LÝ THUYẾT TẬP HỢP: ĐẶC ĐIỂM, YẾU TỐ, VÍ DỤ, BÀI TẬP - TOÁN HỌC

Các lý thuyết tập hợp là một nhánh của logic mà toán học có nhiệm vụ nghiên cứu về mối quan hệ giữa các thực thể gọi là bộ. Các tập hợp có đặc điểm là tập hợp các đối tượng có cùng bản chất. Các đối tượng đã nói là các phần tử của tập hợp và có thể là: số, chữ cái, hình hình học, các từ biểu thị đối tượng, bản thân đối tượng và các đối tượng khác.

Chính Georg Cantor, vào cuối thế kỷ 19, người đã đề xuất lý thuyết tập hợp. Trong khi các nhà toán học nổi tiếng khác trong thế kỷ 20 đã chính thức hóa: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel và những người khác.

Hình 1. Biểu đồ Venn của tập hợp A, B và giao điểm của chúng A⋂ B. (Giải thích riêng).

Biểu đồ Venn là cách đồ họa để biểu diễn một tập hợp và nó bao gồm một hình phẳng khép kín bên trong là các phần tử của tập hợp.

Ví dụ, trong hình 1 cho thấy hai tập hợp A và B có các phần tử chung, các phần tử chung cho A và B. Các tập hợp này tạo thành một tập hợp mới được gọi là tập hợp giao của A và B, được viết dưới dạng tượng trưng như sau:

A ∩ B

nét đặc trưng

Tập hợp là một khái niệm ban đầu vì nó là khái niệm điểm, đường thẳng hoặc mặt phẳng trong hình học. Không có cách nào tốt hơn để diễn đạt khái niệm bằng cách chỉ ra các ví dụ:

Tập hợp E được tạo thành bởi các màu của quốc kỳ Tây Ban Nha. Cách thể hiện tập hợp này được gọi là hiểu. Tập E tương tự được viết bởi phần mở rộng là:

E = {đỏ, vàng}

Trong trường hợp này, màu đỏ và màu vàng là các phần tử của tập E. Cần lưu ý rằng các phần tử được liệt kê trong dấu ngoặc nhọn và không được lặp lại. Trong trường hợp cờ Tây Ban Nha, có ba sọc màu (đỏ, vàng, đỏ), hai trong số đó được lặp lại, nhưng các yếu tố không được lặp lại khi toàn bộ được thể hiện.

Giả sử tập hợp V được tạo thành bởi ba chữ cái nguyên âm đầu tiên:

V = {a, e, i}

Tập hợp lũy thừa của V, ký hiệu là P (V) là tập hợp tất cả các tập hợp có thể tạo thành với các phần tử của V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Các loại bộ

Tập hợp hữu hạn

Nó là một tập hợp trong đó các phần tử của nó có thể đếm được. Ví dụ về các tập hợp hữu hạn là các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Tây Ban Nha, các nguyên âm của tiếng Tây Ban Nha, các hành tinh trong Hệ Mặt trời, trong số những chữ cái khác. Số phần tử trong một tập hợp hữu hạn được gọi là số lượng phần tử của nó.

Tập hợp vô hạn

Tập hợp vô hạn được hiểu là tất cả những gì mà số phần tử của nó là không đếm được, vì cho dù số phần tử của nó có lớn đến đâu thì vẫn luôn có thể tìm được nhiều phần tử hơn.

Một ví dụ về tập hợp vô hạn là tập hợp các số tự nhiên N, ở dạng mở rộng được biểu diễn như sau:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Rõ ràng là một tập vô hạn, vì cho dù một số tự nhiên có thể lớn đến đâu, thì số lớn nhất tiếp theo luôn có thể được tìm thấy, trong một quá trình vô tận. Rõ ràng hệ số của một tập hợp vô hạn là ∞.

Bộ trống

Nó là tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào. Tập hợp rỗng V được ký hiệu bằng Ø hoặc bằng một cặp khóa không có phần tử bên trong:

V = {} = Ø.

Tập hợp rỗng là duy nhất, do đó phải nói "tập hợp rỗng" là không chính xác, dạng đúng là nói "tập hợp rỗng".

