- Phương trình của đường thẳng và vector đạo diễn
- Phương trình tham số của đường
- ví dụ 1
- Dòng ở dạng vector
- Ví dụ 2
- Dạng liên tục của đường thẳng và vector đạo diễn
- Ví dụ 3
- Dạng tổng quát của phương trình đường thẳng
- Ví dụ 3
- Dạng chuẩn của phương trình đường thẳng
- Ví dụ 4
- Bài tập đã giải
- -Bài tập 1
- Giải pháp
- -Bài tập 2
- Giải pháp 2
- Người giới thiệu
Vectơ đạo diễn được hiểu là một vectơ xác định hướng của một đường thẳng, trong mặt phẳng hoặc trong không gian. Do đó, một vectơ song song với đường thẳng có thể được coi là một vectơ chỉ phương của nó.
Điều này có thể thực hiện được là nhờ một tiên đề của hình học Euclide nói rằng hai điểm xác định một đường thẳng. Sau đó, đoạn định hướng được tạo thành bởi hai điểm này cũng xác định một vectơ đạo diễn của đoạn thẳng nói trên.
Hình 1. Vector đạo diễn của một đoạn thẳng. (Công phu riêng)
Cho điểm P thuộc đường thẳng (L) và cho véc tơ đạo u của đường thẳng đó, đường thẳng hoàn toàn xác định.
Phương trình của đường thẳng và vector đạo diễn
Hình 2. Phương trình của đường thẳng và vector đạo diễn. (Công phu riêng)
Cho một điểm P có tọa độ P: (Xo, I) và một vector u đạo của đường thẳng (L), mọi điểm Q có tọa độ Q: (X, Y) phải thỏa mãn rằng vectơ PQ song song với u. Điều kiện cuối cùng này được đảm bảo nếu PQ tỷ lệ với u :
PQ = t⋅ u
trong biểu thức trên t là một tham số thuộc các số thực.
Nếu các thành phần Descartes của PQ và u được viết, phương trình trên được viết như sau:
(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)
Nếu các thành phần của đẳng thức vectơ được cân bằng thì sẽ nhận được cặp phương trình sau:
X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t
Phương trình tham số của đường
Tọa độ X và Y của một điểm thuộc đường thẳng (L) đi qua một điểm tọa độ (Xo, Yo) và song song với vectơ giám đốc u = (a, b) được xác định bằng cách gán giá trị thực cho tham số biến t:
{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}
ví dụ 1
Để minh họa ý nghĩa của phương trình tham số của đường thẳng, chúng ta lấy vectơ chỉ đạo
u = (a, b) = (2, -1)
và như một điểm đã biết của đường thẳng, điểm
P = (Xo, I) = (1, 5).
Phương trình tham số của đường thẳng là:
{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞
Để minh họa ý nghĩa của phương trình này, hình 3 được hiển thị, trong đó tham số t thay đổi giá trị của nó và điểm Q có tọa độ (X, Y) có các vị trí khác nhau trên đường thẳng.
Hình 3. PQ = t u. (Công phu riêng)
Dòng ở dạng vector
Cho một điểm P trên đoạn thẳng và vectơ đạo của nó, phương trình của đoạn thẳng có thể được viết dưới dạng vectơ:
OQ = OP + λ⋅ u
Trong phương trình trên, Q là một điểm bất kỳ nhưng thuộc đường thẳng và λ là một số thực.
Phương trình vectơ của đường thẳng có thể áp dụng cho bất kỳ số kích thước nào, thậm chí có thể xác định một siêu đường.
Trong trường hợp ba chiều đối với vectơ đạo diễn u = (a, b, c) và điểm P = (Xo, Yo, Zo), tọa độ của điểm chung Q = (X, Y, Z) thuộc đường thẳng là :
(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)
Ví dụ 2
Hãy xem xét lại đường thẳng có như một vectơ chỉ đạo
u = (a, b) = (2, -1)
và như một điểm đã biết của đường thẳng, điểm
P = (Xo, I) = (1, 5).
Phương trình vectơ của đường thẳng nói trên là:
(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)
Dạng liên tục của đường thẳng và vector đạo diễn
Bắt đầu từ dạng tham số, xóa và cân bằng tham số λ, chúng ta có:
(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c
Đây là dạng đối xứng của phương trình của đường thẳng. Lưu ý rằng a, b và c là các thành phần của vector đạo diễn.
