ĐỊNH LÝ CÂU CHUYỆN MILETUS: THỨ NHẤT, THỨ HAI VÀ CÁC VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Định lý thứ nhất và thứ hai của Thales of Miletus dựa trên việc xác định tam giác từ những hình đồng dạng (định lý thứ nhất) hoặc từ đường tròn (định lý thứ hai). Chúng rất hữu ích trong các lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, định lý đầu tiên rất hữu ích để đo các cấu trúc lớn khi không có các dụng cụ đo phức tạp.

Thales of Miletus là một nhà toán học người Hy Lạp, người đã có những đóng góp to lớn cho hình học, trong đó nổi bật là hai định lý (trong một số văn bản, ông còn được viết là Thales) và những ứng dụng hữu ích của chúng. Những kết quả này đã được sử dụng trong suốt lịch sử và đã giúp nó có thể giải được nhiều vấn đề hình học.

Thales of Miletus

Định lý đầu tiên của Thales

Định lý đầu tiên của Thales là một công cụ rất hữu ích, trong số những thứ khác, cho phép xây dựng một tam giác tương tự như một tam giác khác, đã biết trước đây. Từ đây các phiên bản khác nhau của định lý được suy ra có thể được áp dụng trong nhiều ngữ cảnh.

Trước khi đưa ra tuyên bố của bạn, chúng ta hãy nhớ lại một số khái niệm về sự đồng dạng của các tam giác. Về cơ bản, hai tam giác đồng dạng nếu các góc của chúng đồng dạng (chúng có cùng số đo). Điều này dẫn đến kết quả là nếu hai tam giác đồng dạng thì các cạnh tương ứng (hoặc đồng dạng) của chúng sẽ tỷ lệ thuận với nhau.

Định lý đầu tiên của Thales nói rằng nếu một đường thẳng được vẽ song song với bất kỳ cạnh nào của nó trong một tam giác nhất định, thì tam giác mới thu được sẽ giống với tam giác ban đầu.

Mối quan hệ cũng thu được giữa các góc được tạo thành, như thể hiện trong hình sau.

Ứng dụng

Trong số nhiều ứng dụng của nó, một trong những mối quan tâm đặc biệt nổi bật và liên quan đến một trong những cách thức đo lường được thực hiện đối với các cấu trúc lớn ở thời Cổ đại, thời kỳ mà Thales sống và trong đó không có thiết bị đo lường hiện đại nào chúng tồn tại ngay bây giờ.

Người ta nói rằng đây là cách Thales quản lý để đo kim tự tháp cao nhất ở Ai Cập, Cheops. Đối với điều này, Thales cho rằng phản xạ của các tia mặt trời chạm vào mặt đất tạo thành các đường song song. Theo giả định này, anh ta đóng đinh thẳng đứng một cây gậy hoặc cây gậy xuống đất.

Sau đó, ông sử dụng sự đồng dạng của hai hình tam giác tạo thành, một hình được tạo bởi chiều dài của bóng của hình chóp (có thể dễ dàng tính được) và chiều cao của hình chóp (chưa biết), còn hình kia được tạo thành bởi chiều dài của bóng. và chiều cao của thanh (cũng có thể dễ dàng tính toán).

Sử dụng tỷ lệ giữa các độ dài này, chiều cao của kim tự tháp có thể được giải quyết và biết được.

Mặc dù phương pháp đo lường này có thể đưa ra một sai số gần đúng đáng kể đối với độ chính xác của độ cao và phụ thuộc vào độ song song của các tia mặt trời (do đó phụ thuộc vào thời gian chính xác), nhưng phải công nhận rằng đó là một ý tưởng rất tài tình và nó cung cấp một giải pháp thay thế đo lường tốt cho thời gian.

Ví dụ

Tìm giá trị của x trong mỗi trường hợp:

Định lý thứ hai của Thales

Định lý thứ hai của Thales xác định một tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn tại mỗi điểm giống nhau.

Tam giác nội tiếp chu vi là tam giác có các đỉnh nằm trên chu vi, do đó vẫn nằm trong đó.

Cụ thể, định lý thứ hai của Thales phát biểu như sau: cho một đường tròn tâm O và đường kính AC, mỗi điểm B trên chu vi (khác A và C) xác định một tam giác vuông ABC, có góc vuông

Bằng cách biện minh, chúng ta hãy lưu ý rằng cả OA và OB và OC tương ứng với bán kính của chu vi; do đó, số đo của chúng giống nhau. Từ đó suy ra rằng các tam giác OAB và OCB là các hình cân, trong đó

Biết rằng tổng các góc của một tam giác bằng 180º. Sử dụng điều này với tam giác ABC, chúng ta có:

2b + 2a = 180º.

Tương đương, chúng ta có b + a = 90º và b + a =

Lưu ý rằng tam giác vuông được cung cấp bởi định lý thứ hai của Thales chính xác là tam giác có cạnh huyền bằng đường kính của chu vi. Do đó, nó hoàn toàn được xác định bởi hình bán nguyệt chứa các điểm của tam giác; trong trường hợp này là hình bán nguyệt trên.

