TÍNH CHẤT CỦA BÌNH ĐẲNG - TOÁN HỌC - 2025

Các thuộc tính của đẳng thức đề cập đến mối quan hệ giữa hai đối tượng toán học, cho dù chúng là số hay biến. Nó được biểu thị bằng ký hiệu "=", luôn đi giữa hai đối tượng này. Biểu thức này được sử dụng để thiết lập rằng hai đối tượng toán học đại diện cho cùng một đối tượng; nói cách khác, hai đối tượng là cùng một thứ.

Có những trường hợp sử dụng bình đẳng là chuyện nhỏ. Ví dụ, rõ ràng là 2 = 2. Tuy nhiên, khi nói đến các biến thì nó không còn tầm thường và có những cách sử dụng cụ thể. Ví dụ, nếu chúng ta có y = x và mặt khác x = 7, chúng ta cũng có thể kết luận rằng y = 7.

Ví dụ trên dựa trên một trong những thuộc tính của đẳng thức, như bạn sẽ thấy ngay sau đây. Những tính chất này rất cần thiết để giải các phương trình (bằng nhau liên quan đến các biến số), một phần rất quan trọng của toán học.

Các tính chất của đẳng thức là gì?

Thuộc tính phản quang

Tính chất phản xạ, trong trường hợp bằng nhau, nói rằng mọi số đều bằng chính nó và được biểu thị dưới dạng b = b với bất kỳ số thực nào b.

Trong trường hợp bình đẳng cụ thể, tính chất này dường như là hiển nhiên, nhưng trong các loại quan hệ khác giữa các con số thì không. Nói cách khác, không phải mọi quan hệ số thực đều đáp ứng tính chất này. Ví dụ, một trường hợp như vậy của quan hệ “less than” (<); không có số nào nhỏ hơn chính nó.

Thuộc tính đối xứng

Tính chất đối xứng cho đẳng thức nói rằng nếu a = b thì b = a. Bất kể thứ tự nào được sử dụng trong các biến, nó sẽ được bảo toàn bởi quan hệ bình đẳng.

Có thể quan sát thấy sự tương tự nhất định của thuộc tính này với thuộc tính giao hoán trong trường hợp cộng. Ví dụ, do thuộc tính này, nó tương đương với việc viết y = 4 hoặc 4 = y.

Thuộc tính bắc cầu

Tính chất bắc cầu về đẳng thức phát biểu rằng nếu a = b và b = c thì a = c. Ví dụ, 2 + 7 = 9 và 9 = 6 + 3; do đó, theo tính chất bắc cầu, chúng ta có 2 + 7 = 6 + 3.

Một ứng dụng đơn giản như sau: giả sử Julian 14 tuổi và Mario bằng tuổi Rosa. Nếu Rosa bằng tuổi Julián thì Mario bao nhiêu tuổi?

Đằng sau kịch bản này, thuộc tính bắc cầu được sử dụng hai lần. Về mặt toán học, nó được giải thích như sau: đặt "a" là tuổi của Mario, "b" là tuổi của Rosa và "c" là tuổi của Julian. Biết rằng b = c và c = 14.

Theo tính chất bắc cầu, chúng ta có b = 14; đó là Rosa 14 tuổi. Vì a = b và b = 14, sử dụng lại tính chất bắc cầu chúng ta có a = 14; tức là tuổi của Mario cũng bằng 14 tuổi.

Tài sản đồng nhất

Tính chất đồng nhất là nếu cả hai vế của một đẳng thức được cộng hoặc nhân với một lượng như nhau, thì đẳng thức được bảo toàn. Ví dụ, nếu 2 = 2, thì 2 + 3 = 2 + 3, rõ ràng, vì 5 = 5. Thuộc tính này hữu ích nhất khi cố gắng giải một phương trình.

Ví dụ, giả sử bạn được yêu cầu giải phương trình x-2 = 1. Cần nhớ rằng việc giải một phương trình bao gồm việc xác định rõ ràng biến (hoặc các biến) liên quan, dựa trên một số cụ thể hoặc một biến được chỉ định trước đó.

Quay trở lại phương trình x-2 = 1, việc bạn phải làm là tìm một cách rõ ràng x có giá trị là bao nhiêu. Để làm điều này, biến phải được xóa.

Người ta đã dạy sai rằng trong trường hợp này, vì số 2 là số âm nên nó chuyển sang phía bên kia của đẳng thức với một dấu dương. Nhưng nếu nói theo cách đó thì không đúng.

Về cơ bản, những gì bạn đang làm là áp dụng thuộc tính đồng nhất, như chúng ta sẽ thấy bên dưới. Ý tưởng là xóa "x"; nghĩa là, để nó ở một bên của phương trình. Theo quy ước, nó thường được để ở phía bên trái.

Với mục đích này, số cần "loại bỏ" là -2. Cách thực hiện sẽ là cộng 2, vì -2 + 2 = 0 và x + 0 = 0. Để thực hiện điều này mà không làm thay đổi bình đẳng, thao tác tương tự phải được áp dụng cho phía bên kia.

Điều này cho phép nó nhận ra thuộc tính đồng nhất: vì x-2 = 1, nếu số 2 được thêm vào cả hai phía của bằng nhau, thuộc tính đồng nhất nói rằng nó không bị thay đổi. Khi đó chúng ta có x-2 + 2 = 1 + 2, tương đương với việc nói rằng x = 3. Với điều này, phương trình sẽ được giải quyết.

