ĐỊNH LÝ CHEBYSHOV: NÓ LÀ GÌ, ỨNG DỤNG VÀ VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Các định lý Chebyshev (Chebyshev hoặc bất bình đẳng) là một trong những kết quả cổ điển quan trọng của lý thuyết xác suất. Nó cho phép ước tính xác suất của một sự kiện được mô tả theo biến ngẫu nhiên X, bằng cách cung cấp cho chúng ta một giới hạn không phụ thuộc vào phân phối của biến ngẫu nhiên mà phụ thuộc vào phương sai của X.

Định lý được đặt theo tên của nhà toán học người Nga Pafnuty Chebyshov (còn được viết là Chebychev hoặc Tchebycheff), người mặc dù không phải là người đầu tiên phát biểu định lý, nhưng là người đầu tiên đưa ra chứng minh vào năm 1867.

Bất đẳng thức này, hoặc những bất đẳng thức do các đặc điểm của chúng được gọi là bất đẳng thức Chebyshov, được sử dụng chủ yếu để xác suất gần đúng bằng cách tính toán độ cao.

Nó bao gồm những gì?

Trong nghiên cứu lý thuyết xác suất, xảy ra rằng nếu biết hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên X, thì giá trị kỳ vọng của nó - hoặc kỳ vọng toán học E (X) - và phương sai Var (X) của nó có thể được tính toán, miễn là số tiền như vậy tồn tại. Tuy nhiên, điều ngược lại không nhất thiết phải đúng.

Tức là, biết E (X) và Var (X) thì không nhất thiết có thể có được hàm phân phối của X, do đó rất khó lấy được các đại lượng như P (-X-> k) với k> 0. Nhưng nhờ bất đẳng thức Chebyshov có thể ước lượng xác suất của biến ngẫu nhiên.

Định lý Chebyshov cho chúng ta biết rằng nếu chúng ta có một biến ngẫu nhiên X trên không gian mẫu S với hàm xác suất p và nếu k> 0, thì:

Ứng dụng và ví dụ

Trong số rất nhiều ứng dụng của định lý Chebyshov, có thể kể đến những điều sau:

Giới hạn xác suất

Đây là ứng dụng phổ biến nhất và được sử dụng để đưa ra giới hạn trên cho P (-XE (X) -≥k) trong đó k> 0, chỉ với phương sai và kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, mà không cần biết hàm xác suất .

ví dụ 1

Giả sử rằng số lượng sản phẩm được sản xuất trong một công ty trong một tuần là một biến ngẫu nhiên với giá trị trung bình là 50.

Nếu phương sai của một tuần sản xuất được biết là bằng 25, thì chúng ta có thể nói gì về xác suất để tuần này sản lượng khác hơn 10 so với giá trị trung bình?

Giải pháp

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshov ta có:

Từ đó chúng ta có thể nhận được rằng xác suất để trong tuần sản xuất số lượng bài báo vượt quá mức trung bình trên 10 là nhiều nhất là 1/4.

Định lý Chứng minh Giới hạn

Bất đẳng thức Chebyshov đóng một vai trò quan trọng trong việc chứng minh các định lý giới hạn quan trọng nhất. Ví dụ chúng tôi có như sau:

Yếu tố luật số lớn

Luật này phát biểu rằng cho một chuỗi X1, X2,…, Xn,… gồm các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối trung bình E (Xi) = μ và phương sai Var (X) = σ ² , và một mẫu trung bình đã biết của:

Khi đó với k> 0 chúng ta có:

Hoặc, tương đương:

Trình diễn

Đầu tiên chúng ta hãy chú ý những điều sau:

Vì X1, X2,…, Xn là độc lập nên nó như sau:

Do đó, có thể phát biểu như sau:

Sau đó, sử dụng định lý Chebyshov, chúng ta có:

Cuối cùng, định lý là kết quả của thực tế là giới hạn bên phải bằng 0 khi n tiến đến vô cùng.

