ĐỊNH LÝ VARIGNON: CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ĐÃ GIẢI - TOÁN HỌC - 2026

Các định lý Varignon khẳng định rằng nếu có tứ giác đang tiếp tục kết nối trung điểm của hai bên, một hình bình hành được tạo ra. Định lý này được xây dựng bởi Pierre Varignon và xuất bản năm 1731 trong cuốn sách Các yếu tố của toán học ”.

Việc xuất bản cuốn sách xảy ra nhiều năm sau khi ông qua đời. Vì chính Varignon là người đưa ra định lý này nên hình bình hành được đặt theo tên của ông. Định lý dựa trên hình học Euclid và trình bày các mối quan hệ hình học của các tứ giác.

Định lý Varignon là gì?

Varignon phát biểu rằng một hình được xác định bởi các trung điểm của một tứ giác sẽ luôn tạo ra một hình bình hành và diện tích của hình bình hành sẽ luôn bằng một nửa diện tích của tứ giác nếu nó phẳng và lồi. Ví dụ:

Trong hình bên, bạn có thể thấy một tứ giác có diện tích X, trong đó trung điểm của các cạnh được biểu diễn bởi E, F, G và H và khi nối lại, tạo thành một hình bình hành. Diện tích của hình tứ giác sẽ là tổng diện tích của các tam giác được tạo thành và một nửa của diện tích này tương ứng với diện tích của hình bình hành.

Vì diện tích hình bình hành bằng nửa diện tích tứ giác nên chu vi hình bình hành đó có thể xác định được.

Như vậy, chu vi bằng tổng độ dài các đường chéo của hình tứ giác; điều này là do các trung tuyến của tứ giác sẽ là các đường chéo của hình bình hành.

Mặt khác, nếu độ dài các đường chéo của hình tứ giác bằng nhau thì hình bình hành sẽ là hình thoi. Ví dụ:

Từ hình bên có thể thấy rằng, bằng cách nối các trung điểm của các cạnh của tứ giác, ta được một hình thoi. Mặt khác, nếu các đường chéo của tứ giác vuông góc với nhau thì hình bình hành sẽ là hình chữ nhật.

Ngoài ra, hình bình hành sẽ là hình vuông khi tứ giác có các đường chéo bằng độ dài và chúng cũng vuông góc với nhau.

Định lý không chỉ được ứng nghiệm trong tứ giác phẳng, nó còn được thực hiện trong hình học không gian hoặc trong các kích thước lớn; nghĩa là trong các tứ giác đó không lồi. Ví dụ về điều này có thể là một hình bát diện, trong đó các điểm giữa là tâm của mỗi mặt và tạo thành một hình bình hành.

Theo cách này, bằng cách nối các điểm giữa của các hình khác nhau, ta có thể thu được các hình bình hành. Một cách dễ dàng để kiểm tra xem điều này có thực sự đúng hay không là các cạnh đối diện phải song song khi kéo dài.

Ví dụ

Ví dụ đầu tiên

Mở rộng các cạnh đối diện để chứng tỏ rằng đó là một hình bình hành:

Ví dụ thứ hai

Bằng cách nối các điểm giữa của một hình thoi, một hình chữ nhật thu được:

Định lý được sử dụng trong liên hợp các điểm nằm ở giữa các cạnh của một hình tứ giác và nó cũng có thể được sử dụng cho các loại điểm khác, chẳng hạn như một hình tam giác, mặt cắt penta, hoặc thậm chí vô số phần ( nth), để chia các cạnh của bất kỳ hình tứ giác nào thành các đoạn theo tỷ lệ.

Bài tập đã giải

Bài tập 1

Trong hình bên chúng ta có một tứ giác ABCD có diện tích Z, trong đó các trung điểm của các cạnh của nó là PQSR. Kiểm tra xem hình bình hành Varignon đã được tạo thành chưa.

Giải pháp

Có thể thấy rằng bằng cách nối các điểm PQSR, một hình bình hành Varignon được hình thành, chính xác là do các điểm giữa của một tứ giác được cho trong câu lệnh.

Để chứng minh điều này, đầu tiên các điểm giữa PQSR được nối với nhau, vì vậy có thể thấy rằng một tứ giác khác được hình thành. Để chứng tỏ đó là hình bình hành ta chỉ việc kẻ một đường thẳng từ điểm C đến điểm A, từ đó có thể thấy CA song song với PQ và RS.

Tương tự như vậy, khi mở rộng các cạnh PQRS, có thể thấy rằng PQ và RS song song, như trong hình sau:

Bài tập 2

Chúng ta có một hình chữ nhật sao cho độ dài của tất cả các cạnh của nó bằng nhau. Bằng cách nối các trung điểm của các cạnh này, hình thoi ABCD được chia bởi hai đường chéo AC = 7cm và BD = 10cm, trùng với số đo các cạnh của hình chữ nhật. Xác định diện tích của hình thoi và hình chữ nhật.

Giải pháp

Nhớ rằng diện tích của hình bình hành là một nửa của tứ giác, diện tích của chúng có thể được xác định khi biết rằng số đo các đường chéo trùng với các cạnh của hình chữ nhật. Vì vậy, bạn phải:

AB = D

CD = d

Một _{hình chữ nhật} = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

A _{hình thoi} = A _{hình chữ nhật} / 2

Một _{hình thoi} = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Bài tập 3

Trong hình bên có một tứ giác là hợp của các điểm EFGH, độ dài của các đoạn đã cho. Xác định xem hợp của EFGH có phải là một hình bình hành hay không.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Giải pháp

Khi độ dài của các đoạn được đưa ra, nó có thể được xác minh nếu có sự tương xứng giữa các đoạn; nghĩa là, bạn có thể biết chúng có song song hay không, liên hệ giữa các đoạn của tứ giác như sau:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Sau đó, tỷ lệ được kiểm tra, vì:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Tương tự, khi vẽ đoạn thẳng từ điểm B đến điểm D, ta thấy EH song song với BD, cũng như BD song song với FG. Mặt khác EF song song với GH.

Như vậy có thể xác định EFGH là hình bình hành vì các cạnh đối diện song song.

Người giới thiệu

1. Andres, T. (2010). Kiểm tra Olympic Toán học. Springer. Newyork.
2. Barbosa, JL (2006). Hình học Euclid mặt phẳng. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Nghiên cứu Hình học. Mexico: Tây Ban Nha - Mỹ.
4. Ramo, GP (1998). Các giải pháp chưa biết cho các vấn đề Fermat-Torricelli. ISBN - Tác phẩm độc lập.
5. Vera, F. (1943). Các yếu tố của Hình học. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Một số cuộc phiêu lưu trong Hình học Euclide. Nam Phi.