HÌNH THANG SCALENE: TÍNH CHẤT, CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Hình thang cân là một đa giác có bốn cạnh, trong đó hai cạnh song song với nhau và bốn góc trong của nó có các số đo khác nhau.

Hình bên dưới cho tứ giác ABCD, trong đó các cạnh AB và DC song song với nhau. Điều này đủ để nó là một hình thang, nhưng cũng có thể, các góc trong α, β, γ và δ đều khác nhau, do đó hình thang là hình thang.

Hình 1. Tứ giác ABCD là hình thang theo điều kiện 1 và hình thang theo điều kiện 2. Nguồn: F. Zapata.

Các yếu tố của hình thang scalene

Dưới đây là các yếu tố đặc trưng nhất:

-Cơ sở và cạnh bên: cạnh song song của hình thang là đáy của nó và hai cạnh không song song là cạnh bên.

Trong một hình thang cân, các đáy có độ dài khác nhau và các cạnh bên cũng vậy. Tuy nhiên, một hình thang cân có thể có chiều dài cạnh bên bằng chiều dài đáy.

-Median: là đoạn nối các trung điểm của các cạnh bên.

-Đường chéo của hình thang là đoạn nối hai đỉnh đối nhau. Một hình thang, giống như mọi tứ giác, có hai đường chéo. Trong hình thang cân, chúng có độ dài khác nhau.

Các hình thang khác

Bên cạnh hình thang cân, còn có những hình thang đặc biệt khác: hình thang bên phải và hình thang cân.

Hình thang là hình chữ nhật khi một trong các góc của nó là vuông, còn hình thang cân có các cạnh bằng độ dài.

Hình thang có nhiều ứng dụng ở cấp độ thiết kế và công nghiệp, chẳng hạn như trong cấu hình cánh máy bay, hình dạng của các vật thể hàng ngày như bàn, lưng ghế, bao bì, ví, bản in dệt và hơn thế nữa.

Hình 2. Hình thang thường gặp trong cấu hình cánh của máy bay. Nguồn: Wikimedia Commons.

Tính chất

Các tính chất của hình thang cân được liệt kê dưới đây, nhiều tính chất mở rộng cho các loại hình thang khác. Trong phần sau, khi nói đến "hình thang", thuộc tính sẽ áp dụng cho bất kỳ loại nào, bao gồm cả scalene.

1. Đường trung bình của hình thang, tức là đoạn nối các trung điểm của các cạnh không song song của nó, song song với bất kỳ đáy nào.

2. Đường trung bình của một hình thang có độ dài bằng nửa cạnh đáy và cắt các đường chéo của nó tại trung điểm.

3. Các đường chéo của hình thang cắt nhau tại một điểm chia chúng thành hai phần tỉ lệ với thương của các đáy.

4. Tổng bình phương các đường chéo của một hình thang bằng tổng bình phương các cạnh của nó cộng với tích nhân đôi của các đáy.

5.- Đoạn nối trung điểm của hai đường chéo có độ dài bằng nửa hiệu của hai đáy.

6.- Các góc tiếp giáp với các góc bên là bổ sung.

7.- Trong một hình thang cân, độ dài các đường chéo của nó khác nhau.

8.- Một hình thang chỉ có chu vi nội tiếp khi tổng các cạnh của nó bằng tổng các cạnh của nó.

9. Nếu một hình thang có chu vi nội tiếp thì góc có đỉnh ở tâm của chu vi nói trên và các cạnh đi qua các cạnh bên của hình thang là đường thẳng.

10.- Hình thang cân không có chu vi đường tròn ngoại tiếp, loại hình thang duy nhất có được là hình thang cân.

Công thức và phương trình

Các mối quan hệ sau của hình thang cân được quy về hình sau.

1.- Nếu AE = ED và BF = FC → EF - AB và EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 tức là: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 và AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) tương tự CJ / JA = (c / a).

Hình 3. Đường trung bình và các đường chéo của hình thang cân. Nguồn: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Tương đương:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Điều đó có nghĩa là:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ và β + γ = 180⁰

8.- Nếu α ≠ β ≠ γ ≠ δ thì d1 ≠ d2.

9. Hình 4 cho thấy một hình thang cân có chu vi nội tiếp, trong trường hợp này đúng là:

a + c = d + b

10.- Trong hình thang cân ABCD có chu vi nội tiếp tâm O, điều nào sau đây cũng đúng:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Hình 4. Nếu trong một hình thang mà người ta xác định được rằng tổng các cạnh của nó bằng tổng các cạnh bên thì sẽ có chu vi nội tiếp trong đó. Nguồn: F. Zapata.

Chiều cao

Chiều cao của hình thang được định nghĩa là đoạn đi từ một điểm của đáy vuông góc đến đáy đối diện (hoặc phần mở rộng của nó).

Tất cả các chiều cao của hình thang đều có cùng số đo h, vì vậy hầu hết thời gian từ chiều cao dùng để chỉ số đo của nó. Tóm lại, chiều cao là khoảng cách hoặc khoảng cách giữa các chân đế.

Chiều cao h có thể được xác định bằng cách biết độ dài của một cạnh và một trong các góc kề với mặt đó:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Trung bình

Số đo m của đường trung bình của hình thang là bán tổng của các đáy:

m = (a + b) / 2

Đường chéo

d ₁ = √

d ₂ = √

Nó cũng có thể được tính nếu chỉ biết độ dài các cạnh của hình thang:

d ₁ = √

d ₂ = √

Chu vi

Chu vi là tổng chiều dài của đường bao, nghĩa là tổng tất cả các cạnh của nó:

P = a + b + c + d

Khu vực

Diện tích của hình thang là bán phần của các đáy nhân với chiều cao của nó:

A = h ∙ (a + b) / 2

Nó cũng có thể được tính nếu biết trung vị m và chiều cao h:

A = m ∙ h

Trong trường hợp chỉ biết độ dài các cạnh của hình thang, thì diện tích có thể được xác định bằng công thức Heron cho hình thang:

A = ∙ √

Trong đó s là bán kinh nghiệm: s = (a + b + c + d) / 2.

