ĐỊNH LÝ NHỊ THỨC: CHỨNG MINH VÀ VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Các định lý nhị thức là một phương trình cho chúng ta biết làm thế nào để phát triển một biểu thức có dạng (a + b) ⁿ đối với một số số n tự nhiên. Một nhị thức không là gì khác hơn là tổng của hai phần tử, như (a + b). Nó cũng cho phép chúng ta biết đối với một số hạng được cho bởi a ^k b ^n-k hệ số đi kèm với nó là bao nhiêu.

Định lý này thường được quy cho nhà phát minh, nhà vật lý và toán học người Anh, Ngài Isaac Newton; Tuy nhiên, nhiều ghi chép khác nhau đã được tìm thấy cho thấy sự tồn tại của nó đã được biết đến ở Trung Đông, vào khoảng năm 1000.

Số tổ hợp

Về mặt toán học, định lý nhị thức cho chúng ta biết những điều sau:

Trong biểu thức này a và b là số thực và n là số tự nhiên.

Trước khi đưa ra bản demo, chúng ta hãy xem xét một số khái niệm cơ bản cần thiết.

Số tổ hợp hoặc tổ hợp của n trong k được biểu thị như sau:

Dạng này biểu thị giá trị của bao nhiêu tập con có k phần tử có thể được chọn từ tập n phần tử. Biểu thức đại số của nó được cho bởi:

Hãy xem một ví dụ: giả sử chúng ta có một nhóm bảy quả bóng, trong đó hai quả bóng màu đỏ và số còn lại màu xanh lam.

Chúng ta muốn biết có bao nhiêu cách có thể sắp xếp chúng thành một hàng. Một cách có thể là đặt hai quả bóng màu đỏ ở vị trí đầu tiên và thứ hai, và phần còn lại của các quả bóng ở các vị trí còn lại.

Tương tự như trường hợp trước, chúng ta có thể cho các quả bóng đỏ lần lượt vào vị trí đầu tiên và cuối cùng, và chiếm các quả bóng xanh còn lại.

Bây giờ, một cách hiệu quả để đếm xem chúng ta có thể sắp xếp các quả bóng thành một hàng bằng cách sử dụng các số tổ hợp. Chúng ta có thể xem mỗi vị trí là một phần tử của tập hợp sau:

Sau đó, nó chỉ còn lại để chọn một tập hợp con của hai phần tử, trong đó mỗi phần tử này đại diện cho vị trí mà các quả bóng màu đỏ sẽ chiếm. Chúng ta có thể thực hiện lựa chọn này theo mối quan hệ được đưa ra bởi:

Theo cách này, chúng ta có 21 cách để sắp xếp những quả bóng này.

Ý tưởng chung của ví dụ này sẽ rất hữu ích trong việc chứng minh định lý nhị thức. Hãy xem xét một trường hợp cụ thể: nếu n = 4, chúng ta có (a + b) ⁴ , không có gì khác hơn là:

Khi chúng ta phát triển sản phẩm này, chúng ta còn lại với tổng các số hạng thu được bằng cách nhân một phần tử của mỗi trong bốn thừa số (a + b). Do đó, chúng ta sẽ có các điều khoản sẽ có dạng:

Nếu chúng ta muốn nhận số hạng ở dạng ⁴ , chúng ta chỉ cần nhân như sau:

Lưu ý rằng chỉ có một cách để có được phần tử này; nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu bây giờ chúng ta tìm số hạng có dạng a ² b ² ? Vì "a" và "b" là các số thực và do đó, luật giao hoán được áp dụng, chúng ta có một cách để lấy số hạng này là nhân với các thành viên như được chỉ ra bởi các mũi tên.

Việc thực hiện tất cả các phép toán này thường hơi tẻ nhạt, nhưng nếu chúng ta thấy thuật ngữ "a" là một tổ hợp mà chúng ta muốn biết có bao nhiêu cách chúng ta có thể chọn hai chữ "a" từ bộ bốn yếu tố, chúng ta có thể sử dụng ý tưởng từ ví dụ trước. Vì vậy, chúng tôi có những điều sau:

Như vậy, chúng ta biết rằng trong khai triển cuối cùng của biểu thức (a + b) ^4, chúng ta sẽ có đúng 6a ² b ² . Sử dụng cùng một ý tưởng cho các yếu tố khác, bạn phải:

Sau đó, chúng tôi thêm các biểu thức đã thu được trước đó và chúng tôi có:

Đây là một bằng chứng chính thức cho trường hợp tổng quát trong đó "n" là bất kỳ số tự nhiên nào.

