BIẾN LIÊN TỤC: ĐẶC ĐIỂM, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP - VẬT LÝ - 2026

Biến liên tục là biến có thể nhận vô số giá trị số giữa hai giá trị đã cho, ngay cả khi hai giá trị đó đóng tùy ý. Chúng được sử dụng để mô tả các thuộc tính có thể đo lường được; ví dụ chiều cao và cân nặng. Các giá trị mà một biến liên tục nhận có thể là số hữu tỉ, số thực hoặc số phức, mặc dù trường hợp sau ít thường xuyên hơn trong thống kê.

Đặc điểm chính của các biến liên tục là giữa hai giá trị hữu tỉ hoặc thực luôn có thể tìm thấy một giá trị khác, và giữa giá trị kia và giá trị đầu tiên có thể tìm thấy một giá trị khác, v.v.

Hình 1. Đường cong biểu diễn sự phân bố liên tục và các thanh rời rạc. Nguồn: pixabay

Ví dụ, giả sử trọng lượng thay đổi trong một nhóm mà nhóm nặng nhất nặng 95 kg và nhóm thấp nhất nặng 48 kg; đó sẽ là phạm vi của biến và số lượng giá trị có thể là vô hạn.

Ví dụ từ 50,00 kg đến 50,10 kg có thể là 50,01. Nhưng giữa 50,00 và 50,01 có thể là số đo 50,005. Đó là một biến số liên tục. Mặt khác, nếu trong các phép đo trọng lượng có thể có độ chính xác của một số thập phân duy nhất thì biến được sử dụng sẽ rời rạc.

Các biến liên tục thuộc loại biến định lượng, vì chúng có một giá trị số gắn liền với chúng. Với giá trị số này, có thể thực hiện các phép toán khác nhau, từ phương pháp tính toán số học đến phương pháp tính toán vô số.

Ví dụ

Hầu hết các biến trong vật lý là các biến liên tục, trong số đó chúng ta có thể kể tên: độ dài, thời gian, tốc độ, gia tốc, năng lượng, nhiệt độ và những biến số khác.

Biến liên tục và biến rời rạc

Trong thống kê, có thể xác định nhiều loại biến khác nhau, cả định tính và định lượng. Các biến liên tục thuộc loại thứ hai. Với họ, có thể thực hiện các phép tính số học và tính toán.

Ví dụ, biến h, tương ứng với những người có chiều cao từ 1,50 m đến 1,95 m, là một biến liên tục.

Hãy so sánh biến này với biến kia: số lần tung đồng xu lên đầu, chúng ta sẽ gọi là n.

Biến n có thể nhận các giá trị từ 0 đến vô cùng, tuy nhiên n không phải là một biến liên tục vì nó không thể nhận giá trị 1,3 hoặc 1,5, vì giữa giá trị 1 và 2 không có giá trị nào khác. Đây là một ví dụ về một biến rời rạc.

Bài tập biến liên tục

Hãy xem xét ví dụ sau: một chiếc máy sản xuất que diêm và đóng gói chúng trong hộp của nó. Hai biến thống kê được xác định:

Chiều dài khớp danh nghĩa là 5,0 cm với dung sai 0,1 cm. Số trận đấu mỗi hộp là 50 với dung sai là 3.

a) Cho biết khoảng giá trị mà L và N có thể nhận.

b) L có thể nhận bao nhiêu giá trị?

c) n có thể nhận bao nhiêu giá trị?

Nêu trong mỗi trường hợp đó là biến rời rạc hay liên tục.

Giải pháp

Các giá trị của L nằm trong khoảng; nghĩa là giá trị của L nằm trong khoảng và biến L có thể nhận giá trị vô hạn giữa hai lần đo này. Khi đó nó là một biến liên tục.

Giá trị của biến n nằm trong khoảng. Biến n chỉ có thể nhận 6 giá trị khả dĩ trong khoảng dung sai, khi đó nó là một biến rời rạc.

Bài tập của

Nếu, ngoài việc liên tục, các giá trị được nhận bởi biến có một xác suất xuất hiện nhất định đi kèm với chúng, thì đó là một biến ngẫu nhiên liên tục. Điều rất quan trọng là phải phân biệt xem biến là rời rạc hay liên tục, vì các mô hình xác suất áp dụng cho cái này và cái kia là khác nhau.

Một biến ngẫu nhiên liên tục được xác định hoàn toàn khi biết các giá trị mà nó có thể giả định và xác suất xảy ra của mỗi giá trị đó.

-Bài tập 1 trong các xác suất

Cô bé bán diêm làm cho chúng theo cách sao cho chiều dài của các que luôn nằm trong khoảng giá trị 4,9 cm đến 5,1 cm và không nằm ngoài các giá trị này. Có một xác suất để lấy được một cây gậy có kích thước từ 5,00 đến 5,05 cm, mặc dù chúng tôi cũng có thể lấy ra một trong số 5.0003 cm. Các giá trị này có khả năng như nhau không?