Tương tự, nếu bạn muốn giải phương trình (1/5) y-1 = 9, bạn có thể tiến hành sử dụng tính chất đồng nhất như sau:

Tổng quát hơn, có thể đưa ra các câu sau:

- Nếu ab = cb thì a = c.

- Nếu xb = y thì x = y + b.

- Nếu (1 / a) z = b thì z = a ×

- Nếu (1 / c) a = (1 / c) b thì a = b.

Tài sản hủy

Thuộc tính hủy bỏ là một trường hợp cụ thể của thuộc tính đồng nhất, đặc biệt xem xét trường hợp của phép trừ và phép chia (về cơ bản, cũng tương ứng với phép cộng và phép nhân). Tài sản này xử lý trường hợp này một cách riêng biệt.

Ví dụ, nếu 7 + 2 = 9, thì 7 = 9-2. Hoặc nếu 2y = 6 thì y = 3 (chia hết cho hai vế).

Tương tự với trường hợp trước, các câu lệnh sau có thể được thiết lập thông qua thuộc tính hủy:

- Nếu a + b = c + b thì a = c.

- Nếu x + b = y thì x = yb.

- Nếu az = b thì z = b / a.

- Nếu ca = cb thì a = b.

Tài sản thay thế

Nếu chúng ta biết giá trị của một đối tượng toán học, thuộc tính thay thế nói rằng giá trị này có thể được thay thế trong bất kỳ phương trình hoặc biểu thức nào. Ví dụ, nếu b = 5 và a = bx, sau đó thay giá trị của "b" vào đẳng thức thứ hai chúng ta có a = 5x.

Một ví dụ khác như sau: nếu "m" chia "n" và "n" chia "m", thì chúng ta phải có m = n.

Thật vậy, nói rằng "m" chia cho "n" (hoặc tương đương, "m" là một ước của "n") có nghĩa là phép chia m ÷ n là chính xác; nghĩa là, chia "m" cho "n" sẽ thu được một số nguyên, không phải số thập phân. Điều này có thể được thể hiện bằng cách nói rằng tồn tại một số nguyên "k" sao cho m = k × n.

Vì "n" cũng chia "m" nên tồn tại số nguyên "p" sao cho n = p × m. Do tính chất thay thế, chúng ta có n = p × k × n, và để điều này xảy ra có hai khả năng: n = 0, trong trường hợp đó chúng ta sẽ có đồng dạng 0 = 0; op × k = 1, do đó đồng nhất n = n.

Giả sử "n" là khác không. Khi đó nhất thiết p × k = 1; do đó, p = 1 và k = 1. Sử dụng lại tính chất thay thế, bằng cách thay k = 1 vào đẳng thức m = k × n (hoặc tương đương, p = 1 trong n = p × m), cuối cùng chúng ta thu được m = n, đó là điều chúng ta muốn chứng minh.

Quyền lực tài sản bình đẳng

Cũng giống như trước đây người ta đã thấy rằng nếu một phép toán như cộng, nhân, trừ hoặc chia được thực hiện theo cả hai nghĩa của một đẳng thức, thì nó được giữ nguyên, theo cách tương tự có thể áp dụng các phép toán khác không làm thay đổi một đẳng thức.

Điều quan trọng là luôn thực hiện nó trên cả hai mặt của sự bình đẳng và đảm bảo trước rằng hoạt động có thể được thực hiện. Đó là trường hợp trao quyền; nghĩa là, nếu cả hai vế của một phương trình được nâng lên cùng một lũy thừa, chúng ta vẫn có một bằng nhau.

Ví dụ, vì 3 = 3 nên 3 ² = 3 ² (9 = 9). Nói chung, cho trước một số nguyên "n", nếu x = y, thì x ⁿ = y ⁿ .

Thuộc tính gốc trong một bình đẳng

Đây là một trường hợp cụ thể của cường độ và được áp dụng khi lũy thừa là một số hữu tỉ không nguyên, chẳng hạn như ½, đại diện cho căn bậc hai. Tính chất này nói rằng nếu cùng một gốc được áp dụng cho cả hai vế của một đẳng thức (bất cứ khi nào có thể), thì đẳng thức được bảo toàn.

Không giống như trường hợp trước, ở đây phải cẩn thận với tính chẵn lẻ của gốc được áp dụng, vì người ta biết rõ rằng gốc chẵn của một số âm không được xác định rõ.

Trong trường hợp gốc là đều, không có vấn đề gì. Ví dụ, nếu x ³ = -8, mặc dù nó là một đẳng thức, bạn không thể áp dụng căn bậc hai cho cả hai bên. Tuy nhiên, nếu bạn có thể áp dụng căn bậc hai (điều này thậm chí còn thuận tiện hơn nếu bạn muốn biết rõ ràng giá trị của x), do đó thu được x = -2.

Người giới thiệu

1. Aylwin, CU (2011). Logic, Bộ và Số. Mérida - Venezuela: Hội đồng xuất bản, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Toán 1 SEP. Ngưỡng.
3. Lira, ML (1994). Simon và toán học: văn bản toán học cho lớp hai: sách của học sinh. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Môn Toán học thứ 3. Biên tập Progreso.
5. Segovia, BR (2012). Các hoạt động toán học và trò chơi với Miguel và Lucía. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Khóa học Toán thứ 2. Biên tập Progreso.