- Điều kiện để các vectơ là đồng phẳng
- Tích hỗn hợp giữa ba vectơ
- Các ứng dụng
- Lực đồng phương, đồng thời và không thẳng hàng
- Bài tập đã giải
- -Bài tập 1
- Giải pháp
- -Bài tập 2
- Giải pháp
- Người giới thiệu
Các vectơ đồng phẳng hay vectơ đồng phẳng là những vectơ được chứa trên cùng một mặt phẳng. Khi chỉ có hai vectơ, chúng luôn đồng phẳng, vì có vô hạn mặt phẳng, nên luôn có thể chọn một trong đó chứa chúng.
Nếu bạn có ba vectơ trở lên, có thể một số vectơ trong số chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng với những vectơ khác, do đó chúng không thể được coi là đồng phẳng. Hình dưới đây cho thấy một tập hợp các vectơ đồng phẳng được ký hiệu bằng chữ đậm A , B , C và D :
Hình 1. Bốn vectơ đồng phẳng. Nguồn: tự làm.
Các vectơ có liên quan đến hành vi và tính chất của các đại lượng vật lý liên quan đến khoa học và kỹ thuật; ví dụ vận tốc, gia tốc và lực.
Một lực tạo ra các tác dụng khác nhau lên một vật khi cách tác dụng của nó là khác nhau, chẳng hạn bằng cách thay đổi cường độ, phương và hướng. Ngay cả khi chỉ thay đổi một trong những thông số này, kết quả cũng khác nhau đáng kể.
Trong nhiều ứng dụng, cả trong tĩnh và động, các lực tác dụng lên một vật thể nằm trên cùng một mặt phẳng, do đó chúng được coi là đồng phẳng.
Điều kiện để các vectơ là đồng phẳng
Để ba vectơ là đồng phẳng, chúng phải nằm trên cùng một mặt phẳng và điều này xảy ra nếu chúng đáp ứng bất kỳ điều kiện nào sau đây:
-Vectơ song song, do đó thành phần của chúng tỉ lệ và phụ thuộc tuyến tính.
- Sản phẩm hỗn hợp của bạn là vô giá trị.
-Nếu bạn có ba vectơ và bất kỳ vectơ nào trong số chúng có thể được viết dưới dạng kết hợp tuyến tính của hai vectơ kia, các vectơ này là đồng phẳng. Ví dụ, một vectơ là kết quả của tổng của hai cái khác, cả ba đều nằm trong cùng một mặt phẳng.
Ngoài ra, điều kiện đồng dạng có thể được đặt như sau:
Tích hỗn hợp giữa ba vectơ
Tích hỗn hợp giữa các vectơ được xác định với ba vectơ u , v và w, dẫn đến một đại lượng vô hướng do thực hiện thao tác sau:
u · ( v x w ) = u · (v x w )
Đầu tiên, tích chéo nằm trong ngoặc được thực hiện: v x w , kết quả của nó là vectơ pháp tuyến (vuông góc) với mặt phẳng trong đó cả v và w đều nằm .
Nếu u nằm trên cùng một mặt phẳng với v và w , đương nhiên tích vô hướng (tích chấm) giữa u và vectơ pháp tuyến nói trên phải bằng 0. Bằng cách này, người ta xác minh rằng ba vectơ là đồng phẳng (chúng nằm trên cùng một mặt phẳng).
Khi tích hỗn hợp không bằng 0, kết quả của nó bằng thể tích của hình bình hành có vectơ u , v và w là các cạnh kề nhau.
Các ứng dụng
Lực đồng phương, đồng thời và không thẳng hàng
Các lực đồng quy đều tác dụng vào cùng một điểm. Nếu chúng cũng là đồng phẳng, chúng có thể được thay thế bằng một lực duy nhất, được gọi là lực kết quả và có cùng tác dụng với lực ban đầu.
Nếu một vật ở trạng thái cân bằng nhờ ba lực đồng quy và không thẳng hàng (không song song), được gọi là A , B và C, thì định lý Lamy chỉ ra rằng mối quan hệ giữa các lực này (độ lớn) như sau:
A / sin α = B / sin β = C / sin γ
Với α, β và γ là các góc đối diện với lực tác dụng, như trong hình sau:
Hình 2. Ba lực đồng phẳng A, B, C tác dụng lên một vật. Nguồn: Kiwakwok tại Wikipedia tiếng Anh
Bài tập đã giải
-Bài tập 1
Tìm giá trị của k để các vectơ sau là đồng phẳng:
u = <-3, k, 2>
v = <4, 1, 0>
w = <-1, 2, -1>
Giải pháp
Vì chúng ta có các thành phần của vectơ, tiêu chí của sản phẩm hỗn hợp được sử dụng, do đó:
u ( v x w ) = 0
Giải v x w trước . Các vectơ sẽ được biểu diễn dưới dạng các vectơ đơn vị i , j và k phân biệt ba hướng vuông góc trong không gian (chiều rộng, chiều cao và chiều sâu):
v = 4 i + j + 0 k
w = -1 i + 2 j -1 k
v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k
Bây giờ chúng ta xem xét tích vô hướng giữa u và vectơ là kết quả của phép toán trước đó, đặt phép toán bằng 0:
u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0
24 + 4k = 0
Giá trị cần tìm là: k = - 6
Vậy vectơ u là:
u = <-3, -6, 2>
-Bài tập 2
Hình bên cho thấy một vật có trọng lượng W = 600 N, được treo ở trạng thái cân bằng nhờ các dây cáp đặt ở các góc như trong hình 3. Có thể áp dụng định lý Lamy trong trường hợp này không? Trong mọi trường hợp, hãy tìm độ lớn của T 1 , T 2 và T 3 để có thể cân bằng.
Hình 3. Một quả nặng treo ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của ba ứng suất như hình vẽ. Nguồn: tự làm.
Giải pháp
Định lý Lamy có thể áp dụng trong trường hợp này nếu xét nút mà ba ứng suất được áp dụng, vì chúng tạo thành một hệ thống các lực đồng phẳng. Đầu tiên, người ta lập sơ đồ vật tự do cho quả nặng treo, để xác định độ lớn của T 3:
Hình 4. Sơ đồ thân tự do để treo quả nặng. Nguồn: tự làm.
Từ điều kiện cân bằng, nó như sau:
Góc giữa các lực được đánh dấu màu đỏ trong hình sau, có thể dễ dàng xác minh rằng tổng của chúng là 360º. Bây giờ có thể áp dụng định lý Lamy, vì một trong các lực và ba góc giữa chúng đã biết:
Hình 5.- Màu đỏ các góc áp dụng định lý Lamy. Nguồn: tự làm.
T 1 / sin 127º = W / sin 106º
Do đó: T 1 = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N
Một lần nữa định lý Lamy được áp dụng để giải T 2 :
T 2 / sin 127 = T 1 / sin 127º
T 2 = T 1 = 498,5 N
Người giới thiệu
- Dòng Figueroa, D.: Vật lý cho Khoa học và Kỹ thuật. Tập 1. Động học. 31-68.
- Vật lý. Mô-đun 8: Vectơ. Được khôi phục từ: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Cơ học cho kỹ sư. Tĩnh Phiên bản thứ 6. Công ty xuất bản Continental 28-66.
- Dòng McLean, W. Schaum. Cơ học cho Kỹ sư: Tin học và Động lực học. Phiên bản thứ 3. Đồi McGraw. 1-15.
- Wikipedia. Véc tơ. Được khôi phục từ: es.wikipedia.org.