Giải pháp

Giả sử mật độ xác suất là đồng nhất. Xác suất tìm thấy một kết quả phù hợp với một độ dài nhất định được liệt kê dưới đây:

- Một trận đấu nằm trong phạm vi có xác suất = 1 (hoặc 100%), vì máy không rút ra các trận đấu nằm ngoài các giá trị đó.

-Tìm một kết quả phù hợp giữa 4,9 và 5,0 có xác suất = ½ = 0,5 (50%), vì nó bằng một nửa phạm vi độ dài.

-Và xác suất trận đấu có độ dài từ 5,0 đến 5,1 cũng là 0,5 (50%)

- Biết rằng không có que diêm nào có độ dài từ 5,0 đến 5,2. Xác suất: không (0%).

Xác suất tìm được cây tăm trong khoảng nhất định

Bây giờ, chúng ta hãy quan sát các xác suất P sau đây để lấy được các que có chiều dài từ l ₁ đến l ₂ :

-P mà một trận đấu có độ dài từ 5,00 đến 5,05 được ký hiệu là P ():

-P mà ngọn đồi có chiều dài từ 5,00 đến 5,01 là:

-P mà ngọn đồi có chiều dài từ 5.000 đến 5.001 thậm chí còn nhỏ hơn:

Nếu chúng ta tiếp tục giảm khoảng thời gian để càng ngày càng gần đến 5,00 thì xác suất để một cây tăm dài đúng 5,00 cm là không (0%). Những gì chúng tôi có là xác suất tìm thấy một kết quả phù hợp trong một phạm vi nhất định.

Xác suất tìm thấy nhiều tăm trong một phạm vi nhất định

Nếu các sự kiện là độc lập, xác suất để hai cây tăm nằm trong một khoảng nhất định là tích của xác suất của chúng.

-Xác suất để hai chiếc đũa nằm trong khoảng từ 5,0 đến 5,1 là 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Xác suất để 50 cây tăm nằm trong khoảng từ 5,0 đến 5,1 là (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, tức là gần như bằng không.

-Xác suất để 50 que tăm nằm trong khoảng từ 4,9 đến 5,1 là (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Bài tập 2 của xác suất

Trong ví dụ trước, giả thiết được đưa ra rằng xác suất là đồng nhất trong khoảng thời gian nhất định, tuy nhiên điều này không phải lúc nào cũng đúng.

Trong trường hợp của máy thực tế sản xuất tăm xỉa răng, khả năng cây tăm ở giá trị trung tâm lớn hơn ở một trong những giá trị cực đoan. Từ quan điểm toán học, điều này được mô hình hóa với một hàm f (x) được gọi là mật độ xác suất.

Xác suất để độ đo L nằm giữa a và b được tính bằng cách sử dụng tích phân xác định của hàm f (x) giữa a và b.

Ví dụ, giả sử rằng chúng ta muốn tìm hàm f (x), biểu thị phân phối đồng đều giữa các giá trị 4.9 và 5.1 từ bài tập 1.

Nếu phân phối xác suất là đều, thì f (x) bằng hằng số c, được xác định bằng cách lấy tích phân từ 4,9 đến 5,1 của c. Vì tích phân này là xác suất nên kết quả phải là 1.

Hình 2. Mật độ xác suất đồng đều. (Công phu riêng)

Có nghĩa là c có giá trị 1 / 0.2 = 5. Tức là, hàm mật độ xác suất đồng nhất là f (x) = {5 nếu 4.9≤x≤5.1 và 0 nằm ngoài phạm vi này. Hàm mật độ xác suất đồng nhất được thể hiện trong Hình 2.

Lưu ý rằng trong các khoảng có cùng chiều rộng (ví dụ 0,02) thì xác suất ở tâm giống như ở cuối phạm vi của biến liên tục L (chiều dài tăm).

Một mô hình thực tế hơn sẽ là một hàm mật độ xác suất như sau:

Hình 3. Hàm mật độ xác suất không đồng nhất. (Công phu riêng)

Trong hình 3, có thể thấy xác suất tìm thấy tăm trong khoảng 4,99 đến 5,01 (chiều rộng 0,02) cao hơn xác suất tìm thấy cây tăm từ 4,90 đến 4,92 (chiều rộng 0,02) như thế nào

Người giới thiệu

1. Dinov, Ivo. Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất. Lấy từ: stat.ucla.edu
2. Biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục. Lấy từ: ocw.mit.edu
3. Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất. Lấy từ: trang chủ.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Giới thiệu về Xác suất. Đã khôi phục từ: verify course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Thống kê cho Quản lý và Kinh tế. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Các vấn đề về biến ngẫu nhiên và mô hình xác suất. Đã khôi phục từ: ugr.es.
7. Wikipedia. Biến số liên tục. Khôi phục từ wikipedia.com
8. Wikipedia. Biến thống kê. Phục hồi từ wikipedia.com.