BIẾN ĐỔI LAPLACE: ĐỊNH NGHĨA, LỊCH SỬ VÀ NÓ DÙNG ĐỂ LÀM GÌ - TOÁN HỌC - 2026

Phép biến đổi Laplace trong những năm gần đây có tầm quan trọng lớn trong các nghiên cứu kỹ thuật, toán học, vật lý, trong số các lĩnh vực khoa học khác, cũng như rất được quan tâm trong lý thuyết, cung cấp một cách đơn giản để giải quyết các vấn đề xuất phát từ khoa học và kĩ thuật.

Ban đầu, phép biến đổi Laplace được Pierre-Simón Laplace trình bày trong nghiên cứu của ông về lý thuyết xác suất và ban đầu được coi như một đối tượng toán học chỉ quan tâm đến lý thuyết thuần túy.

Các ứng dụng hiện tại phát sinh khi các nhà toán học khác nhau cố gắng đưa ra một biện minh chính thức cho "các quy tắc hoạt động" được Heaviside sử dụng trong nghiên cứu các phương trình của lý thuyết điện từ.

Định nghĩa

Gọi f là một hàm được xác định cho t ≥ 0. Biến đổi Laplace được định nghĩa như sau:

Phép biến đổi Laplace được cho là tồn tại nếu tích phân trước đó hội tụ, nếu không, phép biến đổi Laplace được cho là không tồn tại.

Nói chung, các chữ cái thường được sử dụng để biểu thị hàm được chuyển đổi và chữ cái viết hoa tương ứng với phép biến đổi của nó. Bằng cách này, chúng ta sẽ có:

Ví dụ

Xét hàm hằng f (t) = 1. Ta có phép biến hình của nó là:

Bất cứ khi nào tích phân hội tụ, tức là bất cứ khi nào s> 0. Ngược lại, s <0, tích phân phân kỳ.

Cho g (t) = t. Biến đổi Laplace của nó được đưa ra bởi

Bằng cách tích phân theo từng phần và biết rằng te ^-st có xu hướng bằng 0 khi t có xu hướng vô cùng và s> 0, cùng với ví dụ trước, chúng ta có:

Phép biến đổi có thể tồn tại hoặc không, ví dụ đối với hàm f (t) = 1 / t, tích phân xác định phép biến đổi Laplace của nó không hội tụ và do đó phép biến đổi của nó không tồn tại.

Điều kiện đủ để đảm bảo rằng phép biến đổi Laplace của một hàm f tồn tại là f liên tục từng phần với t ≥ 0 và có thứ tự hàm mũ.

Một hàm được cho là liên tục từng phần với t ≥ 0, khi với bất kỳ khoảng nào với a> 0, có một số hữu hạn điểm t _k, trong đó f không liên tục và liên tục trong mỗi khoảng con.

Mặt khác, một hàm được cho là có bậc mũ c nếu có các hằng số thực M> 0, c và T> 0 sao cho:

Như ví dụ, chúng ta có f (t) = t ² là cấp số nhân, vì -t ² - <e ^3t với mọi t> 0.

Nói một cách hình thức, chúng ta có định lý sau

Định lý (Điều kiện đủ để tồn tại)

Nếu f là một hàm bán phần liên tục với t> 0 và có bậc mũ c, thì phép biến đổi Laplace tồn tại với s> c.

Điều quan trọng cần lưu ý là đây là điều kiện đủ, nghĩa là có thể xảy ra trường hợp có một hàm không đáp ứng các điều kiện này và thậm chí tồn tại phép biến đổi Laplace của nó.

Một ví dụ về điều này là hàm f (t) = t ^-1/2 không liên tục ^{từng phần} đối với t ≥ 0 nhưng tồn tại biến đổi Laplace của nó.

Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản

Bảng sau đây cho thấy các phép biến đổi Laplace của các hàm phổ biến nhất.

Lịch sử

Phép biến đổi Laplace có tên là Pierre-Simon Laplace, một nhà toán học và thiên văn lý thuyết người Pháp, sinh năm 1749 và mất năm 1827. Ông nổi tiếng đến mức ông được gọi là Newton của Pháp.

Năm 1744, Leonard Euler đã dành các nghiên cứu của mình cho tích phân có dạng

như các nghiệm của phương trình vi phân thông thường, nhưng ông nhanh chóng từ bỏ cuộc điều tra này. Sau đó, Joseph Louis Lagrange, người rất ngưỡng mộ Euler, cũng đã nghiên cứu các loại tích phân này và liên hệ chúng với lý thuyết xác suất.

1782, Laplace

Năm 1782 Laplace bắt đầu nghiên cứu các tích phân như lời giải của các phương trình vi phân và theo các nhà sử học, vào năm 1785, ông quyết định cải tổ lại bài toán, điều này sau đó đã tạo ra các phép biến đổi Laplace như ngày nay được hiểu.

Khi được đưa vào lĩnh vực lý thuyết xác suất, nó ít được các nhà khoa học quan tâm vào thời điểm đó và chỉ được xem như một đối tượng toán học chỉ quan tâm đến lý thuyết.

