- Công thức và trình diễn
- Định lý độ cao
- Trình diễn
- Định lý chân
- Trình diễn
- Mối quan hệ giữa các định lý Euclid
- Bài tập đã giải
- ví dụ 1
- Giải pháp
- Ví dụ 2
- Giải pháp
- Người giới thiệu
Các định lý của Euclid cho thấy các thuộc tính của một hình tam giác với vẽ một đường mà chia nó thành hai tam giác mới tương tự và ngược lại, tương tự như các tam giác ban đầu; khi đó, có mối quan hệ tỷ lệ thuận.
Euclid là một trong những nhà toán học và hình học vĩ đại nhất thời cổ đại, người đã thực hiện một số chứng minh của các định lý quan trọng. Một trong những cái chính là cái mang tên ông, đã được ứng dụng rộng rãi.
Điều này đã xảy ra bởi vì, thông qua định lý này, nó giải thích một cách đơn giản các mối quan hệ hình học tồn tại trong tam giác vuông, trong đó các chân của tam giác liên quan đến các hình chiếu của chúng trên cạnh huyền.
Công thức và trình diễn
Định lý Euclid đề xuất rằng trong mọi tam giác vuông, khi một đường thẳng được vẽ - biểu thị chiều cao tương ứng với đỉnh của góc vuông đối với cạnh huyền - thì hai tam giác vuông được hình thành từ ban đầu.
Các tam giác này sẽ tương tự với nhau và cũng sẽ giống với tam giác ban đầu, có nghĩa là các cạnh tương tự của chúng tỷ lệ với nhau:
Các góc của ba tam giác là đồng dư; có nghĩa là, khi chúng được quay 180 độ về đỉnh của chúng, một góc trùng với góc kia. Điều này ngụ ý rằng tất cả chúng sẽ giống nhau.
Bằng cách này, sự đồng dạng tồn tại giữa ba tam giác cũng có thể được xác minh bằng sự bằng nhau của các góc của chúng. Từ sự đồng dạng của các tam giác, Euclid thiết lập tỷ lệ của chúng từ hai định lý:
- Định lý độ cao.
- Định lý về chân.
Định lý này có một ứng dụng rộng rãi. Trong thời cổ đại, nó được sử dụng để tính độ cao hoặc khoảng cách, đại diện cho một bước tiến vượt bậc của lượng giác.
Nó hiện đang được áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau dựa trên toán học, chẳng hạn như kỹ thuật, vật lý, hóa học và thiên văn học, trong số nhiều lĩnh vực khác.
Định lý độ cao
Theo định lý này, người ta thấy rằng trong bất kỳ tam giác vuông nào, chiều cao vẽ từ góc vuông đối với cạnh huyền là trung bình tỷ lệ hình học (bình phương chiều cao) giữa các hình chiếu của chân mà nó xác định trên cạnh huyền.
Nghĩa là, bình phương chiều cao sẽ bằng phép nhân các chân chiếu tạo thành cạnh huyền:
h c 2 = m * n
Trình diễn
Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh C, kẻ đường cao tạo thành hai tam giác vuông đồng dạng là ADC và BCD; do đó, các cạnh tương ứng của chúng tỷ lệ với nhau:
Theo cách sao cho độ cao h c tương ứng với đoạn thẳng CD, tương ứng với cạnh huyền AB = c, do đó ta có:
Đổi lại, điều này tương ứng với:
Giải cho cạnh huyền (h c ), nhân hai phần tử của đẳng thức, ta có:
h c * h c = m * n
h c 2 = m * n
Do đó, giá trị của cạnh huyền được cho bởi:
Định lý chân
Trong định lý này, nó được thiết lập rằng, trong mọi tam giác vuông, số đo của mỗi chân sẽ là trung bình tỷ lệ hình học (bình phương của mỗi chân) giữa số đo của cạnh huyền (đầy đủ) và hình chiếu của mỗi chân trên đó:
b 2 = c * m
a 2 = c * n
Trình diễn
Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh C, sao cho cạnh huyền của nó là c, khi vẽ đồ thị chiều cao (h) xác định được hình chiếu của các chân a và b, tương ứng là các đoạn m và n và nằm trên cạnh huyền.
Do đó, chúng ta có chiều cao vẽ trên tam giác vuông ABC tạo ra hai tam giác vuông đồng dạng, ADC và BCD, sao cho các cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau, như sau:
DB = n, là hình chiếu của chân CB lên cạnh huyền.
