Các loại tích phân mà chúng ta tìm thấy trong giải tích là tích phân bất định và tích phân xác định. Mặc dù tích phân xác định có nhiều ứng dụng hơn tích phân bất định nhưng trước hết cần học cách giải tích phân bất định.
Một trong những ứng dụng hấp dẫn nhất của tích phân xác định là tính thể tích của một vật rắn có vòng quay. Cả hai dạng tích phân đều có tính chất tuyến tính giống nhau và kỹ thuật tích phân cũng không phụ thuộc vào dạng tích phân.
Vững chắc của cuộc cách mạng
Nhưng mặc dù rất giống nhau, có một điểm khác biệt chính; trong kiểu tích phân đầu tiên, kết quả là một hàm (không cụ thể) trong khi ở kiểu thứ hai, kết quả là một số.
Các dạng tích phân cơ bản
Thế giới tích phân rất rộng lớn nhưng trong đó ta có thể phân biệt được hai dạng tích phân cơ bản, có tính ứng dụng lớn trong cuộc sống hàng ngày.
1- Tích phân không xác định
Nếu F '(x) = f (x) với mọi x thuộc miền của f, chúng ta nói rằng F (x) là một đạo hàm, một nguyên hàm hoặc một tích phân của f (x).
Mặt khác, chúng ta hãy quan sát rằng (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), điều này ngụ ý rằng tích phân của một hàm không phải là duy nhất, vì cho các giá trị khác nhau cho hằng số C, chúng ta sẽ nhận được các giá trị khác nhau chất diệt khuẩn.
Vì lý do này F (x) + C được gọi là Tích phân không xác định của f (x) và C được gọi là hằng số tích phân và chúng ta viết nó như sau
Không xác định, không thể thiếu
Như chúng ta thấy, tích phân bất định của hàm f (x) là một họ hàm.
Ví dụ, nếu bạn muốn tìm tích phân bất định của hàm f (x) = 3x², trước tiên bạn phải tìm một đạo hàm của f (x).
Dễ thấy rằng F (x) = x³ là một đạo hàm, vì F '(x) = 3x². Do đó, có thể kết luận rằng
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Tích phân xác định
Gọi y = f (x) là một hàm số thực, liên tục trên một khoảng đóng và gọi F (x) là một đạo hàm của f (x). Tích phân xác định của f (x) giữa các giới hạn a và b được gọi là số F (b) -F (a), và được ký hiệu như sau
Định lý cơ bản của Giải tích
Công thức hiển thị ở trên được biết đến nhiều hơn với tên gọi "Định lý Cơ bản của Giải tích." Ở đây "a" được gọi là giới hạn dưới và "b" được gọi là giới hạn trên. Như bạn có thể thấy, tích phân xác định của một hàm là một số.
Trong trường hợp này, nếu tính tích phân xác định của f (x) = 3x² trong khoảng, sẽ thu được một số.
Để xác định số này, chúng ta chọn F (x) = x³ làm đạo hàm của f (x) = 3x². Sau đó, chúng ta tính F (3) -F (0) cho chúng ta 27-0 = 27. Suy ra, tích phân xác định của f (x) trên khoảng là 27.
Có thể lưu ý rằng nếu G (x) = x³ + 3 được chọn, thì G (x) là một đạo hàm của f (x) khác với F (x), nhưng điều này không ảnh hưởng đến kết quả vì G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Vì lý do này, hằng số tích phân không xuất hiện trong các tích phân xác định.
Một trong những ứng dụng hữu ích nhất của loại tích phân này là nó cho phép chúng ta tính diện tích (thể tích) của một hình phẳng (vật rắn có đường kính), thiết lập các hàm và giới hạn tích phân phù hợp (và một trục quay).
Trong tích phân xác định, chúng ta có thể tìm thấy nhiều phần mở rộng khác nhau của nó, chẳng hạn như tích phân đường, tích phân bề mặt, tích phân không đúng, tích phân bội, trong số những phần khác, tất cả đều có những ứng dụng rất hữu ích trong khoa học và kỹ thuật.
Người giới thiệu
- Casteleiro, JM (2012). Có dễ dàng tích hợp không? Sách hướng dẫn tự học. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Phép tính tích phân (Bản minh họa). Madrid: Tòa soạn ESIC.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Toán học Precalculus. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Toán học Precalculus: một cách tiếp cận giải quyết vấn đề (2, Ấn bản có minh họa). Michigan: Hội trường Prentice.
- Kishan, H. (2005). Tích phân tích. Nhà xuất bản & Nhà phân phối Atlantic.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Giải tích (Xuất bản lần thứ chín). Sảnh Prentice.