Ví dụ 3
Coi đường thẳng có như một vectơ chỉ đạo
u = (a, b) = (2, -1)
và như một điểm đã biết của đường thẳng, điểm
P = (Xo, I) = (1, 5). Tìm hình dạng đối xứng của nó.
Dạng đối xứng hoặc liên tục của đoạn thẳng là:
(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)
Dạng tổng quát của phương trình đường thẳng
Dạng tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng XY được gọi là phương trình có cấu trúc sau:
A⋅X + B⋅Y = C
Biểu thức cho dạng đối xứng có thể được viết lại để có dạng tổng quát:
b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo
so sánh với hình dạng chung của đường đó là:
A = b, B = -a và C = b⋅Xo - a⋅Yo
Ví dụ 3
Tìm dạng tổng quát của đoạn thẳng có vectơ giám đốc là u = (2, -1)
và điều đó đi qua điểm P = (1, 5).
Để tìm dạng tổng quát, chúng ta có thể sử dụng các công thức đã cho, tuy nhiên một đường dẫn thay thế sẽ được chọn.
Chúng ta bắt đầu bằng cách tìm vectơ kép w của vectơ giám đốc u, được định nghĩa là vectơ thu được bằng cách trao đổi các thành phần của u và nhân thứ hai với -1:
w = (-1, -2)
vectơ kép w tương ứng với sự quay 90 ° theo chiều kim đồng hồ của vectơ đạo diễn v .
Chúng tôi nhân tỉ lệ w với (X, Y) và với (Xo, Yo) và đặt bằng:
(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)
-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11
còn lại cuối cùng:
X + 2Y = 11
Dạng chuẩn của phương trình đường thẳng
Nó được gọi là dạng chuẩn của đường thẳng trong mặt phẳng XY, một dạng có cấu trúc sau:
Y = m⋅X + d
trong đó m là hệ số góc và d là điểm giao nhau với trục Y.
Cho vectơ chỉ phương u = (a, b), hệ số góc m là b / a.
Y d thu được bằng cách thay X và Y cho điểm đã biết Xo, I:
I = (b / a) Xo + d.
Tóm lại, m = b / a và d = I - (b / a) Xo
Lưu ý rằng độ dốc m là thương số giữa thành phần y của vectơ giám đốc và thành phần x của nó.
Ví dụ 4
Tìm dạng chuẩn của đoạn thẳng có vectơ giám đốc là u = (2, -1)
và điều đó đi qua điểm P = (1, 5).
m = -½ và d = 5 - (-½) 1 = 11/2
Y = (-1/2) X + 11/2
Bài tập đã giải
-Bài tập 1
Tìm vectơ đạo của đường thẳng (L) là giao tuyến của mặt phẳng (Π): X - Y + Z = 3 và mặt phẳng (Ω): 2X + Y = 1.
Sau đó viết dạng liên tục của phương trình của đường thẳng (L).
Giải pháp
Từ phương trình của mặt phẳng (Ω) giải phóng Y: Y = 1 -2X
Sau đó, chúng ta thay thế vào phương trình của mặt phẳng (Π):
X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X
Sau đó, chúng tôi tham số hóa X, chúng tôi chọn tham số hóa X = λ
Điều này có nghĩa là đường thẳng có phương trình vectơ được cho bởi:
(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)
có thể được viết lại thành:
(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)
trong đó rõ ràng vectơ u = (1, -2, -3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng (L).
Dạng liên tục của đường (L) là:
(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)
-Bài tập 2
Cho mặt phẳng 5X + a Y + 4Z = 5
và đường thẳng có phương trình là X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)
Xác định giá trị của a sao cho mặt phẳng và đường thẳng song song.
Giải pháp 2
Vectơ n = (5, a, 4) là một vectơ pháp tuyến đối với mặt phẳng.
Vectơ u = (1, 3, -2) là một vectơ chỉ phương của đoạn thẳng.
Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì n • v = 0.
(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.
Người giới thiệu
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Toán học Precalculus. Prentice Hall PTR.
- Kolman, B. (2006). Đại số tuyến tính. Giáo dục Pearson.
- Leal, JM & Viloria, NG (2005). Hình học Giải tích Mặt phẳng. Mérida - Venezuela: Biên tập Venezolana CA
- Navarro, Rocio. Vectơ. Được khôi phục từ: books.google.co.ve.
- Pérez, CD (2006). Tính toán trước. Giáo dục Pearson.
- Prenowitz, W. 2012. Các khái niệm cơ bản về hình học. Rowman và Littlefield.
- Sullivan, M. (1997). Tính toán trước. Giáo dục Pearson.