Các Xanh 's định lý là một phương pháp tính toán sử dụng để tích dòng connect tích phân đôi hoặc diện tích bề mặt. Các hàm liên quan phải được ký hiệu là trường vectơ và được xác định trong đường dẫn C.
Ví dụ, một biểu thức tích phân dòng có thể rất khó giải; tuy nhiên bằng cách thực hiện định lý Green, tích phân kép trở nên khá cơ bản. Điều quan trọng là luôn luôn tôn trọng chiều dương của quỹ đạo, điều này đề cập đến hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Định lý Green là một trường hợp cụ thể của định lý Stokes, trong đó hình chiếu của hàm vectơ được thực hiện trong mặt phẳng xy.
Định nghĩa
Biểu thức của Định lý Green như sau:
Số hạng đầu tiên cho thấy tích phân đường được xác định bởi đường dẫn “C”, của tích vô hướng giữa hàm vectơ “F” và của vectơ “r”.
C: Là đường được xác định mà trên đó hàm vectơ sẽ được chiếu miễn là nó được xác định cho mặt phẳng đó.
F: Hàm vectơ, trong đó mỗi thành phần của nó được xác định bởi một hàm như vậy (f, g).
r: Nó là một véc tơ tiếp tuyến với vùng R mà tích phân được xác định. Trong trường hợp này, chúng tôi hoạt động với một vi phân của vectơ này.
Trong thuật ngữ thứ hai, chúng ta thấy định lý Green được phát triển, trong đó tích phân kép được xác định trong vùng R của sự khác biệt của các đạo hàm riêng của g và f được quan sát, đối với x và y tương ứng. Bởi vi phân diện tích không hơn gì sản phẩm của cả vi phân hai chiều (dx.dy).
Định lý này hoàn toàn có thể áp dụng cho tích phân không gian và bề mặt.
Trình diễn
Để chứng minh định lý Green một cách đơn giản, nhiệm vụ này sẽ được chia thành 2 phần. Trước hết, chúng ta sẽ giả sử rằng hàm vectơ F chỉ có định nghĩa trong phiên bản i. Trong khi hàm "g" tương ứng với phiên bản j sẽ bằng không.
Tác giả
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Đầu tiên, chúng ta phát triển tích phân đường trên đường dẫn C, mà đường dẫn đã được chia thành 2 phần đầu tiên đi từ a đến b và sau đó từ b đến a.
Định nghĩa của định lý cơ bản của giải tích được áp dụng cho một tích phân xác định.
Biểu thức được sắp xếp lại thành một tích phân duy nhất, âm được làm nhân tử chung và thứ tự của các thừa số bị đảo ngược.
Khi quan sát biểu thức này một cách chi tiết, rõ ràng là khi áp dụng tiêu chuẩn hàm nguyên thủy, chúng ta đang có tích phân của biểu thức suy ra từ f đối với y. Được đánh giá trong các thông số
Bây giờ, đủ để giả sử rằng hàm vectơ F chỉ được xác định cho g (x, y) j . Trường hợp khi hoạt động theo cách tương tự như trường hợp trước, thu được những điều sau:
Để kết thúc, 2 bằng chứng được lấy và kết hợp trong trường hợp hàm vectơ nhận giá trị cho cả hai phiên bản. Bằng cách này, người ta chỉ ra rằng tích phân đoạn thẳng sau khi được xác định và được coi là quỹ đạo một chiều, có thể phát triển đầy đủ như thế nào cho mặt phẳng và không gian.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Bằng cách này, định lý Green được chứng minh.
Các ứng dụng
Các ứng dụng của định lý Green rất rộng rãi trong các ngành vật lý và toán học. Những điều này mở rộng cho bất kỳ ứng dụng hoặc sử dụng nào có thể được cung cấp cho tích hợp đường truyền.
Công cơ học được thực hiện bởi một lực F thông qua một đường dẫn C, có thể được phát triển bởi một tích phân đường được biểu thị dưới dạng tích phân kép của một diện tích theo định lý Green.
Mômen quán tính của nhiều vật thể chịu tác dụng của ngoại lực tại các điểm ứng dụng khác nhau cũng phản ứng với tích phân đường có thể được phát triển với định lý Green.
Điều này có nhiều chức năng trong nghiên cứu độ bền của vật liệu đang được sử dụng. Nơi mà các giá trị bên ngoài có thể được định lượng và tính đến trước khi phát triển các yếu tố khác nhau.
Nói chung, định lý Green tạo điều kiện thuận lợi cho việc hiểu và định nghĩa các vùng mà hàm vectơ được xác định đối với một vùng dọc theo đường đi.
Lịch sử
Nó được xuất bản vào năm 1828 trong tác phẩm Phân tích toán học thành các lý thuyết về điện và từ tính, được viết bởi nhà toán học người Anh George Green. Trong đó, các phần khá quyết định trong ứng dụng của phép tính toán trong vật lý được khám phá, chẳng hạn như khái niệm hàm thế năng, hàm Green và các ứng dụng của định lý tự đặt tên của ông.
George Green chính thức hóa sự nghiệp sinh viên của mình ở tuổi 40, cho đến nay là một nhà toán học hoàn toàn tự học. Sau khi theo học tại Đại học Cambridge, ông tiếp tục nghiên cứu, có những đóng góp trong lĩnh vực âm học, quang học và thủy động lực học vẫn còn nguyên giá trị cho đến ngày nay.
Mối quan hệ với các định lý khác
Định lý Green là một trường hợp đặc biệt, và nó phát sinh từ 2 định lý rất quan trọng khác trong lĩnh vực giải tích. Đó là định lý Kelvin-Stokes và định lý phân kỳ hoặc định lý Gauss Ostrogradski.
Bắt đầu từ một trong hai định lý, người ta có thể đi đến định lý Green. Một số định nghĩa và mệnh đề là cần thiết để phát triển các chứng minh đó.
Bài tập
- Bài tập dưới đây hướng dẫn cách biến một tích phân đoạn thẳng thành tích phân kép đối với một vùng R.
Biểu thức ban đầu là như sau:
Từ đó các hàm af và g tương ứng được lấy
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Không có cách nào duy nhất để xác định giới hạn của tích phân khi áp dụng định lý Green. Nhưng có những cách mà tích phân sau khi được xác định có thể đơn giản hơn. Vì vậy việc tối ưu hóa các giới hạn tích hợp đáng được quan tâm.
Khi giải tích phân ta thu được ở đâu:
Giá trị này tương ứng theo đơn vị khối đối với vùng bên dưới hàm vectơ và trên vùng tam giác được xác định bởi C.
Trong trường hợp tích phân đường mà không thực hiện phương pháp của Green, cần phải tham số hóa các hàm trong mỗi phần của vùng. Đó là, thực hiện 3 tích phân tham số hóa cho độ phân giải. Đây là bằng chứng đầy đủ về hiệu quả mà Robert Green đã mang định lý của mình cho phép tính.
Người giới thiệu
- Giới thiệu về Cơ học liên tục. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 tháng 7. 2009
- Giải tích đa biến. James Stewart. Cengage Learning, ngày 22 tháng 3 2011
- Lịch sử không chính thức của Định lý Green và các Ý tưởng liên quan. James Joseph Cross. Khoa Toán, Đại học Melbourne, 1975
- Dẫn nhiệt bằng chức năng Greens. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, ngày 16 tháng 7 2010
- Ứng dụng của Định lý Green vào Cực trị của Tích phân Tuyến tính. Trung tâm Thông tin Kỹ thuật Quốc phòng, 1961