- Chứng minh định lý cơ bản của số học
- Tính duy nhất của thừa số nguyên tố
- Các ứng dụng
- Số nguyên tố trong tự nhiên
- Số nguyên tố và mua sắm trực tuyến
- Bài tập đã giải
- - Bài tập 1
- Giải pháp
- - Bài tập 2
- Giải pháp
- Người giới thiệu
Các định lý cơ bản của số học tiểu bang rằng bất kỳ lớn hơn số tự nhiên hơn 1 có thể được phân hủy như một sản phẩm của các số nguyên tố - một số có thể được lặp đi lặp lại - và hình thức này là duy nhất cho con số đó, mặc dù thứ tự của các yếu tố có thể khác nhau.
Nhớ lại rằng một số nguyên tố p là một số chỉ nhận chính nó và 1 là ước số dương. Các số sau là số nguyên tố: 2, 3, 5, 7, 11, 13, v.v., vì có vô hạn. Số 1 không được coi là số nguyên tố, vì nó chỉ có một ước số.
Hình 1. Euclid (trái) đã chứng minh định lý cơ bản của số học trong cuốn sách Elements (350 TCN) của ông, và chứng minh hoàn chỉnh đầu tiên là của Carl F. Gauss (1777-1855) (phải). Nguồn: Wikimedia Commons.
Về phần mình, những con số không tuân theo những điều trên được gọi là số tổng hợp, chẳng hạn như 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Hãy lấy ví dụ số 10 và ngay lập tức chúng ta thấy rằng nó có thể bị phân hủy thành tích của 2 và 5:
10 = 2 × 5
Cả 2 và 5 đều là số nguyên tố. Định lý nói rằng điều này có thể xảy ra với bất kỳ số n nào:
Trong đó p 1 , p 2 , p 3 … p r là các số nguyên tố và k 1 , k 2 , k 3 ,… k r là các số tự nhiên. Vì vậy, các số nguyên tố đóng vai trò là khối xây dựng mà từ đó, thông qua phép nhân, các số tự nhiên được xây dựng.
Chứng minh định lý cơ bản của số học
Chúng tôi bắt đầu bằng cách chỉ ra rằng mọi số đều có thể được phân tách thành các thừa số nguyên tố. Cho là số tự nhiên n> 1, nguyên tố hoặc hợp số.
Ví dụ nếu n = 2, nó có thể được biểu thị là: 2 = 1 × 2, là số nguyên tố. Theo cách tương tự, hãy tiến hành các số sau:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Chúng tôi tiếp tục như vậy, phân tích tất cả các số tự nhiên cho đến khi chúng tôi đến số n -1. Hãy xem nếu chúng ta có thể làm điều đó với số sau: n.
Nếu n là số nguyên tố, chúng ta có thể phân tích nó thành n = 1 × n, nhưng giả sử rằng n là hợp số và có ước số d, về mặt logic nhỏ hơn n:
1 <d <n.
Nếu n / d = p 1 , với p 1 là số nguyên tố, thì n được viết là:
n = p 1 .d
Nếu d là số nguyên tố thì không phải làm gì nữa, nhưng nếu không phải thì có số n 2 là ước của d và nhỏ hơn sau: n 2 <d, do đó d có thể được viết dưới dạng tích của n 2 bởi một số khác số nguyên tố p 2 :
d = p 2 n 2
Điều đó khi thay vào số ban đầu n sẽ cho:
n = p 1 .p 2 .n 2
Bây giờ, giả sử rằng n 2 cũng không phải là số nguyên tố và chúng ta viết nó dưới dạng tích của một số nguyên tố p 3 , với ước của nó là n 3 , sao cho n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
Chúng tôi lặp lại quy trình này một số lần hữu hạn cho đến khi chúng tôi thu được:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
Điều này có nghĩa là có thể phân tích tất cả các số nguyên từ 2 đến số n, dưới dạng tích của các số nguyên tố.
Tính duy nhất của thừa số nguyên tố
Bây giờ chúng ta hãy xác minh rằng ngoại trừ thứ tự của các yếu tố, sự phân hủy này là duy nhất. Giả sử rằng n có thể được viết theo hai cách:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q s (với r ≤ s)
Tất nhiên q 1 , q 2 , q 3 … cũng là các số nguyên tố. Vì p 1 chia hết (q 1. Q 2. Q 3 … ..q s ) nên p 1 bằng bất kỳ “q” nào, không quan trọng cái nào, vì vậy chúng ta có thể nói rằng p 1 = q 1 . Ta chia n cho p 1 và thu được:
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
Chúng tôi lặp lại quy trình cho đến khi chúng tôi chia mọi thứ cho p r , sau đó chúng tôi thu được:
1 = q r + 1 … q s
Nhưng không thể đến q r + 1 … q s = 1 khi r <s, chỉ khi r = s. Mặc dù bằng cách thừa nhận rằng r = s, người ta cũng thừa nhận rằng "p" và "q" là giống nhau. Do đó sự phân hủy là duy nhất.
