- Hình tam giác xiên
- Định luật sin và cosin
- Bài tập
- Bài tập đầu tiên
- Bài tập thứ hai
- Bài tập thứ ba
- Bài tập thứ tư
- Người giới thiệu
Hình tam giác xiên là những hình tam giác không phải là hình chữ nhật. Nói cách khác, các tam giác sao cho không có góc nào là góc vuông (số đo của chúng là 90º).
Vì chúng không có góc vuông nên không thể áp dụng Định lý Pitago cho các tam giác này.
Do đó, để biết dữ liệu trong tam giác xiên cần sử dụng các công thức khác.
Các công thức cần thiết để giải một tam giác xiên là cái gọi là định luật sin và cosin, sẽ được mô tả ở phần sau.
Ngoài các định luật này, thực tế là tổng các góc trong của một tam giác bằng 180º luôn có thể được sử dụng.
Hình tam giác xiên
Như đã nêu ở phần đầu, tam giác xiên là tam giác sao cho không có góc nào của nó đo được 90º.
Bài toán tìm độ dài các cạnh của tam giác xiên, cũng như tìm số đo các góc của nó được gọi là "giải tam giác xiên".
Một thực tế quan trọng khi làm việc với tam giác là tổng ba góc trong của tam giác bằng 180º. Đây là kết quả chung, do đó đối với tam giác xiên cũng có thể áp dụng.
Định luật sin và cosin
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là "a", "b" và "c":
- Luật sin phát biểu rằng a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), trong đó A, B và C là các góc đối diện với «a», «b» và «c "Tương ứng.
- Định luật côsin phát biểu rằng: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Tương tự, có thể sử dụng các công thức sau:
b² = a² + c² - 2ac * cos (B) hoặc a² = b² + c² - 2bc * cos (A).
Sử dụng các công thức này, dữ liệu cho một tam giác xiên có thể được tính toán.
Bài tập
Dưới đây là một số bài tập trong đó dữ liệu còn thiếu của các tam giác đã cho phải được tìm thấy, dựa trên một số dữ liệu được cung cấp.
Bài tập đầu tiên
Cho tam giác ABC sao cho A = 45º, B = 60º và a = 12cm, tính các số liệu khác của tam giác.
Giải pháp
Sử dụng rằng tổng các góc trong của một tam giác bằng 180º, chúng ta có
C = 180º-45º-60º = 75º.
Ba góc đã được biết trước. Sau đó, luật sin được sử dụng để tính hai vế còn thiếu.
Các phương trình sinh ra là 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).
Từ đẳng thức đầu tiên, chúng ta có thể giải cho «b» và nhận được
b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696cm.
Chúng tôi cũng có thể giải quyết «c» và có được
c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392cm.
Bài tập thứ hai
Cho tam giác ABC sao cho A = 60º, C = 75º và b = 10cm, tính các số liệu khác của tam giác.
Giải pháp
Như trong bài tập trước, B = 180º-60º-75º = 45º. Hơn nữa, sử dụng luật sin chúng ta có a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), từ đó thu được a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12,247 cm và c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.
Bài tập thứ ba
Cho tam giác ABC sao cho a = 10cm, b = 15cm và C = 80º, tính các số liệu khác của tam giác.
Giải pháp
Trong bài tập này chỉ biết được một góc nên không thể bắt đầu như hai bài trước. Ngoài ra, không thể áp dụng định luật sin vì không có phương trình nào có thể giải được.
Do đó, chúng ta tiến hành áp dụng định luật côsin. Sau đó là
c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,
sao cho c ≈ 16,51 cm. Bây giờ, khi biết 3 vế, luật sin được sử dụng và thu được rằng
10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51cm / sin (80º).
Do đó, giải cho B kết quả là sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, có nghĩa là B ≈ 63,38º.
Bây giờ, chúng ta có thể thu được A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.
Bài tập thứ tư
Các cạnh của một tam giác xiên là a = 5cm, b = 3cm và c = 7cm. Tìm các góc của tam giác.
Giải pháp
Một lần nữa, định luật sin không thể được áp dụng trực tiếp vì không có phương trình nào phục vụ cho việc tính giá trị của các góc.
Sử dụng định luật côsin ta có c² = a² + b² - 2ab cos (C), từ đó khi giải ra ta có cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 và do đó C = 120º.
Bây giờ nếu chúng ta có thể áp dụng luật sin và do đó thu được 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), từ đó chúng ta có thể giải B và thu được sin (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, sao cho B = 21,79º.
Cuối cùng, góc cuối cùng được tính bằng cách sử dụng A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.
Người giới thiệu
- Landaverde, F. d. (1997). Hình học (Tái bản ed.). Phát triển.
- Leake, D. (2006). Hình tam giác (biên tập minh họa). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Tính toán trước. Giáo dục Pearson.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Hình học. Công nghệ CR.
- Sullivan, M. (1997). Tính toán trước. Giáo dục Pearson.
- Sullivan, M. (1997). Lượng giác và Hình học Giải tích. Giáo dục Pearson.