Cần lưu ý rằng thử nghiệm này chỉ được thực hiện cho trường hợp tồn tại phương sai của Xi; nghĩa là, nó không phân kỳ. Do đó chúng ta thấy rằng định lý luôn đúng nếu tồn tại E (Xi).

Định lý giới hạn Chebyshov

Nếu X1, X2,…, Xn,… là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho tồn tại một số C <vô cùng, sao cho Var (Xn) ≤ C với mọi n tự nhiên, thì với mọi k> 0:

Trình diễn

Vì dãy phương sai được giới hạn đồng nhất, chúng ta có Var (Sn) ≤ C / n, với mọi n tự nhiên. Nhưng chúng tôi biết rằng:

Làm cho n có xu hướng đến vô cùng, kết quả sau:

Vì xác suất không thể vượt quá giá trị 1, nên kết quả mong muốn sẽ thu được. Theo hệ quả của định lý này, chúng ta có thể đề cập đến trường hợp cụ thể của Bernoulli.

Nếu một thử nghiệm được lặp lại n lần một cách độc lập với hai kết quả có thể xảy ra (thất bại và thành công), trong đó p là xác suất thành công của mỗi thử nghiệm và X là biến ngẫu nhiên đại diện cho số lần thành công thu được, thì với mỗi k> 0 bạn phải:

Cỡ mẫu

Về phương sai, bất đẳng thức Chebyshov cho phép chúng ta tìm được cỡ mẫu n đủ để đảm bảo rằng xác suất xảy ra -Sn-μ -> = k là nhỏ như mong muốn, điều này cho phép chúng ta có giá trị gần đúng đến mức trung bình.

Cụ thể, đặt X1, X2,… Xn là một mẫu của các biến ngẫu nhiên độc lập có kích thước n và giả sử rằng E (Xi) = μ và phương sai của nó σ ² . Sau đó, theo bất đẳng thức Chebyshov, chúng ta có:

Thí dụ

Giả sử rằng X1, X2,… Xn là một mẫu của các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Bernoulli, sao cho chúng nhận giá trị 1 với xác suất p = 0,5.

Kích thước của mẫu phải là bao nhiêu để có thể đảm bảo rằng xác suất chênh lệch giữa trung bình cộng Sn và giá trị kỳ vọng của nó (vượt quá 0,1), nhỏ hơn hoặc bằng 0,01?

Giải pháp

Ta có E (X) = μ = p = 0,5 và Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Theo bất đẳng thức Chebyshov, với bất kỳ k> 0 nào, ta có:

Bây giờ, lấy k = 0,1 và δ = 0,01, chúng ta có:

Theo cách này, người ta kết luận rằng cần cỡ mẫu ít nhất là 2.500 để đảm bảo rằng xác suất của sự kiện -Sn - 0,5 -> = 0,1 nhỏ hơn 0,01.

Bất đẳng thức kiểu Chebyshov

Có một số bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Chebyshov. Một trong những bất đẳng thức được biết đến nhiều nhất là bất đẳng thức Markov:

Trong biểu thức này, X là biến ngẫu nhiên không âm với k, r> 0.

Bất đẳng thức Markov có thể có các dạng khác nhau. Ví dụ, cho Y là một biến ngẫu nhiên không âm (do đó P (Y> = 0) = 1) và giả sử rằng tồn tại E (Y) = μ. Cũng giả sử rằng (E (Y)) ^r = μ _r tồn tại với một số nguyên r> 1. Vì thế:

Một bất đẳng thức khác là Gaussian, cho chúng ta biết rằng cho một biến ngẫu nhiên đơn phương thức X có mode bằng 0, thì với k> 0,

Người giới thiệu

1. Kai Lai Chung. Lý thuyết về tính ổn định cơ bản với các quy trình ngẫu nhiên. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, Toán học rời rạc và các ứng dụng của nó. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Ứng dụng xác suất và thống kê. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Tiến sĩ Seymour Lipschutz 2000 Các vấn đề đã được giải quyết của Toán học rời rạc. McGRAW-HILL.
5. Tiến sĩ Seymour Lipschutz Lý thuyết và các vấn đề xác suất. McGRAW-HILL.