ĐỐI XỨNG TRUNG TÂM: TÍNH CHẤT, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2026

Hai điểm A và A 'có tâm đối xứng qua điểm O khi đoạn thẳng AA' đi qua nó và nó cũng là trung điểm của AA '. Điểm O được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng trọng tâm của tam giác ABC với điểm O là một tam giác khác A'B'C 'có các đặc điểm sau:

-Các đoạn cơ học có chiều dài bằng nhau

-Các góc tương ứng của chúng có cùng số đo.

Hình 1. Tam giác ABC và A'B'C 'đối xứng của nó. Nguồn: F. Zapata.

Hình 1 cho thấy một tam giác ABC (đỏ) và tâm đối xứng A'B'C '(xanh lục), đối xứng với tâm O.

Trong cùng một hình này, một người quan sát chú ý sẽ nhận ra rằng kết quả tương tự cũng nhận được khi áp dụng phép quay của tam giác ban đầu, miễn là nó bằng 180º và có tâm là O.

Do đó, phép đối xứng trung tâm tương đương với một phép quay 180º đối với tâm đối xứng.

Tính chất của đối xứng trung tâm

Phép đối xứng trung tâm có các tính chất sau:

- Phép đối xứng tâm là trung điểm của đoạn thẳng nối một điểm với phép đối xứng của nó.

-Một điểm đối xứng của khác nằm ở tâm đối xứng, trùng với tâm đối xứng.

-Đối xứng trọng tâm của tam giác là tam giác đồng dư (bằng) với ban đầu.

-Hình bằng phép đối xứng tâm của một đường tròn là một đường tròn khác có bán kính bằng.

- Một chu vi có tâm đối xứng với tâm của chính nó.

Hình 2. Thiết kế với đối xứng trung tâm. Nguồn: Pixabay.

- Hình elip có tâm đối xứng với tâm của nó.

-Một đoạn thẳng có đối xứng tâm đối với trung điểm của nó.

- Tam giác đều không có phép đối xứng trọng tâm đối với tâm của nó, bởi vì phép đối xứng của nó, mặc dù đồng dư với đầu tiên, cho một tam giác đều quay.

-Các hình vuông có tâm đối xứng với tâm của chúng.

-Một ngũ giác thiếu đối xứng trung tâm đối với tâm của nó.

- Đa giác đều có đối xứng tâm khi chúng có số cạnh là số chẵn.

Ví dụ

Tiêu chí đối xứng có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Đối xứng trung tâm có trong tự nhiên, ví dụ như tinh thể băng và mạng nhện có kiểu đối xứng này.

Hơn nữa, nhiều vấn đề được giải quyết dễ dàng khi tận dụng sự tồn tại của phép đối xứng trung tâm và các loại đối xứng khác. Do đó, rất thuận tiện để nhanh chóng xác định khi nó xảy ra.

Hình 3. Tinh thể nước đá có đối xứng trung tâm. Nguồn: Pixabay.

ví dụ 1

Cho một điểm P có tọa độ (a, b), ta phải tìm tọa độ của điểm P 'đối xứng của nó với gốc tọa độ O (0, 0).

Điều đầu tiên là dựng điểm P ', trên đó kẻ một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và đi qua điểm P. Phương trình của đường thẳng này là y = (b / a) x.

Bây giờ chúng ta hãy gọi (a ', b') là tọa độ của điểm đối xứng P '. Điểm P 'phải nằm trên đường thẳng đi qua O và do đó nó đúng: b' = (b / a) a '. Hơn nữa, khoảng cách OP phải bằng OP ', ở dạng phân tích được viết như sau:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Sau đây là thay b '= trong biểu thức trước và bình phương cả hai vế của đẳng thức để loại bỏ căn bậc hai: (a ² + b ² ) =

Bằng cách rút ra thừa số chung và đơn giản hóa, chúng ta nhận được rằng a ' ² = a ² . Phương trình này có hai nghiệm thực: a '= + a hoặc a' = -a.

Để lấy b ', chúng ta lại sử dụng b' = (b / a) a '. Nếu nghiệm dương của a 'được thay thế, chúng ta đi đến rằng b' = b. Và khi nghiệm âm được thay thế thì b '= -b.

