Các Bayes Theorem là một thủ tục cho phép chúng tôi để bày tỏ xác suất có điều kiện của một sự kiện ngẫu nhiên Một cho B, trong điều khoản của phân bố xác suất của sự kiện A và B vì sự phân bố xác suất chỉ A.
Định lý này rất hữu ích, vì nhờ nó chúng ta có thể liên hệ xác suất một sự kiện A xảy ra khi biết rằng B xảy ra, với xác suất điều ngược lại xảy ra, tức là B xảy ra với A.
Định lý Bayes là một mệnh đề bạc của Mục sư Thomas Bayes, một nhà thần học người Anh thế kỷ 18, đồng thời cũng là một nhà toán học. Ông là tác giả của một số công trình trong lĩnh vực thần học, nhưng ngày nay ông được biết đến với một vài luận thuyết toán học, trong đó Định lý Bayes nói trên là kết quả chính.
Bayes đã giải quyết định lý này trong một tác phẩm có tựa đề "Một bài luận hướng tới giải quyết một vấn đề trong học thuyết về cơ hội", xuất bản năm 1763, và trên đó những con số tuyệt vời đã được phát triển. các nghiên cứu có ứng dụng trong các lĩnh vực kiến thức khác nhau.
Giải trình
Trước tiên, để hiểu rõ hơn về định lý này, một số khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất là cần thiết, đặc biệt là định lý nhân cho xác suất có điều kiện, trong đó nói rằng
Đối với biến cố E và A tùy ý của không gian mẫu S.
Và định nghĩa về phân vùng, cho chúng ta biết rằng nếu chúng ta có A 1 , A 2 , …, A n sự kiện của không gian mẫu S, chúng sẽ tạo thành một phân hoạch của S, nếu A i loại trừ lẫn nhau và liên hợp của chúng là S.
Cho điều này, hãy cho B là một sự kiện khác. Vì vậy, chúng ta có thể xem B là
Trường hợp A i giao với B là các sự kiện loại trừ lẫn nhau.
Và kết quả là,
Sau đó, áp dụng định lý nhân
Mặt khác, xác suất có điều kiện của Ai cho trước B được xác định bởi
Thay thế thích hợp, chúng tôi có điều đó cho bất kỳ
Các ứng dụng của Định lý Bayes
Nhờ kết quả này, các nhóm nghiên cứu và các tập đoàn khác nhau đã có thể cải thiện các hệ thống dựa trên tri thức.
Ví dụ, trong nghiên cứu về bệnh tật, định lý Bayes có thể giúp phân biệt xác suất bệnh tật được tìm thấy trong một nhóm người có một đặc điểm nhất định, lấy làm dữ liệu về tỷ lệ toàn cầu của bệnh và tỷ lệ phổ biến của các đặc điểm nói trên trong cả người khỏe mạnh và người ốm yếu.
Mặt khác, trong thế giới công nghệ cao, nó đã ảnh hưởng đến các công ty lớn đã phát triển, nhờ vào kết quả này, phần mềm “Dựa trên tri thức”.
Như một ví dụ hàng ngày, chúng tôi có trợ lý Microsoft Office. Định lý Bayes giúp phần mềm đánh giá các vấn đề mà người dùng trình bày và xác định lời khuyên nên đưa ra cho anh ta và do đó có thể cung cấp dịch vụ tốt hơn theo thói quen của người dùng.
Đáng chú ý, công thức này đã bị bỏ qua cho đến thời gian gần đây, điều này chủ yếu là vì khi kết quả này được phát triển cách đây 200 năm, có rất ít ứng dụng thực tế cho chúng. Tuy nhiên, ở thời đại của chúng ta, nhờ những tiến bộ vượt bậc về công nghệ, các nhà khoa học đã tìm ra nhiều cách để đưa kết quả này vào thực tế.
Bài tập đã giải
Bài tập 1
Một công ty điện thoại di động có hai máy A và B. 54% số điện thoại di động được sản xuất bởi máy A và phần còn lại bằng máy B. Không phải tất cả các điện thoại di động được sản xuất đều ở trạng thái tốt.
Tỷ lệ điện thoại di động bị lỗi của A là 0,2 và của B là 0,5. Xác suất để một điện thoại di động từ nhà máy đó bị lỗi? Xác suất để biết rằng một điện thoại bị lỗi do máy A là?
Giải pháp
Ở đây, bạn có một thử nghiệm được thực hiện thành hai phần; trong phần đầu tiên các sự kiện xảy ra:
A: tế bào do máy A tạo ra.
B: tế bào do máy B tạo ra.
Vì máy A sản xuất 54% điện thoại di động và phần còn lại do máy B sản xuất nên máy B sản xuất 46% điện thoại di động. Xác suất của những sự kiện này được đưa ra, cụ thể là:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Các sự kiện của phần thứ hai của thử nghiệm là:
D: điện thoại di động bị lỗi.
E: điện thoại di động không lỗi.
Như đã nêu trong tuyên bố, xác suất của những sự kiện này phụ thuộc vào kết quả thu được trong phần đầu tiên:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Bằng cách sử dụng các giá trị này, xác suất của các phần bổ sung của các sự kiện này cũng có thể được xác định, đó là:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
và
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Bây giờ sự kiện D có thể được viết như sau:
Sử dụng Định lý Nhân cho các kết quả xác suất có điều kiện:
Sau đó câu hỏi đầu tiên được trả lời.
Bây giờ chúng ta chỉ cần tính P (AD), theo đó Định lý Bayes được áp dụng:
Nhờ định lý Bayes, có thể phát biểu rằng xác suất để một điện thoại di động được sản xuất bởi máy A, biết rằng điện thoại di động bị lỗi là 0,319.
Bài tập 2
Ba hộp chứa các quả bóng đen và trắng. Thành phần của mỗi chúng như sau: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Một trong các hộp được chọn ngẫu nhiên và một quả bóng được rút ngẫu nhiên có màu trắng. Hộp nào có nhiều khả năng đã được chọn nhất?
Giải pháp
Sử dụng U1, U2 và U3, chúng tôi cũng sẽ đại diện cho hộp đã chọn.
Các sự kiện này tạo thành một phân hoạch của S và người ta xác nhận rằng P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 vì việc chọn hộp là ngẫu nhiên.
Nếu B = {quả bóng được rút ra có màu trắng}, ta sẽ có P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Điều chúng ta muốn lấy là xác suất để quả bóng được lấy ra khỏi hộp Ui biết rằng quả bóng đó có màu trắng, nghĩa là P (Ui -B), và xem giá trị nào trong ba giá trị là cao nhất để biết trong số đó hộp có nhiều khả năng là trích xuất bi cái.
Áp dụng định lý Bayes cho ô đầu tiên:
Và đối với hai phần còn lại:
P (U2-B) = 2/6 và P (U3-B) = 1/6.
Sau đó, hộp đầu tiên là hộp có xác suất cao nhất được chọn để lấy bi cái.
Người giới thiệu
- Kai Lai Chung. Lý thuyết về tính ổn định cơ bản với các quy trình ngẫu nhiên. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen, Toán học rời rạc và các ứng dụng của nó. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Ứng dụng xác suất và thống kê. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Tiến sĩ Seymour Lipschutz 2000 Các vấn đề đã được giải quyết của Toán học rời rạc. McGRAW-HILL.
- Tiến sĩ Seymour Lipschutz Lý thuyết và các vấn đề xác suất. McGRAW-HILL.