Oliver Heaviside

Vào giữa thế kỷ 19, kỹ sư người Anh Oliver Heaviside đã phát hiện ra rằng các toán tử vi phân có thể được coi như các biến đại số, do đó đưa ra ứng dụng hiện đại của phép biến đổi Laplace.

Oliver Heaviside là một nhà vật lý, kỹ sư điện và toán học người Anh, sinh năm 1850 ở London và mất năm 1925. Trong khi cố gắng giải các bài toán phương trình vi phân áp dụng cho lý thuyết dao động và sử dụng các nghiên cứu của Laplace, ông bắt đầu hình thành Các ứng dụng hiện đại của phép biến đổi Laplace.

Các kết quả được trình bày bởi Heaviside đã nhanh chóng lan truyền trong cộng đồng khoa học thời đó, nhưng do công việc của ông không nghiêm túc, nên ông nhanh chóng bị các nhà toán học truyền thống hơn chỉ trích.

Tuy nhiên, sự hữu ích trong công việc của Heaviside trong việc giải các phương trình trong vật lý đã khiến các phương pháp của ông trở nên phổ biến với các nhà vật lý và kỹ sư.

Bất chấp những thất bại này và sau một số thập kỷ cố gắng thất bại, vào đầu thế kỷ 20, một sự biện minh chặt chẽ có thể được đưa ra cho các quy tắc hoạt động do Heaviside đưa ra.

Những nỗ lực này đã thành công nhờ nỗ lực của nhiều nhà toán học khác nhau như Bromwich, Carson, van der Pol, trong số những người khác.

Tính chất

Trong số các thuộc tính của phép biến đổi Laplace, đặc điểm sau nổi bật:

Tuyến tính

Gọi c1 và c2 là các hằng số và các hàm f (t) và g (t) có phép biến đổi Laplace tương ứng là F (s) và G (s), khi đó ta có:

Do tính chất này, phép biến đổi Laplace được cho là một toán tử tuyến tính.

Thí dụ

Định lý dịch đầu tiên

Nếu điều đó xảy ra:

Và 'a' là bất kỳ số thực nào, do đó:

Thí dụ

Vì biến đổi Laplace của cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) nên:

Định lý dịch thứ hai

Đúng

Vì thế

Thí dụ

Nếu f (t) = t ^ 3 thì F (s) = 6 / s ^ 4. Và do đó sự biến đổi của

là G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Thay đổi quy mô

Đúng

Và 'a' là một thực khác không, chúng ta phải

Thí dụ

Vì biến đổi của f (t) = sin (t) là F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) nên chúng ta có

Phép biến đổi Laplace của các đạo hàm

Nếu f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ liên tục với t ≥ 0 và có thứ tự hàm mũ và f ⁽ⁿ⁾ (t) liên tục từng phần đối với t ≥ 0, thì

Biến đổi Laplace của tích phân

Đúng

Vì thế

Nhân với t

Nếu chúng ta phải

Vì thế

Phân chia theo t

Nếu chúng ta phải

Vì thế

Các chức năng định kỳ

Gọi f là một hàm tuần hoàn với chu kỳ T> 0, tức là f (t + T) = f (t), thì

Hành vi của (các) F khi các s có xu hướng vô cùng

Nếu f liên tục theo từng phần và theo cấp số nhân và

Vì thế

Biến đổi nghịch đảo

Khi chúng ta áp dụng phép biến đổi Laplace cho một hàm f (t), chúng ta thu được F (s), đại diện cho phép biến đổi nói trên. Theo cách tương tự, chúng ta có thể nói rằng f (t) là biến đổi Laplace ngược của F (s) và được viết dưới dạng

Chúng ta biết rằng các phép biến đổi Laplace của f (t) = 1 và g (t) = t lần lượt là F (s) = 1 / s và G (s) = 1 / s ² , do đó chúng ta có

Một số phép biến đổi Laplace nghịch đảo phổ biến như sau

Hơn nữa, phép biến đổi Laplace ngược là tuyến tính, nghĩa là, đúng là

Tập thể dục

Tìm thấy

Để giải bài tập này, chúng ta phải ghép hàm F (s) với một trong các bảng trước đó. Trong trường hợp này nếu chúng ta lấy một + 1 = 5 và sử dụng tính chất tuyến tính của phép biến đổi nghịch đảo, chúng ta nhân và chia cho 4! Bắt

Đối với phép biến đổi nghịch đảo thứ hai, chúng ta áp dụng các phân số từng phần để viết lại hàm F (s) và sau đó là tính chất tuyến tính, thu được

Như chúng ta có thể thấy từ những ví dụ này, thông thường là (các) hàm F được đánh giá không khớp chính xác với bất kỳ hàm nào được cho trong bảng. Đối với những trường hợp này, như có thể thấy, chỉ cần viết lại hàm cho đến khi nó đạt đến dạng thích hợp là đủ.

Các ứng dụng của phép biến đổi Laplace

Phương trình vi phân

Ứng dụng chính của phép biến đổi Laplace là giải các phương trình vi phân.