Giải pháp dương cho P 'cùng điểm P, vì vậy nó bị loại bỏ. Nghiệm âm chắc chắn cho tọa độ của điểm đối xứng:

P ': (-a, -b)

Ví dụ 2

Yêu cầu chứng tỏ rằng một đoạn thẳng AB và tâm đối xứng trung tâm A'B 'của nó có cùng độ dài.

Bắt đầu với tọa độ của điểm A là (Ax, Ay) và tọa độ của điểm B: (Bx, By), độ dài đoạn thẳng AB là:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² )

Bằng phép tương tự, đoạn đối xứng A'B 'sẽ có độ dài là:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (Theo' - Ay ') ² )

Tọa độ của điểm đối xứng A 'là Ax' = -Ax và Ay '= -Ay. Tương tự những điểm của B 'là Bx' = -Bx và By '= -By. Nếu thay các tọa độ này vào phương trình của khoảng cách d (A'B ') ta có:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ) tương đương với:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² ) = d (AB)

Do đó được chứng minh rằng cả hai đoạn đều có cùng độ dài.

Bài tập đã giải

- Bài tập 1

Chứng tỏ rằng phép đối xứng tâm O của đường tròn bán kính R và tâm O là cùng một đường tròn ban đầu.

Giải pháp

Phương trình của đường tròn bán kính R và tâm O (0,0) là:

x ² + y ² = R ² (Phương trình của chu vi C)

Nếu tại mỗi điểm P thuộc chu vi y của tọa độ (x, y) đối xứng của nó với tọa độ (x ', y') thì phương trình của chu vi đối xứng là:

x ' ² + y' ² = R ² (Phương trình của đường tròn đối xứng C ')

Bây giờ chúng ta tham khảo kết quả của ví dụ 1, trong đó kết luận rằng tọa độ của một điểm P ', đối xứng với P và với tọa độ (a, b), là (-a, -b).

Nhưng trong bài tập này, điểm P có tọa độ (x, y) nên P 'đối xứng của nó sẽ có tọa độ x' = -xe y '= -y. Thay điều này vào phương trình của đường tròn đối xứng ta có:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Tương đương với: x ² + y ² = R ² , kết luận rằng tâm đối xứng của một đường tròn đối với tâm của nó là chính đường tròn đó.

- Bài tập 2

Chỉ ra dưới dạng hình học rằng phép đối xứng trung tâm bảo toàn các góc.

Giải pháp

Hình 4. Dựng các điểm đối xứng cho bài tập 2. Nguồn: F. Zapata.

Có ba điểm A, B và C trên mặt phẳng. Các phép đối xứng A ', B' và C 'của nó được xây dựng theo phép đối xứng tâm O, như trong hình 4.

Bây giờ ta phải chứng tỏ rằng góc ∡ABC = β có cùng số đo với góc ∡A'B'C '= β'.

Vì C và C 'đối xứng nhau nên OC = OC'. Tương tự OB = OB 'và OA = OA'. Mặt khác, góc ∡BOC = ∡B'OC 'vì chúng đối đỉnh với nhau.

Do đó các tam giác BOC và B'OC 'đồng dạng vì chúng có góc giữa hai cạnh bằng nhau.

Vì BOC đồng dạng với B'OC 'nên các góc γ và γ' bằng nhau. Nhưng các góc này, ngoài việc thỏa mãn γ = γ ', còn là các góc trong giữa hai đường thẳng BC và B'C', điều này ngụ ý rằng đường thẳng BC song song với B'C '.

Tương tự BOA đồng dư với B'OA 'mà theo đó α = α'. Nhưng α và α 'là góc trong xen kẽ giữa hai đường thẳng BA và B'A', từ đó kết luận đường thẳng BA song song với B'A '.

Vì góc ∡ABC = β có các cạnh của nó song song với góc ∡A'B'C '= β' và cả hai đều nhọn nên kết luận rằng:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Chứng minh theo cách này, rằng phép đối xứng trung tâm bảo toàn số đo các góc.

Người giới thiệu

1. Baldor, JA 1973. Hình học Mặt phẳng và Không gian. Văn hóa Trung Mỹ.
2. Các định luật và công thức toán học. Các hệ thống đo góc. Phục hồi từ: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Hình học Mặt phẳng. Khôi phục từ: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Đối xứng trung tâm. Phục hồi từ: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Băng chuyền. Phục hồi từ: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Kết hợp các góc bên trong và bên ngoài. Phục hồi từ: liveseder.com