AD = m, là hình chiếu của chân AC trên cạnh huyền.
Sau đó, cạnh huyền c được xác định bằng tổng các chân của các phép chiếu của nó:
c = m + n
Do sự đồng dạng của các tam giác ADC và BCD nên ta có:
Ở trên cũng giống như:
Giải cho chân “a” để nhân hai phần tử của đẳng thức, ta có:
a * a = c * n
a 2 = c * n
Do đó, giá trị của chân "a" được cho bởi:
Tương tự, do sự đồng dạng của các tam giác ACB và ADC nên ta có:
Trên bằng:
Giải cho chân "b" nhân hai phần tử của đẳng thức, ta có:
b * b = c * m
b 2 = c * m
Do đó, giá trị của chân "b" được cho bởi:
Mối quan hệ giữa các định lý Euclid
Các định lý liên quan đến chiều cao và chân có liên quan với nhau vì số đo của cả hai được thực hiện đối với cạnh huyền của tam giác vuông.
Thông qua quan hệ của các định lý Euclid, giá trị của chiều cao cũng có thể được tìm thấy; điều này có thể thực hiện được bằng cách giải các giá trị của m và n từ định lý chân và chúng được thay thế trong định lý chiều cao. Theo cách này, nó được thỏa mãn rằng chiều cao bằng số nhân của chân, chia cho cạnh huyền:
b 2 = c * m
m = b 2 ÷ c
a 2 = c * n
n = a 2 ÷ c
Trong định lý chiều cao, chúng ta thay thế m và n:
h c 2 = m * n
h c 2 = (b 2 ÷ c) * (a 2 ÷ c)
h c = (b 2 * a 2 ) ÷ c
Bài tập đã giải
ví dụ 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, xác định số đo của AC và AD, nếu AB = 30 cm và BD = 18 cm
Giải pháp
Trong trường hợp này chúng ta có số đo của một trong các chân hình chiếu (BD) và một trong các chân của tam giác ban đầu (AB). Bằng cách này, định lý chân có thể được áp dụng để tìm giá trị của chân BC.
AB 2 = BD * BC
(30) 2 = 18 * BC
900 = 18 * BC
BC = 900 ÷ 18
BC = 50 cm
Giá trị của chân CD biết rằng BC = 50:
CD = BC - BD
CD = 50 - 18 = 32 cm
Bây giờ có thể xác định giá trị của chân AC, áp dụng lại định lý chân:
AC 2 = CD * BD
AC 2 = 32 * 50
AC 2 = 160
AC = √1600 = 40 cm
Để xác định giá trị của chiều cao (AD), người ta áp dụng định lý về độ cao, vì đã biết giá trị của chân hình chiếu CD và BD:
AD 2 = 32 * 18
AD 2 = 576
AD = √576
AD = 24 cm
Ví dụ 2
Xác định giá trị chiều cao (h) của tam giác MNL nằm ngay tại N, biết số đo các đoạn:
NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
Giải pháp
Chúng ta có số đo của một trong các chân được chiếu trên cạnh huyền (PM), cũng như số đo của các chân của tam giác ban đầu. Bằng cách này, định lý chân có thể được áp dụng để tìm giá trị của chân chiếu khác (LN):
NL 2 = PM * LM
(10) 2 = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
Như đã biết giá trị của chân và cạnh huyền, thông qua mối quan hệ của các định lý về chiều cao và chân, giá trị của chiều cao có thể được xác định:
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (b 2 * a 2 ) ÷ c.
h = (10 2 * 5 2 ) ÷ (20)
h = (100 * 25) ÷ (20)
h = 2500 ÷ 20
h = 125 cm.
Người giới thiệu
- Braun, E. (2011). Hỗn loạn, fractal và những thứ kỳ lạ. Quỹ Văn hóa Kinh tế.
- Cabrera, VM (1974). Toán học hiện đại, Tập 3.
- Daniel Hernandez, DP (2014). Toán năm 3. Caracas: Santillana.
- Bách khoa toàn thư Britannica, i. (1995). Bách khoa toàn thư gốc Tây Ban Nha: Macropedia. Nhà xuất bản Encyclopedia Britannica.
- Euclid, RP (1886). Euclid's Elements of Geometry.
- Guardeño, AJ (2000). Di sản của toán học: từ Euclid đến Newton, những thiên tài qua sách của họ. Đại học Sevilla.