Các tỷ lệ khác cho hình thang scalene

Giao điểm của đường trung tuyến với các đường chéo và đường song song đi qua giao điểm của các đường chéo làm nảy sinh các mối quan hệ khác.

Hình 5. Các mối quan hệ khác đối với hình thang có vảy. Nguồn: F. Zapata.

-Quan hệ đối với EF trung bình

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Quan hệ của đoạn thẳng song song với đáy KL và đi qua giao điểm J của hai đường chéo

Nếu KL - AB - DC với J ∈ KL thì KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Dựng hình thang cân bằng thước và compa

Cho các cơ sở có độ dài a và c, trong đó a> cy với các cạnh có độ dài b và d, trong đó b> d, tiến hành theo các bước sau (xem hình 6):

1.- Với quy tắc vẽ đoạn thẳng AB.

2. - Từ A kẻ điểm P sao cho AP = c.

3.- Với la bàn có tâm ở P và bán kính d được vẽ một cung tròn.

4.- Một tâm được tạo tại B với bán kính b, vẽ một cung chắn cung đã vẽ ở bước trước. Ta gọi Q là giao điểm.

Hình 6. Dựng hình thang cân với các cạnh của nó. Nguồn: F. Zapata.

5.- Với tâm tại A, vẽ một cung tròn bán kính d.

6.- Với tâm tại Q, vẽ một cung tròn bán kính c cắt cung đã vẽ ở bước trước. Điểm cắt sẽ được gọi là R.

7.- Các đoạn BQ, QR và RA được vẽ bằng thước.

8.- Tứ giác ABQR là hình thang cân, vì APQR là hình bình hành nên AB - QR.

Thí dụ

Các độ dài sau đây được tính bằng cm: 7, 3, 4 và 6.

a) Xác định xem với chúng có thể dựng được một hình thang cân có thể ngoại tiếp một đường tròn hay không.

b) Tìm chu vi, diện tích, độ dài các đường chéo và chiều cao của hình thang cũng như bán kính của đường tròn nội tiếp.

- Giải pháp cho

Sử dụng các đoạn có độ dài 7 và 3 làm cơ sở và các đoạn có độ dài 4 và 6 làm cạnh, có thể xây dựng một hình thang cân bằng cách sử dụng quy trình được mô tả trong phần trước.

Vẫn phải kiểm tra xem nó có chu vi nội tiếp hay không, nhưng hãy nhớ thuộc tính (9):

Chúng tôi thấy rằng hiệu quả:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Khi đó điều kiện tồn tại của chu vi nội tiếp được thỏa mãn.

- Giải pháp b

Chu vi

Chu vi P có được bằng cách cộng các cạnh. Vì các cơ sở cộng lại đến 10 và các cạnh bên cũng có, nên chu vi là:

P = 20 cm

Khu vực

Để xác định khu vực, chỉ được biết đến các mặt của nó, mối quan hệ được áp dụng:

A = ∙ √

Trong đó s là bán nghiệm kế:

s = (a + b + c + d) / 2.

Trong trường hợp của chúng ta, bán kinh nghiệm có giá trị s = 10 cm. Sau khi thay thế các giá trị tương ứng:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Còn lại:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Chiều cao

Chiều cao h liên hệ với diện tích A bằng biểu thức sau:

A = (a + c) ∙ h / 2, từ đó độ cao có thể nhận được bằng cách xóa:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Bán kính của đường tròn nội tiếp

Bán kính đường tròn nội tiếp bằng nửa chiều cao:

r = h / 2 = 1,984 cm

Đường chéo

Cuối cùng, chúng tôi tìm ra độ dài của các đường chéo:

d ₁ = √

d ₂ = √

Thay thế đúng các giá trị chúng ta có:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Đó là: d ₁ = 4,69 cm và d ₂ = 8,49 cm

Hình 7. Hình thang cân thỏa mãn điều kiện tồn tại ngoại tiếp hình thang. Nguồn: F. Zapata.

Bài tập đã giải quyết

Xác định các góc trong của hình thang với các đáy AB = a = 7, CD = c = 3 và các góc bên BC = b = 6, DA = d = 4.

Giải pháp

Định lý côsin có thể được áp dụng để xác định các góc. Ví dụ, góc ∠A = α được xác định từ tam giác ABD với AB = a = 7, BD = d2 = 8,49, và DA = d = 4.

Định lý côsin áp dụng cho tam giác này có dạng như sau:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), nghĩa là:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Giải cho, cosin của góc α thu được:

Cos (α) = -1/8

Tức là, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Các góc khác thu được theo cách tương tự, giá trị của chúng là:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ và cuối cùng là δ = 82,82⁰.

Người giới thiệu

1. CEA (2003). Yếu tố hình học: với các bài tập và hình học compa. Đại học Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Toán học 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Khám phá Đa giác. Công ty Giáo dục Điểm chuẩn.
4. Hendrik, V. (2013). Đa giác tổng quát. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Toán học học kỳ I Tacaná. IGER.
6. Hình học Jr. (2014). Đa giác. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren và Hornsby. (2006). Toán học: Lập luận và Ứng dụng (Tái bản lần thứ mười). Giáo dục Pearson.
8. Patiño, M. (2006). Toán học 5. Progreso biên tập.
9. Wikipedia. Gài bẫy. Phục hồi từ: es.wikipedia.com