Các ứng dụng
Như chúng ta đã nói trước đây, các số nguyên tố đại diện, nếu bạn thích, các nguyên tử của các con số, các thành phần cơ bản của chúng. Vì vậy, định lý cơ bản của số học có rất nhiều ứng dụng, điều rõ ràng nhất: chúng ta có thể làm việc với các số lớn dễ dàng hơn nếu chúng ta biểu thị chúng dưới dạng tích của các số nhỏ hơn.
Theo cách tương tự, chúng ta có thể tìm bội số chung lớn nhất (LCM) và ước số chung lớn nhất (GCF), một thủ tục giúp chúng ta tính tổng của phân số dễ dàng hơn, tìm nghiệm nguyên của số lớn hoặc hoạt động với căn, hợp lý hóa và giải các bài toán ứng dụng có tính chất rất đa dạng.
Hơn nữa, các số nguyên tố cực kỳ bí ẩn. Một khuôn mẫu vẫn chưa được công nhận trong chúng và không thể biết điều gì sẽ là tiếp theo. Số lớn nhất cho đến nay được máy tính tìm thấy và có 24.862.048 chữ số, mặc dù các số nguyên tố mới xuất hiện ít hơn mỗi lần.
Số nguyên tố trong tự nhiên
Ve sầu, cicádidos hoặc ve sầu sống ở phía đông bắc của Hoa Kỳ xuất hiện theo chu kỳ 13 hoặc 17 năm. Chúng đều là số nguyên tố.
Bằng cách này, ve sầu tránh trùng với những kẻ săn mồi hoặc đối thủ có thời kỳ sinh đẻ khác, cũng như các giống ve sầu khác nhau không cạnh tranh với nhau, vì chúng không trùng trong cùng một năm.
Hình 2. Ve sầu Magicicada ở miền đông Hoa Kỳ xuất hiện sau mỗi 13 đến 17 năm. Nguồn: Pxfuel.
Số nguyên tố và mua sắm trực tuyến
Số nguyên tố được sử dụng trong mật mã để giữ bí mật chi tiết thẻ tín dụng khi mua hàng qua Internet. Bằng cách này, dữ liệu mà người mua đến được cửa hàng một cách chính xác mà không bị mất hoặc rơi vào tay những kẻ vô lương tâm.
Làm sao? Dữ liệu trên thẻ được mã hóa bằng số N có thể được biểu thị dưới dạng tích của các số nguyên tố. Những số nguyên tố này là chìa khóa mà dữ liệu tiết lộ, nhưng chúng không được công chúng biết đến, chúng chỉ có thể được giải mã trên trang web mà chúng được hướng đến.
Chia một số thành thừa số là một nhiệm vụ dễ dàng nếu các số đó nhỏ (xem các bài tập đã giải), nhưng trong trường hợp này, các số nguyên tố có 100 chữ số được sử dụng làm khóa, khi nhân chúng sẽ cho các số lớn hơn nhiều, mà việc phân rã chi tiết đòi hỏi một nhiệm vụ lớn .
Bài tập đã giải
- Bài tập 1
Chia 1029 thành các thừa số nguyên tố.
Giải pháp
1029 chia hết cho 3. Được biết vì khi cộng các chữ số của nó thì tổng là bội của 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Vì thứ tự của các thừa số không thay đổi tích, chúng ta có thể bắt đầu ở đó:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
Mặt khác 343 = 7 3 thì:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
Và vì cả 3 và 7 đều là số nguyên tố, đây là sự phân rã của 1029.
- Bài tập 2
Nhân tử của tam thức x 2 + 42x + 432.
Giải pháp
Tam thức được viết lại dưới dạng (x + a). (x + b) và chúng ta cần tìm các giá trị của a và b sao cho:
a + b = 42; ab = 432
Số 432 được phân tích thành các thừa số nguyên tố và từ đó tổ hợp thích hợp được chọn theo phép thử và sai để các thừa số cộng lại cho 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
Từ đây có một số khả năng để viết 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
Và tất cả chúng có thể được tìm thấy bằng cách kết hợp các tích giữa các thừa số nguyên tố, nhưng để giải bài tập đề xuất, tổ hợp phù hợp duy nhất là: 432 = 24 × 18 vì 24 + 18 = 42, khi đó:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Người giới thiệu
- Baldor, A. 1986. Số học thực tế lý thuyết. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC Thế giới. Quy tắc ẩn của tự nhiên. Được khôi phục từ: bbc.com.
- De Leon, Manuel. Các số nguyên tố: những người bảo vệ của Internet. Được khôi phục từ: blog.20minutos.es.
- UNAM. Lý thuyết số I: Định lý cơ bản của số học. Được khôi phục từ: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. Định lý cơ bản của số học. Được khôi phục từ: es.wikipedia.org.