (x).

Giải pháp

Bạn có thể nhóm hai cái đầu tiên và thêm cái thứ ba vào kết quả:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Ngay lập tức đa thức C (x) được thêm vào:

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Người đọc có thể xác minh rằng kết quả là giống hệt nhau nếu nó được giải quyết bằng phương án A (x) +.

Người giới thiệu

1. Jiménez, R. 2008. Đại số. Sảnh Prentice.
2. Toán học rất thú vị. Các luật giao hoán, liên kết và phân tán. Phục hồi từ: mathisfun.com.
3. Kho Toán học. Định nghĩa thuộc tính liên kết. Khôi phục từ: mathwarehouse.com.
4. Đấu kiếm. Thuộc tính liên kết & giao hoán của phép cộng & phép nhân (Với các ví dụ). Phục hồi từ: sciining.com.
5. Wikipedia. Bất động sản kết hợp. Được khôi phục từ: en.wikipedia.org.