VECTƠ THÔNG THƯỜNG: PHÉP TÍNH VÀ VÍ DỤ - VẬT LÝ - 2025

Các vector bình thường là một trong những định nghĩa hướng vuông góc với một số đối tượng hình học đang được xem xét, mà có thể là do một đường cong, một máy bay hoặc một bề mặt, ví dụ.

Đây là một khái niệm rất hữu ích trong việc xác định vị trí của một hạt chuyển động hoặc một số bề mặt trong không gian. Trong đồ thị sau, có thể thấy vectơ pháp tuyến của một đường cong C tùy ý là như thế nào:

Hình 1. Một đường cong C với vectơ pháp tuyến là đường cong tại điểm P. Nguồn: Svjo

Xét một điểm P trên đường cong C. Điểm có thể biểu diễn một hạt chuyển động đang chuyển động dọc theo một đường hình chữ C. Đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm P được vẽ bằng màu đỏ.

Lưu ý rằng vectơ T là tiếp tuyến của C tại mỗi điểm, trong khi vectơ N vuông góc với T và hướng vào tâm của một vòng tròn tưởng tượng có cung là một đoạn C. Các vectơ được ký hiệu bằng kiểu in đậm trong văn bản in, cho phân biệt chúng với các đại lượng khác không phải vectơ.

Vectơ T luôn chỉ nơi hạt chuyển động, do đó nó cho biết tốc độ của hạt. Mặt khác, vectơ N luôn hướng theo hướng mà hạt đang quay, theo cách này, nó chỉ ra lực hấp dẫn của đường cong C.

Làm thế nào để có được vectơ pháp tuyến đến một mặt phẳng?

Vectơ pháp tuyến không nhất thiết phải là vectơ đơn vị, tức là vectơ có môđun là 1, nhưng nếu vậy, nó được gọi là vectơ đơn vị pháp tuyến.

Hình 2. Bên trái một mặt phẳng P và hai vectơ pháp tuyến đối với mặt phẳng nói trên. Ở bên phải các vectơ đơn vị trong ba hướng xác định không gian. Nguồn: Wikimedia Commons. Xem trang cho tác giả

Trong nhiều ứng dụng, cần biết pháp tuyến vectơ của một mặt phẳng hơn là một đường cong. Vectơ này tiết lộ hướng của mặt phẳng nói trên trong không gian. Ví dụ, hãy xem xét mặt phẳng P (màu vàng) của hình:

Có hai vectơ pháp tuyến đối với mặt phẳng này: n ₁ và n ₂ . Việc sử dụng cái này hay cái kia sẽ phụ thuộc vào ngữ cảnh mà máy bay nói trên được tìm thấy. Lấy vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng rất đơn giản nếu biết phương trình của mặt phẳng:

Ở đây vectơ N được biểu diễn dưới dạng các vectơ đơn vị vuông góc i , j và k , hướng theo ba hướng xác định không gian xyz, xem hình 2 bên phải.

Véc tơ pháp tuyến từ tích véc tơ

Một thủ tục rất đơn giản để tìm vectơ pháp tuyến sử dụng các tính chất của tích vectơ giữa hai vectơ.

Như đã biết, ba điểm khác nhau, không thẳng hàng với nhau xác định một mặt phẳng P. Bây giờ, có thể thu được hai vectơ u và v cùng thuộc mặt phẳng có ba điểm này.

Sau khi thu được các vectơ, tích vectơ u x v là một phép toán mà kết quả của nó lần lượt là một vectơ, có tính chất là vuông góc với mặt phẳng xác định bởi u và v .

Đã biết vectơ này, nó được ký hiệu là N , và từ đó có thể xác định phương trình của mặt phẳng nhờ vào phương trình được chỉ ra trong phần trước:

N = u x v

Hình sau minh họa quy trình được mô tả:

Hình 3. Với hai vectơ và tích vectơ của chúng hoặc chéo nhau, phương trình của mặt phẳng chứa hai vectơ được xác định. Nguồn: Wikimedia Commons. Không có tác giả đọc được bằng máy được cung cấp. M.Romero Schmidtke đảm nhận (dựa trên khiếu nại về bản quyền).

Thí dụ

Tìm phương trình của mặt phẳng xác định bởi các điểm A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).

Giải pháp

Bài tập này minh họa quy trình được mô tả ở trên. Khi có 3 điểm, một trong số chúng được chọn làm gốc chung của hai vectơ thuộc mặt phẳng xác định bởi các điểm này. Ví dụ, điểm A được đặt làm gốc và các vectơ AB và AC được dựng .

Vectơ AB là vectơ có gốc là điểm A và có điểm cuối là điểm B. Tọa độ của vectơ AB được xác định bằng cách lấy tọa độ của A trừ đi tọa độ của B:

Chúng ta tiến hành theo cách tương tự để tìm vectơ AC :

Tính tích vectơ

Có một số quy trình để tìm tích chéo giữa hai vectơ. Ví dụ này sử dụng quy trình ghi nhớ sử dụng hình sau để tìm tích vectơ giữa các vectơ đơn vị i , j và k:

Hình 4. Vẽ đồ thị xác định tích vectơ giữa các vectơ đơn vị. Nguồn: tự làm.

Để bắt đầu, bạn nên nhớ rằng tích vectơ giữa các vectơ song song là rỗng, do đó:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

Và vì tích vectơ là một vectơ khác vuông góc với các vectơ tham gia, chuyển động theo hướng mũi tên màu đỏ nên ta có:

Nếu bạn phải di chuyển theo hướng ngược lại với mũi tên thì hãy thêm dấu (-):

Tổng cộng có thể lập 9 tích vectơ với các vectơ đơn vị i , j và k , trong đó 3 tích là rỗng.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Phương trình của mặt phẳng

Vectơ N đã được xác định bởi tích vectơ đã tính toán trước đó:

N = 2 i -8 j -2 k

Do đó a = 2, b = -8, c = -2, mặt phẳng cần tìm là:

Giá trị của d vẫn được xác định. Điều này rất dễ dàng nếu các giá trị của bất kỳ điểm A, B hoặc C nào có sẵn được thay thế trong phương trình của mặt phẳng. Chọn C chẳng hạn:

x = 4; y = 2; z = 1

Còn lại:

Tóm lại, bản đồ được tìm kiếm là:

Người đọc tò mò có thể tự hỏi liệu kết quả tương tự có thu được không nếu thay vì làm AB x AC , người ta chọn làm AC x AB. Câu trả lời là có, mặt phẳng được xác định bởi ba điểm này là duy nhất và có hai vectơ pháp tuyến, như trong hình 2.

Đối với điểm được chọn làm gốc của vectơ, không có vấn đề gì khi chọn bất kỳ điểm nào trong hai điểm còn lại.

Người giới thiệu

1. Figueroa, D. (2005). Loạt bài: Vật lý cho Khoa học và Kỹ thuật. Tập 1. Động học. Biên tập bởi Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
2. Tìm pháp tuyến cho một mặt phẳng. Được khôi phục từ: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Giải tích và Hình học Giải tích. Đồi Mc Graw. 616-647.
4. Đường thẳng và mặt phẳng trong R 3. Được khôi phục từ: math.harvard.edu.
5. Vector bình thường. Được khôi phục từ mathworld.wolfram.com.