XẾP HẠNG TRONG THỐNG KÊ LÀ GÌ? (CÓ VÍ DỤ) - DUDAS - 2026

Các phạm vi , phạm vi hoặc biên độ, trong thống kê, là sự khác biệt (trừ) giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một tập hợp các dữ liệu từ một mẫu hoặc một quần thể. Nếu phạm vi được biểu thị bằng chữ R và dữ liệu được biểu thị bằng x, thì công thức cho phạm vi chỉ đơn giản là:

R = x _{tối đa} - x _{tối thiểu}

Trong đó x _max là giá trị lớn nhất của dữ liệu và x _min là giá trị nhỏ nhất.

Hình 1. Phạm vi dữ liệu tương ứng với dân số của Cádiz trong hai thế kỷ qua. Nguồn: Wikimedia Commons.

Khái niệm này rất hữu ích như là một thước đo đơn giản về độ phân tán để nhanh chóng đánh giá sự thay đổi của dữ liệu, vì nó chỉ ra phần mở rộng hoặc độ dài của khoảng thời gian mà chúng được tìm thấy.

Ví dụ: giả sử đo chiều cao của một nhóm 25 nam sinh viên năm thứ nhất ngành kỹ thuật tại một trường đại học. Học sinh cao nhất trong nhóm là 1,93 m và thấp nhất 1,67 m. Đây là các giá trị cực đoan của dữ liệu mẫu, do đó đường dẫn của chúng là:

R = 1,93 - 1,67 m = 0,26 m hoặc 26 cm.

Chiều cao của học sinh trong nhóm này được phân bố dọc theo phạm vi này.

Ưu điểm và nhược điểm

Phạm vi, như chúng tôi đã nói trước đây, là thước đo mức độ lan tỏa của dữ liệu. Một phạm vi nhỏ cho thấy rằng dữ liệu gần giống hoặc ít hơn và mức chênh lệch thấp. Mặt khác, phạm vi lớn hơn cho thấy dữ liệu bị phân tán nhiều hơn.

Các lợi thế của việc tính toán phạm vi là rõ ràng: nó rất dễ dàng và nhanh chóng để tìm thấy, vì nó là một sự khác biệt đơn giản.

Nó cũng có các đơn vị giống như dữ liệu mà nó hoạt động và khái niệm này rất dễ giải thích cho bất kỳ người quan sát nào.

Trong ví dụ về chiều cao của sinh viên kỹ thuật, nếu phạm vi là 5 cm, chúng ta sẽ nói rằng tất cả các sinh viên đều có kích thước xấp xỉ bằng nhau. Nhưng với phạm vi 26 cm, chúng tôi ngay lập tức giả định rằng có tất cả các học sinh có chiều cao trung bình trong mẫu. Giả thiết này luôn đúng?

Nhược điểm của phạm vi như một thước đo phân tán

Nếu chúng ta xem xét kỹ, có thể thấy rằng trong mẫu 25 sinh viên kỹ thuật của chúng tôi, chỉ một trong số họ có chiều cao 1,93 và 24 người còn lại có chiều cao gần 1,67 m.

Tuy nhiên, phạm vi vẫn được giữ nguyên, mặc dù điều ngược lại là hoàn toàn có thể xảy ra: chiều cao của đa số là khoảng 1,90 m và chỉ một người là 1,67 m.

Trong cả hai trường hợp, sự phân bố dữ liệu là khá khác nhau.

Nhược điểm của phạm vi như một thước đo độ phân tán là bởi vì nó chỉ sử dụng các giá trị cực đoan và bỏ qua tất cả các giá trị khác. Vì hầu hết thông tin bị mất, bạn không biết dữ liệu mẫu được phân phối như thế nào.

Một đặc điểm quan trọng khác là phạm vi của mẫu không bao giờ giảm. Nếu chúng tôi thêm nhiều thông tin hơn, tức là chúng tôi xem xét nhiều dữ liệu hơn, phạm vi tăng lên hoặc giữ nguyên.

Và trong mọi trường hợp, nó chỉ hữu ích khi làm việc với các mẫu nhỏ, việc sử dụng duy nhất nó làm thước đo độ phân tán trong các mẫu lớn không được khuyến khích.

Điều phải làm là bổ sung nó với việc tính toán các thước đo độ phân tán khác có tính đến thông tin được cung cấp bởi dữ liệu tổng thể: phạm vi liên phần tư, phương sai, độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên.

Phạm vi liên phần tư, phần tư và ví dụ hoạt động

Chúng tôi đã nhận ra rằng điểm yếu của phạm vi như một thước đo phân tán là nó chỉ sử dụng các giá trị cực đoan của phân phối dữ liệu, bỏ qua các giá trị khác.

Để tránh sự bất tiện này, phần tư được sử dụng: ba giá trị được gọi là số đo vị trí.

Chúng phân phối dữ liệu chưa được nhóm thành bốn phần (các thước đo vị trí được sử dụng rộng rãi khác là phân vị và phân vị). Đây là những đặc điểm của nó:

- Phần tư đầu tiên Q ₁ là giá trị của dữ liệu sao cho 25% của tất cả chúng nhỏ hơn Q ₁ .

- Phần tư thứ hai Q ₂ là trung vị của phân phối, có nghĩa là một nửa (50%) dữ liệu nhỏ hơn giá trị này.