Trình diễn

Lưu ý rằng các số hạng còn lại khi khai triển (a + b) ⁿ có dạng a ^k b ^n-k , trong đó k = 0,1,…, n. Sử dụng ý tưởng của ví dụ trước, chúng ta có cách chọn «k» biến «a» của «n» thừa số là:

Bằng cách chọn theo cách này, chúng tôi tự động chọn nk biến "b". Từ đó nó dẫn đến:

Ví dụ

Xét (a + b) ⁵ , sự phát triển của nó sẽ như thế nào?

Theo định lý nhị thức ta có:

Định lý nhị thức rất hữu ích nếu chúng ta có một biểu thức mà chúng ta muốn biết hệ số của một số hạng cụ thể là bao nhiêu mà không cần phải thực hiện khai triển đầy đủ. Để làm ví dụ, chúng ta có thể lấy ẩn số sau: hệ số của x ⁷ và ⁹ trong khai triển của (x + y) ^{16 là} bao nhiêu?

Theo định lý nhị thức, chúng ta có hệ số là:

Một ví dụ khác là: hệ số của x ⁵ và ⁸ trong khai triển của (3x-7y) ^{13 là} bao nhiêu?

Đầu tiên, chúng tôi viết lại biểu thức theo cách thuận tiện; đây là:

Sau đó, sử dụng định lý nhị thức, chúng ta có hệ số cần tìm là khi chúng ta có k = 5

Một ví dụ khác về việc sử dụng định lý này là trong việc chứng minh một số đồng nhất thông thường, chẳng hạn như những định lý mà chúng ta sẽ đề cập tiếp theo.

Danh tính 1

Nếu «n» là số tự nhiên, ta có:

Để chứng minh, chúng ta sử dụng định lý nhị thức, trong đó cả «a» và «b» đều nhận giá trị bằng 1. Khi đó chúng ta có:

Bằng cách này, chúng tôi đã chứng minh danh tính đầu tiên.

Danh tính 2

Nếu "n" là một số tự nhiên thì

Theo định lý nhị thức ta có:

Một cuộc biểu tình khác

Chúng ta có thể đưa ra một chứng minh khác cho định lý nhị thức bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp và định dạng Pascal, cho chúng ta biết rằng, nếu «n» và «k» là các số nguyên dương thỏa mãn n ≥ k, thì:

Bằng chứng cảm ứng

Đầu tiên chúng ta hãy xem rằng cơ sở quy nạp giữ. Nếu n = 1, ta có:

Thật vậy, chúng ta thấy rằng nó được ứng nghiệm. Bây giờ, hãy để n = j sao cho:

Chúng ta muốn thấy rằng đối với n = j + 1 thì đúng là:

Vì vậy chúng ta phải:

Bằng giả thuyết, chúng tôi biết rằng:

Sau đó, sử dụng thuộc tính phân phối:

Sau đó, khai triển từng bản tóm tắt, chúng ta có:

Bây giờ, nếu chúng ta nhóm theo cách thuận tiện, chúng ta có:

Sử dụng danh tính của pascal, chúng ta có:

Cuối cùng, lưu ý rằng:

Do đó, chúng ta thấy rằng định lý nhị thức phù hợp với mọi "n" thuộc các số tự nhiên, và với điều này, việc chứng minh kết thúc.

Sự tò mò

Số tổ hợp (nk) còn được gọi là hệ số nhị thức vì nó chính xác là hệ số xuất hiện trong khai triển của nhị thức (a + b) ⁿ .

Isaac Newton đã đưa ra một cách tổng quát của định lý này cho trường hợp số mũ là một số thực; Định lý này được gọi là định lý nhị thức Newton.

Ngay từ thời cổ đại, kết quả này đã được biết đến cho trường hợp cụ thể trong đó n = 2. Trường hợp này được đề cập trong Euclid's Elements.

Người giới thiệu

1. Johnsonbaugh Richard. Toán học rời rạc. PHH
2. Kenneth.H. Rosen, Toán học rời rạc và các ứng dụng của nó. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Toán học rời rạc. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Toán học rời rạc và tổ hợp. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Ngôi sao xanh Luis. . Toán học tổ hợp và rời rạc