Chúng ta cũng hãy quan sát rằng trong tam giác vuông thu được theo định lý thứ hai của Thales, cạnh huyền được chia thành hai phần bằng nhau bởi OA và OC (bán kính). Suy ra, số đo này bằng đoạn thẳng OB (cũng là bán kính), cách trung tuyến của tam giác ABC bằng B.

Nói cách khác, độ dài đường trung tuyến của tam giác vuông ABC ứng với đỉnh B hoàn toàn được xác định bởi một nửa cạnh huyền. Nhớ lại rằng đường trung tuyến của tam giác là đoạn từ một trong các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện; trong trường hợp này là phân đoạn BO.

Chu vi đã khoanh

Một cách khác để xem xét định lý thứ hai của Thales là thông qua một đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông.

Nói chung, chu vi ngoại tiếp một đa giác bao gồm chu vi đi qua mỗi đỉnh của nó, bất cứ khi nào có thể vẽ được.

Sử dụng định lý thứ hai của Thales, cho một tam giác vuông, chúng ta luôn có thể xây dựng một đường tròn ngoại tiếp nó, với bán kính bằng một nửa cạnh huyền và một chu vi (tâm của chu vi) bằng trung điểm của cạnh huyền.

Ứng dụng

Một ứng dụng rất quan trọng của định lý thứ hai của Thales, và có lẽ được sử dụng rộng rãi nhất, là tìm các đường tiếp tuyến của một đường tròn cho trước, thông qua một điểm P bên ngoài nó (đã biết).

Lưu ý rằng cho một đường tròn (vẽ màu xanh lam trong hình bên dưới) và một điểm bên ngoài P, có hai đường thẳng tiếp tuyến với đường tròn đi qua P. Gọi T và T 'là các điểm tiếp tuyến, r là bán kính của đường tròn, và Hoặc trung tâm.

Biết rằng đoạn thẳng đi từ tâm của một đường tròn đến một điểm có cùng phương vuông góc với đường tiếp tuyến này. Vậy góc OTP là đúng.

Từ những gì chúng ta đã thấy trước đó trong định lý đầu tiên của Thales và các phiên bản khác nhau của nó, chúng ta thấy rằng có thể mô tả tam giác OTP trong một vòng tròn khác (màu đỏ).

Tương tự, ta nhận được rằng tam giác OT'P có thể nội tiếp trong cùng một chu vi trước đó.

Theo định lý thứ hai của Thales, chúng ta cũng thu được rằng đường kính của chu vi mới này chính xác là cạnh huyền của tam giác OTP (bằng cạnh huyền của tam giác OT'P), và tâm là trung điểm của cạnh huyền này.

Để tính tâm của chu vi mới, chỉ cần tính trung điểm giữa tâm - ví dụ M - của chu vi ban đầu (mà chúng ta đã biết) và điểm P (mà chúng ta cũng biết). Khi đó bán kính sẽ là khoảng cách giữa điểm M và P này.

Với bán kính và tâm của hình tròn màu đỏ, chúng ta có thể tìm được phương trình Descartes của nó, mà chúng ta nhớ được cho bởi (xh) ² + (yk) ² = c ² , trong đó c là bán kính và điểm (h, k) là tâm của chu vi.

Bây giờ biết phương trình của cả hai đường tròn, chúng ta có thể cắt chúng bằng cách giải hệ phương trình do chúng tạo thành, và do đó thu được các điểm thuộc tiếp tuyến T và T '. Cuối cùng, để biết các đường tiếp tuyến mong muốn, chỉ cần tìm phương trình của các đường thẳng đi qua T và P, và qua T 'và P là đủ.

Thí dụ

Xét chu vi đường kính AC, tâm O, bán kính 1 cm. Gọi B là một điểm trên chu vi sao cho AB = AC. Hỏi AB cao bao nhiêu?

Giải pháp

Theo định lý thứ hai của Thales, chúng ta có tam giác ABC vuông và cạnh huyền tương ứng với đường kính, trong trường hợp này là 2 cm (bán kính là 1 cm). Sau đó, theo định lý Pitago, chúng ta có:

Người giới thiệu

1. Ana Lira, PJ (2006). Hình học và lượng giác. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Đại số và lượng giác với hình học giải tích. Giáo dục Pearson.
3. Gutiérrez, Á. ĐẾN. (2004). Phương pháp luận và ứng dụng của toán học trong Bộ Giáo dục ESO.
4. IGER. (2014). Toán học học kỳ hai Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Toán học 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Lượng giác và Hình học Giải tích. Giáo dục Pearson.
7. Pérez, MA (2009). Lịch sử Toán học: Thử thách và chinh phục thông qua các đặc điểm của nó. Biên tập Vision Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Hình học Giải tích Mặt phẳng. Biên tập Venezolana CA