Trong số các thuộc tính của tập rỗng, chúng ta có rằng nó là tập con của bất kỳ tập hợp nào:

Ø ⊂ A

Hơn nữa, nếu một tập hợp là tập hợp con của tập hợp trống, thì tập hợp nhất thiết đã nói sẽ là chân không:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Bộ đơn nhất

Tập hợp đơn vị là bất kỳ tập hợp nào có chứa một phần tử duy nhất. Ví dụ, tập hợp các vệ tinh tự nhiên của Trái đất là một tập hợp đơn nhất, có phần tử duy nhất là Mặt trăng. Tập hợp B gồm các số nguyên nhỏ hơn 2 và lớn hơn 0 chỉ có phần tử 1, do đó nó là tập đơn vị.

Bộ nhị phân

Một tập hợp là nhị phân nếu nó chỉ có hai phần tử. Ví dụ tập hợp X, sao cho x là nghiệm số thực của x ^ 2 = 2. Tập hợp mở rộng này được viết như sau:

X = {-√2, + √2}

Bộ phổ quát

Tập hợp vạn năng là tập hợp chứa các tập hợp khác cùng loại hoặc cùng tính chất. Ví dụ, tập hợp các số tự nhiên phổ quát là tập các số thực. Nhưng các số thực là một tập hợp phổ quát của các số nguyên và các số hữu tỉ.

Vật phẩm thiết yếu

- Quan hệ giữa các bộ

Trong tập hợp, nhiều kiểu quan hệ khác nhau có thể được thiết lập giữa chúng và các phần tử của chúng. Nếu hai tập hợp A và B có các phần tử giống nhau hoàn toàn giữa chúng thì một quan hệ bình đẳng được thiết lập, ký hiệu như sau:

A = B

Nếu tất cả các phần tử của tập hợp A thuộc tập hợp B, nhưng không phải tất cả các phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp A, thì giữa các tập hợp này có một quan hệ bao hàm được ký hiệu như sau:

A ⊂ B, nhưng B ⊄ A

Biểu thức trên viết: A là một tập con của B, nhưng B không phải là một tập con của A.

Để chỉ ra rằng một số phần tử hoặc các phần tử thuộc một tập hợp, ký hiệu liên thuộc ∈ được sử dụng, ví dụ để nói rằng phần tử x hoặc các phần tử thuộc tập hợp A được viết theo ký hiệu như sau:

x ∈ A

Nếu một phần tử không thuộc tập A, quan hệ này được viết như sau:

và ∉ A

Mối quan hệ thành viên tồn tại giữa các phần tử của một tập hợp và tập hợp, với ngoại lệ duy nhất của tập hợp lũy thừa, tập hợp lũy thừa là tập hợp hoặc tập hợp của tất cả các tập hợp có thể được tạo thành với các phần tử của tập hợp nói trên.

Giả sử V = {a, e, i}, tập lũy thừa của nó là P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, trong trường hợp đó tập V trở thành phần tử của tập P (V) và có thể viết:

V ∈ P (V)

- Thuộc tính của bao gồm

Thuộc tính đầu tiên của bao hàm thiết lập rằng mọi tập hợp đều được chứa trong chính nó, hay nói cách khác, nó là tập hợp con của chính nó:

A ⊂ A

Tính chất khác của bao hàm là tính siêu nhạy: nếu A là tập con của B và B lần lượt là tập con của C, thì A là tập hợp con của C. Ở dạng ký hiệu, quan hệ chuyển đổi được viết như sau:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Dưới đây là biểu đồ Venn tương ứng với độ nhạy của việc đưa vào:

Hình 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Các phép toán giữa các bộ

Ngã tư

Giao là một phép toán giữa hai tập hợp làm phát sinh một tập hợp mới thuộc cùng một tập hợp phổ quát như hai tập hợp đầu tiên. Theo nghĩa đó, nó là một hoạt động khép kín.

Về mặt hình tượng, hoạt động giao cắt được xây dựng như sau:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Một ví dụ như sau: tập hợp A gồm các chữ cái trong từ “phần tử” và tập hợp B gồm các chữ cái của từ “lặp lại”, phần giao giữa A và B được viết như thế này:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Tập hợp phổ quát U của A, B và cả A⋂B là tập hợp các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Tây Ban Nha.

liên hiệp

Hợp của hai tập hợp là tập hợp được tạo thành bởi các phần tử chung của hai tập hợp và các phần tử không chung của hai tập hợp. Phép toán hợp nhất giữa các tập hợp được biểu thị một cách tượng trưng như thế này:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Sự khác biệt

