QUY TẮC SIMPSON: CÔNG THỨC, CHỨNG MINH, VÍ DỤ, BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2026

Các Simpson 's cai trị là một phương pháp để tính toán, tích xấp xỉ, nhất định. Nó dựa trên việc chia khoảng tích phân thành một số chẵn của các khoảng con cách đều nhau.

Các giá trị cực trị của hai khoảng phụ liên tiếp xác định ba điểm, tại đó một parabol, có phương trình là một đa thức bậc hai, phù hợp.

Hình 1. Trong phương pháp của Simpson, khoảng tích phân được chia nhỏ thành một số chẵn các khoảng có chiều rộng bằng nhau. Hàm được xấp xỉ bởi một parabol trong mỗi 2 khoảng con và tích phân được xấp xỉ bằng tổng diện tích dưới parabol. Nguồn: upv.es.

Khi đó diện tích dưới đường cong của hàm số trong hai khoảng liên tiếp gần đúng bằng diện tích của đa thức nội suy. Cộng phần đóng góp vào diện tích dưới parabol của tất cả các khoảng con liên tiếp, chúng ta có giá trị gần đúng của tích phân.

Mặt khác, vì tích phân của một parabol có thể được tính toán chính xác về mặt đại số, nên có thể tìm được công thức giải tích cho giá trị gần đúng của tích phân xác định. Nó được gọi là công thức Simpson.

Do đó, sai số của kết quả gần đúng thu được giảm khi số lượng phân chia n lớn hơn (với n là số chẵn).

Một biểu thức sẽ được đưa ra dưới đây cho phép ước lượng giới hạn trên của sai số của phép gần đúng với tích phân I, khi một phân hoạch của n khoảng con đều đặn của tổng khoảng đã được tạo ra.

Công thức

Khoảng tích phân được chia thành n khoảng con với n là số nguyên chẵn. Chiều rộng của mỗi phân khu sẽ là:

h = (b - a) / n

Bằng cách này, phân vùng được tạo trong khoảng thời gian:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Trong đó X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Công thức cho phép tính gần đúng tích phân I xác định của hàm liên tục, và tốt nhất là trơn trong khoảng là:

Trình diễn

Để có được công thức Simpson, trong mỗi giá trị con, hàm f (X) được xấp xỉ bởi một đa thức bậc hai p (X) (parabol) đi qua ba điểm:; và.

Sau đó, tích phân của đa thức p (x) được tính trong đó nó gần đúng với tích phân của hàm f (X) trong khoảng đó.

Hình 2. Đồ thị biểu diễn công thức Simpson. Nguồn: F. Zapata.

Hệ số của đa thức nội suy

Phương trình của parabol p (X) có dạng tổng quát: p (X) = AX ² + BX + C. Khi parabol đi qua các điểm Q được tô màu đỏ (xem hình vẽ) thì các hệ số A, B, C được xác định từ hệ phương trình sau:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Có thể thấy rằng hệ số C được xác định. Để xác định hệ số A, chúng ta cộng các phương trình thứ nhất và thứ ba thu được:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Khi đó giá trị của C được thay thế và A bị xóa, để lại:

A = / (2 giờ ² )

Để xác định hệ số B, phương trình thứ ba được trừ cho phương trình thứ nhất và B được giải, thu được:

B = = 2 giờ.

Tóm lại, đa thức bậc hai p (X) đi qua các điểm Qi, Qi + 1 và Qi + 2 có các hệ số:

A = / (2 giờ ² )

B = = 2 giờ

C = f (Xi + 1)

Tính tích phân gần đúng trong

Tính gần đúng của tích phân trong

Như đã đề cập, một phân vùng {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} được tạo trên tổng khoảng tích phân với bước h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, trong đó n là số chẵn.

Sai số ước lượng

Lưu ý rằng lỗi giảm dần theo lũy thừa thứ tư của số lượng phân chia trong khoảng thời gian. Ví dụ, nếu bạn đi từ n phân khu thành 2n, thì sai số giảm đi một hệ số 1/16.

Giới hạn trên của sai số thu được bằng phương pháp xấp xỉ Simpson có thể nhận được từ cùng công thức này, thay đạo hàm thứ tư cho giá trị tuyệt đối lớn nhất của đạo hàm thứ tư trong khoảng.

Ví dụ về công việc

- Ví dụ 1

Xét hàm f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Tìm tích phân xác định của hàm f (X) trên khoảng bằng phương pháp Simpson với hai phân thức (n = 2).

Giải pháp

Ta lấy n = 2. Các giới hạn của tích phân là a = -1 và b = -2, vì vậy phân hoạch có dạng như sau:

X0 = -1; X1 = 0 và X2 = +1.

Do đó, công thức Simpson có dạng sau:

Hình 3. Ví dụ về tích phân số theo quy tắc Simpson bằng phần mềm. Nguồn: F. Zapata.

Người giới thiệu

1. Casteleiro, JM 2002. Giải tích toàn diện (Ấn bản có minh họa). Madrid: Tòa soạn ESIC.
2. UPV. Phương pháp của Simpson. Đại học Bách khoa của Valencia. Khôi phục từ: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Phiên bản Giải tích lần thứ IX. Sảnh Prentice.
4. Wikipedia. Quy tắc Simpson. Phục hồi từ: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Nội suy đa thức Lagrange. Phục hồi từ: es.wikipedia.com