ĐỊNH LÝ STEINER: GIẢI THÍCH, ỨNG DỤNG, BÀI TẬP - VẬT LÝ - 2026

Các Steiner 's định lý , còn được gọi là định lý trục song song, để đánh giá men quán tính của một cơ quan mở rộng, khoảng một trục song song với nhau qua qua trung tâm của khối lượng của vật.

Nó được phát hiện bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Jakob Steiner (1796 –1863) và phát biểu như sau: gọi I _{CM là} mômen quán tính của vật đối với một trục đi qua khối tâm CM của nó và I _z là mômen quán tính đối với trục khác song song với điều này.

Hình 1. Một cánh cửa hình chữ nhật quay trên bản lề của nó có momen quán tính có thể được tính bằng cách áp dụng định lý Steiner. Nguồn: Pixabay.

Biết khoảng cách D ngăn cách cả hai trục và khối lượng M của vật thể, mômen quán tính đối với trục chưa biết là:

Mômen quán tính cho biết mức độ dễ dàng của một vật quay quanh một trục nhất định. Nó không chỉ phụ thuộc vào khối lượng của cơ thể, mà còn vào cách nó được phân phối. Vì lý do này, nó còn được gọi là quán tính quay, là đơn vị của nó trong Hệ thống quốc tế Kg. m ² .

Định lý cho thấy momen quán tính I _z luôn lớn hơn momen quán tính I _CM một đại lượng cho bởi MD ² .

Các ứng dụng

Vì một vật có khả năng quay quanh nhiều trục, và trong bảng thường chỉ mômen quán tính được cho đối với trục đi qua tâm, định lý Steiner tạo điều kiện thuận lợi cho việc tính toán khi cần quay vật trên các trục. điều đó không phù hợp với điều này.

Ví dụ, một cánh cửa thường không quay theo trục qua khối tâm của nó, mà quay theo trục bên, nơi các bản lề bám chặt.

Khi biết mômen quán tính có thể tính được động năng liên quan đến chuyển động quay quanh trục nói trên. Nếu K là động năng, I là momen quán tính quanh trục đang xét và ω vận tốc góc thì nó như sau:

Phương trình này rất giống với công thức tính động năng rất quen thuộc của một vật khối lượng M chuyển động với vận tốc v: K = ½ Mv ² . Và chính momen quán tính hay quán tính quay I đóng vai trò giống nhau trong chuyển động quay như khối lượng M trong phép tịnh tiến.

Chứng minh định lý Steiner

Mômen quán tính của một vật kéo dài được xác định là:

I = ∫ r ² dm

Trong đó dm là phần nhỏ của khối lượng và r là khoảng cách giữa dm và trục quay z. Trong hình 2, trục này đi qua khối tâm CM, tuy nhiên nó có thể là bất kỳ.

Hình 2. Một vật được kéo dài quay quanh hai trục song song. Nguồn: F. Zapata.

Xung quanh một trục z 'khác, mômen quán tính là:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Bây giờ, theo tam giác tạo bởi các vectơ D , r và r ' (xem hình 2 bên phải), có một tổng vectơ:

r + r ' = D → r' = D - r

Ba vectơ nằm trên mặt phẳng của vật thể, có thể là xy. Gốc của hệ tọa độ (0,0) được chọn trong CM để thuận tiện cho các phép tính tiếp theo.

Theo cách này, môđun bình phương của vectơ r ' là:

Bây giờ sự phát triển này được thay thế trong tích phân của mômen quán tính I _z và định nghĩa mật độ dm = ρ.dV cũng được sử dụng:

Thuật ngữ M. D ² xuất hiện trong định lý Steiner xuất phát từ tích phân thứ nhất, tích phân thứ hai là mômen quán tính đối với trục đi qua CM.

Về phần mình, tích phân thứ ba và thứ tư có giá trị 0, vì theo định nghĩa, chúng tạo thành vị trí của CM, đã được chọn làm gốc của hệ tọa độ (0,0).

Bài tập đã giải

-Bài tập 1 đã giải

Cánh cửa hình chữ nhật trong hình 1 có khối lượng 23 kg, rộng 1,30 và cao 2,10 m. Xác định mômen quán tính của cửa đối với trục đi qua bản lề, giả sử rằng cánh cửa mỏng và đều.

Hình 3. Sơ đồ cho Worked Ví dụ 1. Nguồn: được sửa đổi từ Pixabay.

Giải pháp

Từ bảng mômen quán tính, cho một đĩa hình chữ nhật khối lượng M và kích thước a và b, mômen quán tính đối với trục đi qua khối tâm của nó là: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Một cổng đồng nhất sẽ được giả định (một cách gần đúng, vì cổng trong hình có thể không phải như vậy). Trong trường hợp đó, khối tâm đi qua tâm hình học của nó. Trong hình 3, một trục đi qua khối tâm đã được vẽ và cũng song song với trục đi qua các bản lề.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 ² +2.10 ² ) m ² = 11,7 Kg.m ²

Áp dụng định lý Steiner cho trục quay màu xanh lá cây:

I = I _CM + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 Kg.

-Bài tập 2 đã giải

Tìm mômen quán tính của một thanh mỏng đồng chất khi nó quay quanh trục đi qua một trong các đầu của nó, xem hình vẽ. Nó lớn hơn hay nhỏ hơn momen quán tính khi nó quay quanh tâm của nó? Tại sao?

Hình 4. Sơ đồ cho ví dụ đã giải quyết 2. Nguồn: F. Zapata.

Giải pháp

Theo bảng mômen quán tính, mômen quán tính I _CM của một thanh mỏng khối lượng M và chiều dài L là: I _CM = (1/12) ML ²

Và định lý Steiner phát biểu rằng khi nó quay quanh một trục đi qua một đầu D = L / 2 thì nó vẫn:

Nó lớn hơn, mặc dù không chỉ đơn giản là hai lần, mà là gấp 4 lần, vì nửa kia của thanh (không được tô bóng trong hình) quay mô tả một bán kính lớn hơn.

Ảnh hưởng của khoảng cách đến trục quay không phải là tuyến tính, mà là bậc hai. Một vật có khối lượng gấp đôi khoảng cách với vật khác sẽ có momen quán tính tỉ lệ với (2D) ² = 4D ² .

Người giới thiệu

1. Bauer, W. 2011. Vật lý cho Kỹ thuật và Khoa học. Tập 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Đại học Bang Georgia. Chuyển động quay. Được khôi phục từ: Phys.nthu.edu.tw.
3. Định lý trục song song. Được khôi phục từ: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Cơ bản của Vật lý. Lề. 190-200.
5. Wikipedia. Định lý trục song song. Khôi phục từ: en.wikipedia.org