-Cuối cùng, phần tư thứ ba Q ₃ chỉ ra rằng 75% dữ liệu nhỏ hơn Q ₃ .

Sau đó, phạm vi liên phần tư hoặc phạm vi liên phần tư được xác định là sự khác biệt giữa phần tư thứ ba Q ₃ và phần tư thứ nhất Q ₁ của dữ liệu:

Phạm vi liên phần = R _Q = Q ₃ - Q ₁

Bằng cách này, giá trị của phạm vi R _Q không bị ảnh hưởng bởi các giá trị cực trị. Vì lý do này, nên sử dụng nó khi xử lý các phân bố lệch, chẳng hạn như phân bố của các học sinh rất cao hoặc rất thấp được mô tả ở trên.

- Tính toán các phần tư

Có một số cách để tính toán chúng, ở đây chúng tôi sẽ đề xuất một cách, nhưng trong mọi trường hợp, cần phải biết số thứ tự "N _o ", là vị trí mà phần tư tương ứng chiếm trong phân phối.

Đó là, nếu chẳng hạn, số hạng tương ứng với Q ₁ là số thứ hai, thứ ba hoặc thứ tư, v.v. của phân phối.

Phần tư đầu tiên

N _hoặc (Q ₁ ) = (N + 1) / 4

Phần tư thứ hai hoặc trung vị

N _hoặc (Q ₂ ) = (N + 1) / 2

Phần tư thứ ba

N _hoặc (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4

Trong đó N là số lượng dữ liệu.

Giá trị trung vị là giá trị nằm ngay giữa phân phối. Nếu số lượng dữ liệu là số lẻ thì không có vấn đề gì trong việc tìm kiếm nó, nhưng nếu nó là số chẵn, thì hai giá trị trung tâm được tính trung bình để trở thành một.

Khi số đơn đặt hàng đã được tính toán, một trong ba quy tắc sau được tuân theo:

-Nếu không có số thập phân, dữ liệu được chỉ ra trong phân phối sẽ được tìm kiếm và đây sẽ là phần tư được tìm kiếm.

-Khi số thứ tự nằm giữa hai, thì dữ liệu được chỉ ra bởi phần nguyên được tính trung bình với dữ liệu sau và kết quả là phần tư tương ứng.

-Trong mọi trường hợp khác, nó được làm tròn đến số nguyên gần nhất và đó sẽ là vị trí của phần tư.

Ví dụ đã làm việc

Trên thang điểm từ 0 đến 20, một nhóm 16 học sinh toán I đã đạt được các điểm (điểm) sau trong bài kiểm tra giữa kỳ:

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

Tìm thấy:

a) Phạm vi hoặc phạm vi của dữ liệu.

b) Giá trị của phần tư Q ₁ và Q ₃

c) Phạm vi liên phần tư.

Hình 2. Điểm của bài kiểm tra toán này có nhiều biến động không? Nguồn: Pixabay.

Giải pháp cho

Việc đầu tiên cần làm để tìm đường là sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng hoặc giảm. Ví dụ theo thứ tự tăng dần, bạn có:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

Sử dụng công thức đã cho ở đầu: R = x _max - x _min

R = 20 - 1 điểm = 19 điểm.

Theo kết quả, các xếp hạng này có sự phân tán lớn.

Giải pháp b

N = 16

N _hoặc (Q ₁ ) = (N + 1) / 4 = (16 + 1) / 4 = 17/4 = 4,25

Nó là một số có số thập phân, có phần nguyên là 4. Sau đó, chúng ta đi đến phân phối, dữ liệu chiếm vị trí thứ tư được tìm kiếm và giá trị của nó được tính trung bình với dữ liệu của vị trí thứ năm. Vì cả hai đều là 9 nên điểm trung bình cũng là 9 và như vậy:

Q ₁ = 9

Bây giờ chúng ta lặp lại quy trình để tìm Q ₃ :

N _hoặc (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4 = 3 (16 +1) / 4 = 12,75

Một lần nữa, nó là một số thập phân, nhưng vì nó không bằng một nửa, nó được làm tròn thành 13. Phần tư được tìm kiếm chiếm vị trí thứ mười ba và là:

Q ₃ = 16

Giải pháp c

R _Q = Q ₃ - Q ₁ = 16 - 9 = 7 điểm.

Như chúng ta thấy, nhỏ hơn nhiều so với phạm vi dữ liệu được tính trong phần a), bởi vì điểm tối thiểu là 1 điểm, một giá trị xa hơn nhiều so với phần còn lại.

Người giới thiệu

1. Berenson, M. 1985. Thống kê cho quản lý và kinh tế. Interamericana SA
2. Canavos, G. 1988. Xác suất và Thống kê: Các ứng dụng và phương pháp. Đồi McGraw.
3. Devore, J. 2012. Xác suất và Thống kê cho Kỹ thuật và Khoa học. Thứ 8. Phiên bản. Cengage.
4. Ví dụ về tứ phân vị. Phục hồi từ: matematicas10.net.
5. Levin, R. 1988. Thống kê cho quản trị viên. lần 2. Phiên bản. Sảnh Prentice.
6. Walpole, R. 2007. Xác suất và Thống kê cho Kỹ thuật và Khoa học. Lề.