Phép toán sai khác của tập A trừ tập B được ký hiệu là AB. AB là một tập hợp mới được tạo thành bởi tất cả các phần tử thuộc A và không thuộc B. Một cách tượng trưng, nó được viết như thế này:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Hình 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Sự khác biệt đối xứng

Sự khác biệt đối xứng là một phép toán giữa hai tập hợp trong đó tập hợp kết quả được tạo thành từ các phần tử không chung cho hai tập hợp. Sự khác biệt đối xứng được biểu diễn một cách tượng trưng như sau:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Ví dụ

ví dụ 1

Biểu đồ Venn là một cách đồ họa để biểu diễn các tập hợp. Ví dụ, tập hợp C của các chữ cái trong tập hợp từ được biểu diễn như sau:

Ví dụ 2

Dưới đây là biểu đồ Venn cho thấy tập hợp các nguyên âm trong từ "set" là một tập hợp con của tập hợp các chữ cái trong từ "set".

Ví dụ 3

Tập hợp Ñ của các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Tây Ban Nha là một tập hợp hữu hạn, tập hợp này theo phần mở rộng được viết như sau:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} và bản số của nó là 27.

Ví dụ 4

Tập hợp V của các nguyên âm trong tiếng Tây Ban Nha là tập con của tập Ñ:

V ⊂ Ñ do đó là một tập hữu hạn.

Tập hữu hạn V ở dạng mở rộng được viết như sau: V = {a, e, i, o, u} và tổng số của nó là 5.

Ví dụ 5

Cho các tập hợp A = {2, 4, 6, 8} và B = {1, 2, 4, 7, 9}, hãy xác định AB và BA.

A - B là các phần tử của A không thuộc B:

A - B = {6, 8}

B - A là các phần tử của B không có trong A:

B - A = {1, 7, 9}

Bài tập đã giải

Bài tập 1

Viết dưới dạng kí hiệu và cũng có thể mở rộng tập hợp P gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10.

Lời giải: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Bài tập 2

Giả sử tập hợp A tạo thành bởi các số tự nhiên thừa số 210 và tập hợp B tạo thành bởi các số tự nhiên nguyên tố nhỏ hơn 9. Xác định bằng cách mở rộng cả hai tập hợp và thiết lập mối quan hệ giữa hai tập hợp.

Giải: Để xác định các phần tử của tập A, ta phải bắt đầu bằng việc tìm các thừa số của số tự nhiên 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Khi đó tập A được viết:

A = {2, 3, 5, 7}

Bây giờ chúng ta xét tập B, là các số nguyên tố nhỏ hơn 9. 1 không phải là số nguyên tố vì nó không thỏa mãn định nghĩa về số nguyên tố: "một số là số nguyên tố nếu và chỉ khi nó có đúng hai ước, 1 và chính số đó." Số 2 là số chẵn và đồng thời là số nguyên tố vì thỏa mãn định nghĩa của một số nguyên tố, các số nguyên tố khác nhỏ hơn 9 là 3, 5 và 7. Vậy tập hợp B là:

B = {2, 3, 5, 7}

Do đó hai tập hợp bằng nhau: A = B.

Bài tập 3

Xác định tập hợp có các phần tử x khác x.

Lời giải: C = {x / x ≠ x}

Vì mọi phần tử, số hoặc đối tượng đều bằng chính nó, nên tập C không thể khác với tập rỗng:

C = Ø

Bài tập 4

Gọi tập hợp N gồm các số tự nhiên và Z là tập hợp các số nguyên. Xác định N ⋂ Z và N ∪ Z.

Giải pháp:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z vì N ⊂ Z.

Người giới thiệu

Garo, M. (2014). Toán học: phương trình bậc hai: Cách giải một phương trình bậc hai. Marilù Garo.
Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Toán học cho quản lý và kinh tế. Giáo dục Pearson.
Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Toán học 1 SEP. Ngưỡng.
Preciado, CT (2005). Môn Toán học thứ 3. Biên tập Progreso.
Toán 10 (2018). "Ví dụ về Tập hợp hữu hạn". Phục hồi từ: matematicas10.net
Wikipedia. Lý thuyết tập hợp. Phục hồi từ: es.wikipedia.com

LÝ THUYẾT TẬP HỢP: ĐẶC ĐIỂM, YẾU TỐ, VÍ DỤ, BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2025