Sử dụng tính chất của phép biến đổi đạo hàm, rõ ràng là

Y của n-1 đạo hàm được đánh giá tại t = 0.

Tính chất này làm cho phép biến đổi rất hữu ích để giải các bài toán về giá trị ban đầu có liên quan đến phương trình vi phân với hệ số không đổi.

Các ví dụ sau đây cho thấy cách sử dụng phép biến đổi Laplace để giải các phương trình vi phân.

ví dụ 1

Với bài toán giá trị ban đầu sau

Sử dụng phép biến đổi Laplace để tìm lời giải.

Chúng tôi áp dụng phép biến đổi Laplace cho mỗi phần tử của phương trình vi phân

Theo tính chất của phép biến đổi đạo hàm, chúng ta có

Bằng cách phát triển tất cả các biểu thức và xóa (các) Y, chúng tôi có

Sử dụng phân số từng phần để viết lại vế phải của phương trình, chúng ta nhận được

Cuối cùng, mục tiêu của chúng ta là tìm một hàm y (t) thỏa mãn phương trình vi phân. Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược cho chúng ta kết quả

Ví dụ 2

Gỡ rối

Như trong trường hợp trước, chúng ta áp dụng phép biến đổi trên cả hai vế của phương trình và tách số hạng theo số hạng.

Bằng cách này, chúng tôi có kết quả là

Thay thế bằng các giá trị ban đầu đã cho và giải cho (các) Y

Sử dụng các phân số đơn giản, chúng ta có thể viết lại phương trình như sau

Và việc áp dụng phép biến đổi Laplace ngược sẽ cho chúng ta kết quả

Trong những ví dụ này, bạn có thể kết luận nhầm rằng phương pháp này không tốt hơn nhiều so với các phương pháp truyền thống để giải phương trình vi phân.

Ưu điểm của phép biến đổi Laplace là bạn không cần phải sử dụng biến đổi tham số hoặc lo lắng về các trường hợp khác nhau của phương pháp hệ số không xác định.

Ngoài ra khi giải các bài toán về giá trị ban đầu bằng phương pháp này, ngay từ đầu chúng ta đã sử dụng các điều kiện ban đầu nên không cần thực hiện các phép tính khác để tìm ra nghiệm cụ thể.

Hệ phương trình vi phân

Phép biến đổi Laplace cũng có thể được sử dụng để tìm lời giải cho các phương trình vi phân thông thường đồng thời, như ví dụ sau cho thấy.

Thí dụ

Giải quyết

Với điều kiện ban đầu x (0) = 8 và y (0) = 3.

Nếu chúng ta phải

Vì thế

Kết quả là giải quyết cho chúng ta

Và áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, chúng ta có

Cơ học và mạch điện

Phép biến đổi Laplace có tầm quan trọng lớn trong vật lý, nó chủ yếu có ứng dụng cho cơ học và mạch điện.

Một mạch điện đơn giản được tạo thành từ các phần tử sau

Công tắc, pin hoặc nguồn, cuộn cảm, điện trở và tụ điện. Khi đóng công tắc, một dòng điện được tạo ra ký hiệu là i (t). Điện tích trên tụ điện ký hiệu là q (t).

Theo định luật Kirchhoff thứ hai, điện áp do nguồn E tạo ra trong mạch kín phải bằng tổng của mỗi lần giảm điện áp.

Cường độ dòng điện i (t) liên hệ với điện tích q (t) trên tụ điện bằng i = dq / dt. Mặt khác, điện áp rơi ở mỗi phần tử được xác định như sau:

Điện áp rơi trên một điện trở là iR = R (dq / dt)

Điện áp rơi trên cuộn cảm là L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Điện áp rơi trên tụ điện là q / C

Với những dữ liệu này và áp dụng định luật Kirchhoff thứ hai cho mạch kín đơn giản, một phương trình vi phân bậc hai thu được mô tả hệ thống và cho phép chúng ta xác định giá trị của q (t).

Thí dụ

Một cuộn cảm, một tụ điện và một điện trở được nối với pin E như hình vẽ bên. Cuộn cảm là 2 henries, tụ điện là 0,02 farads và điện trở là 16 ohms. Tại thời điểm t = 0 mạch đóng. Tìm điện tích và cường độ dòng điện tại thời điểm t> 0 nếu E = 300 vôn.

Chúng ta có phương trình vi phân mô tả mạch này như sau

Trong đó các điều kiện ban đầu là q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Áp dụng phép biến đổi Laplace chúng ta nhận được rằng

Và giải quyết cho Q (t)

Sau đó, áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, chúng ta có

Người giới thiệu

1. G. Holbrook, J. (1987). Biến đổi Laplace dành cho kỹ sư điện tử. Limusa.
2. Ruiz, LM, & Hernandez, MP (2006). Phương trình vi phân và phép biến đổi Laplace với các ứng dụng. Biên tập UPV.
3. Simmons, GF (1993). Phương trình vi phân với các ứng dụng và ghi chép lịch sử. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Phép biến đổi Laplace. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Phương trình vi phân với các bài toán giá trị biên giới. Cengage Learning Editores, SA